2019年度 島根県公立高校入試問題【数学】解説

平均18.7点(50点満点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
-9-6÷3
=-9-2=-11

(2)
3a+2-(1/3a+1)
=3a+2-1/3a-1
=8/3a+1

(3)
90=2×32×5

(4)
(√8+1)(√2-3)
=(2√2+1)(√2-3)
=4-6√2+√2-3
=1-5√2

(5)
ネジレの位置…平行でなく、かつ延長しても交わらない。
直線CD

(6)
穴埋めは知識を吐き出せば解けてしまう。
ア…n角形の内角の和⇒180(n-2)
イ…n角形の外角の和⇒360

n角形の内角の和+n角形の外角の和
=180(n-2)+360
=180(n-2)+180×2
=180(n-2+2)=180n

(7)
4つの玉を順番をつけて2つ取り出す→4×3=12通り

2×b÷2ab2
=a/2b=1
a=2b、すなわち、aがbの2倍になる組み合わせを考える。
(a、b)=(2、1)(4、2)

2/12=1/6

(8)
1年生は7人。この中央値は4番目の15m
2年生は8人。この中央値は4~5番目の平均値。
xを除いて数えていくと、4番目は14m、その次が17m。
ということは、xが16mであれば、中央値が15mになる。
x=16

(9)
x=2、y=3を代入。
2a+3b=1…①
2b-6a=8…②
これを解いて、a=-1、b=1

大問2(平面図形&文字式)

(1)①
Aは正方形、BとCは長方形。
ア~ウはすべて当てはまる。
エ(対角線の直交)だけはAのみ。


∠QPRの前に、∠QORを経由した方がわかりやすいかと。

∠QORは1周を12分割するから、360÷12=30°
円周角の定理から、∠QPR=30÷2=15°



角度を調査すると、赤い三角形は60°ずつで正三角形
長方形の横の長さは、半径と同じ1cm。

長方形を対角線で区切ると、30°-60°-90°の直角三角形が見つかる。
1:2:√3から、長方形の縦の長さは√3cm。
1×√3=√3cm2

(2)①
りんごの可食部は、100-15=85%。
200×85%=170g


150gのバナナがx本。
可食部は60%。それに含まれるエネルギーは80/100。
y=150x×60%×80/100=72x


前問の答えを利用する。
y=72xで、y=1224を代入。
72x=1224
x=17 →17本


大問3(方程式)

(1)
ア:12500+(450+100)×10=18000
イ:y=7500+(550+150)x→700x+7500
ウ:A社-y=700x+7500、B社-y=550x+12500
700x+7500=550x+12500
x=100/3

(2)①
基本料金…7500円
Tシャツ代…550×40=22000円
プリント代…150×(40-20)=3000円
以上を合計すると32500円。


20枚より多いときを考えると、A社の代金はTシャツ代の550円が増えていく。
グラフの傾きは550となり、B社の傾きと等しくなる

傾きが等しい=平行
20枚の時点でAはBよりも値段が安いので、20枚以降の傾きが平行であれば、
A社の方がB社より必ず安くなる。
(公式解答)グラフの傾きはともに550で、2つの直線は平行

大問4(数量変化)

(1)①
3秒後は、AP=3cm、AQ=3cmの直角二等辺三角形。
△APQ:3×3÷2=9/2cm2


0≦x≦4は、底辺と高さがともに増えていくので、面積は倍々に増えていく。
図2で(4、8)の座標を通るので、これをy=ax2に代入。
8=16a
a=1/2
y=1/2x2


8秒後にPはA、QはCに到着し、△APQの面積yは0になる。

4≦x≦8では、青→赤→黄と変化していく。
APの長さが短くなり、AD方向の長さが変わらない
→△APQの面積は、グラフ上では直線で減っていく。

(4、8)と(8、0)を結ぶ。



y=6のときのx座標2つが答えとなる。
4≦x≦8のときは傾きが-2(右1下2)で、x=5

0≦x≦4のときは、②よりy=1/2x2だから、
6=1/2x2
x>0よる、x=2√3

よって、x=2√3、5

(2)
区切りの良いところで調査する。

青→赤→黄。
青は2秒後。QがDにくる。
0≦x≦2では、APとAQがともに増えるので、yは放物線で増えていく。

赤は4秒後。PがB、QがCにくる。
2≦x≦4では、AB方向は増えていくが、AD方向は変わらない。→直線で増える。

4秒以降が黄色。PがAに戻っていき、QはCで止まっている。
4≦x≦8では、面積が直線的に減っていき、PがAにつくと0になる。

(3)
△APQの面積が8cm2となるとき⇒AB方向で4cm、AD方向で4cm
AB方向の4cmはAP=4、すなわち、PはBにいなければならない
PがB以外にいるとAP<4になり、AD方向もMaxで4だから、△APQは8未満になる。
よって、『2点P、QがAを出発してから秒後』となり、『点Pの位置は上にある』。

Qは一度Dに到達してしまえば、AD方向の長さが4cmのまま。
つまり、『点Qの位置は辺CD上にある』。
*ちなみに、点Qの速さが毎秒1cm未満だと、QがDに着く前にPがBに着いてしまう。
Qは辺CD上にくれば△APQの面積が8cm2になる可能性はあるが、
PはBに来た瞬間にしか△APQが8cm2にならない
だから、PがBにくる前にQがDを通過しておく必要があるので、
Qの速さはP以上でなくてはならない。


大問5(平面図形)

(1)
角の二等分線の作図。
①Bを中心に適当な弧を描く。
②AB、ACとの交点を中心に適当な弧を描く。
③上の交点とBを結ぶ。

(2)①

△ABCが二等辺三角形ゆえ、
∠ABC=∠ACB=(180-36)÷2=72°
∠ABD=72÷2=36°
△ABDで外角定理→∠BDC=36+36=72°



△BCDと△ABDの底角が等しく、二等辺となる。
線分ADと線分BD。



BC=xとすると、AD=x、CD=1-x
△ABC∽△BDC(2角)
AC:CB=BC:CD
1:x=x:1-x
2=1-x
2+x-1=0
解の公式を適用。
x=(-1±√5)/2
x>0より、x=(√5-1)/2

@余談@
本問の二等辺三角形は、初等幾何の世界ではよく知られている形である。
問題ではACを1とおいたが、BCを1とおくと、
BC:AC=1:(1+√5)/2となり、
これは幾何的に美しい比率といわれる黄金比で、自然界にもちょくちょく現れる。

正五角形の1辺()を1とすると、対角線()は(1+√5)/2で黄金比。
問題の相似図形はここからきている。

(2)①
2つの円が接しているとき、中心から接点に向けて半径を伸ばすと、
2つの半径(QSとSR)は一直線になる。
よって、〔線分QRと円O2の交点〕を点Sとする。


半径から長さを認定していく。

△OQRで三平方→QR=√5
3の半径(QS)=√5-1cm


△OQTと△ABCの相似を証明する。
別の問題で登場した図形と比較するのでビックリする:;(∩´_`∩);:

誘導では、OQ:AB=OT:AC=2:1が導かれている。
2辺の比が等しい点が指摘されたので、3辺の比か2辺の比と間の角。
しかし、図4では∠QOTがわからない…。

そこで、残る辺の辺であるBCとQTの長さを調べる。

(1)③より、BC=(√5-1)/2
(2)②より、O3の半径からQT=√5-1
QT:BC=2:1
3辺の比が2:1で等しい→∽

@余談@
本問の図形から正五角形を作図することができる(‘ω’)

QRを延長。円O2との交点をVとする。
QVの長さをとり、右側へ移行。円O1との交点がW。
W・Tの反対側も同様にとり、Uを含めすべて結ぶと正五角形になります。

平均3割7ブッ(´゚ω゚)・*;’.
モードは15点と、今年度では1位2位を争うくらいの低さ…。
取れそうなところを選んで確実に取っていこう。

-公式からの結果概要です-

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