2019年度　島根県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均18.7点（前年比；－3.1点）

問題ＰＤＦ

大問１（小問集合）

（１）
－９－６÷３
＝－９－２
＝－11

（２）
３ａ＋２－（１/３ａ＋１）
＝３ａ＋２－１/３ａ－１
＝８/３ａ＋１

（３）
90＝２×３²×５

（４）
（√８＋１）（√２－３）
＝（２√２＋１）（√２－３）
＝４－６√２＋√２－３
＝１－５√２

（５）
ネジレの位置…平行でなく、かつ延長しても交わらない。
直線ＣＤ

（６）
穴埋めは知識を吐き出せば解けてしまう。
ア…ｎ角形の内角の和⇒180（ｎ－２）
イ…ｎ角形の外角の和⇒360

ｎ角形の内角の和＋ｎ角形の外角の和
＝180（ｎ－２）＋360
＝180（ｎ－２）＋180×２
＝180（ｎ－２＋２）＝180ｎ

（７）
４つの玉を順番をつけて２つ取り出す→４×3＝12通り
ａ²×ｂ÷２ａｂ²
＝ａ/２ｂ＝１
ａ＝２ｂ、すなわち、ａがｂの２倍になる組み合わせを考える。
（ａ、ｂ）＝（２、１）（４、２）
確率は、２/12＝１/６

（８）
１年生は７人。この中央値は４番目の15ｍ
２年生は８人。この中央値は４～５番目の平均値。
ｘを除いて数えていくと、４番目は14ｍ、その次が17ｍ。
ということは、ｘが16ｍであれば、中央値が15ｍになる。
ｘ＝16

（９）
ｘ＝２、ｙ＝３を代入。
２ａ＋３ｂ＝１…①
２ｂ－６ａ＝８…②
これを解いて、ａ＝－１、ｂ＝１

大問２（平面図形・文字式）

（１）①
Ａは正方形、ＢとＣは長方形。
ア～ウはすべて当てはまる。
エ（対角線の直交）だけはＡのみ。

②
∠ＱＰＲの前に、∠ＱＯＲを経由した方がわかりやすいかと。

∠ＱＯＲは１周を12分割するから、360÷12＝30°
円周角の定理から、∠ＱＰＲ＝30÷２＝15°

③

角度を調査すると、赤い三角形は60°ずつで正三角形。
長方形の横の長さは、半径と同じ１ｃｍ。

長方形を対角線で区切ると、30°－60°－90°の直角三角形が見つかる。
１：２：√３から、長方形の縦の長さは√3ｃｍ。
１×√３＝√３ｃｍ²

（２）①
りんごの可食部は、100－15＝85％
200×85％＝170ｇ

②
150ｇのバナナがｘ本。
可食部は60％。それに含まれるエネルギーは80/100。
ｙ＝150ｘ×60％×80/100＝72ｘ
ウ

③
前問の答えを利用する。
ｙ＝72ｘで、ｙ＝1224を代入。
72ｘ＝1224
ｘ＝17　→17本

大問３（方程式）

（１）
ア：12500＋（450＋100）×10＝18000
イ：ｙ＝7500＋（550＋150）ｘ→700ｘ＋7500
ウ：Ａ社－ｙ＝700ｘ＋7500、Ｂ社－ｙ＝550ｘ＋12500
700ｘ＋7500＝550ｘ＋12500
ｘ＝100/３

（２）①
基本料金…7500円
Ｔシャツ代…550×40＝22000円
プリント代…150×（40－20）＝3000円
以上を合計すると32500円。

②
20枚より多いときを考えると、Ａ社の代金はＴシャツ代の550円が増えていく。
グラフの傾きは550となり、Ｂ社の傾きと等しくなる。
傾きが等しい＝平行
20枚の時点でＡはＢよりも値段が安いので、20枚以降の傾きが平行であれば、
Ａ社の方がＢ社より必ず安くなる。
（公式解答）グラフの傾きはともに550で、２つの直線は平行

大問４（数量変化）

（１）①
３秒後は、ＡＰ＝３ｃｍ、ＡＱ＝３ｃｍの直角二等辺三角形。
△ＡＰＱ：３×３÷２＝９/２ｃｍ²

②
０≦ｘ≦４は、底辺と高さがともに増えていくので、面積は倍々に増えていく。
図２で（４、８）の座標を通るので、これをｙ＝ａｘ²に代入。
８＝16ａ
ａ＝１/２
ｙ＝１/２ｘ²

③
８秒後にＰはＡ、ＱはＣに到着し、△ＡＰＱの面積ｙは０になる。

４≦ｘ≦８では、青→赤→黄と変化していく。
ＡＰの長さが短くなり、ＡＤ方向の長さが変わらない。
→△ＡＰＱの面積は、グラフ上では直線で減っていく。

（４、８）と（８、０）を結ぶ。

④

ｙ＝６のときのｘ座標２つが答えとなる。
４≦ｘ≦８のときは傾きが－２（右１下２）で、ｘ＝５

０≦ｘ≦４のときは、②よりｙ＝１/２ｘ²だから、
６＝１/２ｘ²
ｘ＞０よる、ｘ＝２√３
よって、ｘ＝２√３、５

（２）
区切りの良いところで調査する。

青→赤→黄。
青は２秒後。ＱがＤにくる。
０≦ｘ≦２では、ＡＰとＡＱがともに増えるので、ｙは放物線で増えていく。

赤は４秒後。ＰがＢ、ＱがＣにくる。
２≦ｘ≦４では、ＡＢ方向は増えていくが、ＡＤ方向は変わらない。→直線で増える。

４秒以降が黄色。ＰがＡに戻っていき、ＱはＣで止まっている。
４≦ｘ≦８では、面積が直線的に減っていき、ＰがＡにつくと０になる。
ア

（３）
△ＡＰＱの面積が８ｃｍ²となるとき⇒ＡＢ方向で４ｃｍ、ＡＤ方向で４ｃｍ。
ＡＢ方向の４ｃｍはＡＰ＝４、すなわち、ＰはＢにいなければならない。
ＰがＢ以外にいるとＡＰ＜４になり、ＡＤ方向もMaxで４だから、△ＡＰＱは８未満になる。
よって、『２点Ｐ、ＱがＡを出発してから４秒後』となり、『点Ｐの位置は点Ｂ上にある』。

Ｑは一度Ｄに到達してしまえば、ＡＤ方向の長さが４ｃｍのまま。
つまり、『点Ｑの位置は辺ＣＤ上にある』。
*ちなみに、点Ｑの速さが毎秒１ｃｍ未満だと、ＱがＤに着く前にＰがＢに着いてしまう。
Ｑは辺ＣＤ上にくれば△ＡＰＱの面積が８ｃｍ²になる可能性はあるが、
ＰはＢに来た瞬間にしか△ＡＰＱが８ｃｍ²にならない。
だから、ＰがＢにくる前にＱがＤを通過しておく必要があるので、
Ｑの速さはＰ以上でなくてはならない。

大問５（平面図形）

（１）
角の二等分線の作図。
①Ｂを中心に適当な弧を描く。
②ＡＢ、ＡＣとの交点を中心に適当な弧を描く。
③上の交点とＢを結ぶ。

（２）①

△ＡＢＣが二等辺三角形ゆえ、
∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝（180－36）÷２＝72°
∠ＡＢＤ＝72÷２＝36°
△ＡＢＤで外角定理→∠ＢＤＣ＝36＋36＝72°

②

△ＢＣＤと△ＡＢＤの底角が等しく、二等辺となる。
線分ＡＤと線分ＢＤ。

③

ＢＣ＝ｘとすると、ＡＤ＝ｘ、ＣＤ＝１－ｘ
△ＡＢＣ∽△ＢＤＣ（２角）
ＡＣ：ＣＢ＝ＢＣ：ＣＤ
１：ｘ＝ｘ：１－ｘ
ｘ²＝１－ｘ
ｘ²＋ｘ－１＝０
解の公式を適用。
ｘ＝（－１±√５）/２
ｘ＞０より、ｘ＝（√５－１）/２

＠余談＠
本問の二等辺三角形は、初等幾何の世界ではよく知られている形である。
問題ではＡＣを１とおいたが、ＢＣを１とおくと、
ＢＣ：ＡＣ＝１：（１＋√５）/２となり、
これは幾何的に美しい比率といわれる黄金比で自然界にもみられる。

正五角形の１辺（赤）を１とすると、対角線（青）は（１＋√５）/２で黄金比。
問題の相似図形はここからきている。

（２）①
２つの円が接しているとき、中心から接点に向けて半径を伸ばすと、
２つの半径（ＱＳとＳＲ）は一直線になる。
よって、〔線分ＱＲと円Ｏ₂の交点〕を点Ｓとする。

②
半径から長さを認定していく。

△ＯＱＲで三平方→ＱＲ＝√５
Ｏ₃の半径（ＱＳ）＝√５－１ｃｍ

③
△ＯＱＴと△ＡＢＣの相似を証明する。
別の問題で登場した図形と比較するのでビックリする:;(∩´＿`∩);:

誘導では、ＯＱ：ＡＢ＝ＯＴ：ＡＣ＝２：１が導かれている。
２辺の比が等しい点が指摘されたので、３辺の比か２辺の比と間の角。
しかし、図４では∠ＱＯＴがわからない…。
そこで、残る辺の辺であるＢＣとＱＴの長さを調べる。

（１）③より、ＢＣ＝（√５－１）/２
（２）②より、Ｏ₃の半径からＱＴ＝√５－１
ＱＴ：ＢＣ＝２：１
３辺の比が２：１で等しい→∽

＠余談＠
本問の図形から正五角形を作図することができる。

ＱＲを延長。円Ｏ₂との交点をＶとする。
ＱＶの長さをとり、右側へ移行。円Ｏ₁との交点がＷ。
Ｗ・Ｔの反対側も同様にとり、Ｕを含めすべて結ぶと正五角形になります。

－公式からの結果概要です－

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