2014年度　群馬県公立高校入試【数学】解説

群馬県の数学解説です。記述が多め。
最後の大問は、今年の関東での公立高校入試の中で難易度が高い問題でした。
問題はコチラから→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合１）

（１）
①（－２）＋１１＝９
②（－４）²×（－３）
＝１６×（－３）＝－４８
③（６ａ－１５ｂ）÷３
＝６ａ÷３－１５ｂ÷３
＝２ａ－５ｂ

（２）無理数は分数にできないもの。イエ。

（３）（２ｘ－１）（ｘ＋３）
＝２ｘ²＋５ｘ－３

（４）ｘ²－（ｙ＋３）²
＝｛ｘ＋（ｙ＋３）｝｛ｘ－（ｙ＋３）｝
＝（ｘ＋ｙ＋３）（ｘ－ｙ－３）

（５）両辺１２倍して、ｘについて解く。
（ｘ－２）/４＋（２－５ｘ）/６＝１
３（ｘ－２）＋２（２－５ｘ）＝１２
ｘ＝－２

（６）ｙ＝ａ/ｘに２と－３を放り込みａを求め、反比例の一般式に代入。
－３＝ａ/２　ａ＝－６
ｙ＝－６/ｘ

（７）①（２、２）の点を通る。ア。
②ｘが負の値で変化の割合が大きくなる→上に凸の放物線で、広がりが狭い放物線。
よって、エ。
変化の割合は、グラフをみれば計算しなくても３とわかる。

（８）①１回目にでる目は何でもよい。
２回目にでる目が１回目にでる目と同じになるのは１/４
②やや難。問題を作り出すというユニークな問い。
地道に調べる方法が手堅いかもしれない。
０，０→０　　２，０→０
０，１→０　　２，１→２
０，２→０　　２，２→４
０，３→０　　２，３→６
１，０→０　　３，０→０
１，１→１　　３，１→３
１，２→２　　３，２→６
１，３→３　　３，３→９
以上、１６通り。１/４になるということは４通りの結果になるもの。
分かりやすいのは奇数。他にも素数、４の約数が解答例に挙げられている。
無理やりだが、「１か２か９」でも正解になる。
*積が奇数ということは奇数×奇数ということから、
２/４×２/４＝１/４と勘のイイ人は即答できたかもしれない。

（９）意外とつまづきやすい。
立面図から、どちらの方向から眺めているかを見極める。
ＣＤがある面を正面としたときに真上からみるとＡＤが右下に向かう。
よって、平面図では実線（ＣＤ）は右上に向かい、点線は左下に向かう。
ここまでで４５点。

大問２（小問集合２）

（１）①ｘ＝０を式に代入。　ｙ＝１/３
ｙ＝１を式に代入。　ｘ＝１
よって、ａ＝１/３、ｂ＝１

②ｙについて解く。ｙ＝２/３x＋１/３
ｘ軸に－１/２、ｙ軸に１/３らへんを通るようにグラフを描く。

③ℓ：ｙ＝－ｘ＋４
先ほどの式と合体。
２/３x＋１/３＝－ｘ＋４
これを整理してｘについて解く。ｘ＝１１/５
ℓに代入、ｙ＝９/５　　よって、（１１/５、９/５）

（２）高さの比＝１５：９＝５：３
体積の比は３乗なので、５^３：３^３＝１２５：２７
％にひきなおす。２７×１００/１２５＝２１．６％

大問３（文字式）

（１）周が２４ｃｍ→縦と横の和が１２ｃｍ
１×１１＝１１ｃｍ2　２×１０＝２０ｃｍ2など、異なる２種類の縦横の長さを作り、
面積が異なる例を示せばよい。

（２）縦と横の和は１２ｃｍ。
縦がｘなので、横は１２－ｘ

（３）ｘ（１２－ｘ）＝１２ｘ－ｘ^２＝３０
ｘ^２－１２ｘ＋３０＝０
解の公式を用いる。ｘ＝６±√６
０＜ｘ＜１２なので、ｘ＝６－√６、６＋√６
いずれも成り立つ。
縦が６－√６ｃｍの場合、１２－（６－√６）＝６＋√６ｃｍ
縦が６＋√６ｃｍの場合、１２－（６＋√６）＝６－√６ｃｍ
どちらも成り立つことから、戸惑った受験生もいたのでは？

大問４（図形証明）

ア…３６０　イ…∠Ｂ＝∠ＤなのでＤ　ウ…一直線なので１８０
＠証明続き＠
詳細は解答例参照。
∠ＣＢＥ＝∠Ａ（同位角）→ＡＢとＤＣが平行
∠ＣＢＥ＝∠Ｃ（錯角）→ＢＣとＡＤが平行
２組の対辺が平行→四角形ＡＢＣＤが平行四辺形

大問５（数量変化）

（１）やや難。
点ＰがＡから弧を描くようにＢまで動く。イメージすると半円のような形になる。
仮にＡＢを直径とする半円であるとすると、∠Ｐ＝９０°であり、
その角度は移動中常に一定である。ここから”円周角の定理の逆”が使えると推測。
つまり、点Ｐは直線ＡＢと同じ方向で移動するとき、常に一定の角度（９０°）を保つ。
それは弧に対する円周角が常に等しいのと一緒であり、これを円周角の定理の逆という。
また、∠Ｐが９０°なので、”ＡＢを直径とする半円”の円周上を動くことになる。

（２）やや難。
基本的に前問と同様の考え。
∠Ｑが常に一定の角度。それが弧を描くように周る。
円周角の定理の逆で、弧ＡＢに対する円周角Ｑは常に一定。
作図する図は、点A、Ｂ、Ｑの３点が通る円。
つまり、ＡＢの垂直二等分線、ＡＱの垂直二等分線、ＢＱの垂直二等分線のいずれかの２本を書き、その交点が円の中心となる。中心からＡ～ＢをクルっとまわせばＯＫ。

（３）（１）と（２）の図を合体。横からみると太った三日月のような形。
中心をＯとする。△ＯＡＢは直角二等辺三角形。
ＡＢが４ｃｍなので、直線ＡＢと点Ｏとの距離は２ｃｍ。
三平方の定理より、ＯＡ（半径）＝２√２ｃｍ
円Ｏの面積から扇型ＯＡＢを除いた部分は、
２√２×２√２×π×２７０/３６０＝６πｃｍ²
残りの部分は半径２ｃｍの円の半円から△ＯＡＢをひいたもの。
２×２×π×１/２－４×２×１/２＝２π－４
よって、６π－（２π－４）＝４π＋４ｃｍ²
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