2018年度 東京学芸大学附属小金井中学入試問題【算数】大問4解説

次のようなルールのゲームがあります。

〔ルール〕
・2人組で行う。
・1人ずつ交互に、1から順に数を言っていく。
・1回に少なくとも1つ、(い)最大で3つまで数を言う
(ろ)30を言ってしまったら負け。
〔例〕AさんとBさんの2人で行う場合
Aさん「1、2」→Bさん「3、4、5」→Aさん「6」→Bさん「7、8」→Aさん「9、10、1」→……→Aさん「27」→Bさん「28、29」→Aさん「30」
この場合Aさんが30を言ったので、Aさんの負けとなる。

このゲームの必勝法について考えます。次の問いに答えなさい。
(問1)
たかしさんは、このゲームの必勝法を次のように考えました。
①~⑥にあてはまる数を、⑦には「先攻」・「後攻」のうちあてはまる方を選びなさい。
<たかしさんの考え>
・30を言うと負けなので、自分が最後に29を言えればよい。
・1回に3つまでの数を言うことができるので、自分が最後に29を言うためには、
 相手に( ① )、( ② )、( ③ )のどれかを最後に言わせればよい。
・相手にこれらの数を最後に言わせるためには、
 自分がその前に( ④ )を言って終えればよい。
・このように考えると、自分が最後に言えればよい数は29から( ④ )へと( ⑤ )つ減っているので、その前の時に最後に言えればよい数も( ⑤ )ずつひいていけば、自分がこのゲームの一番初めに( ⑥ )を言って終えるべきだということが分かる。
・以上のことから、このゲームで必ず勝つためには(は)自分が〔 ⑦ 〕をとり、初めに( ⑥ )を言って終えればよいことが分かる。

(問2)
このゲームのルールを一部分だけ変えます。他の部分は元のルールから全く変えずに、下線部(い)の「最大で3つまで」の部分のみを変えてみます。この部分を以下の①、②のように変えると、(問1)で答えた下線部(は)の必勝法の部分はどうなりますか。解答欄の〔  〕には「先攻」・「後攻」のうちあてはまる方を、(  )にはあてはまる数を答えなさい。
①最大で4つまで
②最大で5つまで
*解答形式
自分が〔   〕をとり、初めに(   )を言って終えればよい。

(問3)
このゲームのルールを一部分だけ変えます。他の部分は元のルールから全く変えずに、下線部(ろ)の言ったら負けになる数である「30」の部分のみを変えてみます。この部分を以下の①~③のように変えると、(問1)で答えた下線部(は)の必勝法の部分はどうなりますか。解答欄の〔  〕には「先攻」・「後攻」のうちあてはまる方を、(  )にはあてはまる数を答えなさい
①言ったら負けになる数を「32」にする
②言ったら負けになる数を「51」にする
③言ったら負けになる数を「49」にする

(問4)
以上のことから、このゲームの必勝法は次のように考えればよいことが分かる。
空欄①~⑥にあてはまるものを次の中から選びなさい。

( ① )÷( ② )を計算し、その( ③ )を見る。
( ③ )が0ならば自分が( ④ )をとり、初めに( ⑤ )を言って終えればよい。
( ③ )が0でなければ自分が( ⑥ )をとり、初めに( ③ )を言って終えればよい。

ア:(下線部いの値) イ:(下線部いの値)+1 ウ:(下線部いの値)-1
エ:(下線部ろの値) オ:(下線部ろの値)+1 カ:(下線部ろの値)-1
キ:和 ク:差 ケ:積 コ:商 サ:余り シ:先攻 ス:後攻


@解説@
(問1)
誘導に従う。
30を言うと負け。自分が最後に29を言えば勝ち。
1回に3つまで言えるので、自分が29を言うためには、
相手に26か27か28を言わせればいい。
①~③…26・27・28

相手にこれらの数を言わせるには、自分が手前の25を言う。
④…25

自分が最後にいうべき数は29から25と4つ減っているので、
29から4ずつ引いていくと(29→25→21→17…
)、
初めに言うべき数は1となる。
⑤…4 ⑥…1

(問2)①
先ほど、最大3つまで言えるときに4ずつ減らしたので、
最大4つまで言えるときは5ずつ減らす。
(29→24→19→14→9→4)
自分が〔先攻〕をとり、はじめに〔4〕を言って終えればよい。


最大5つまでいえるので、6ずつ減らす。
(29→23→17→11→5)
自分が〔先攻〕をとり、はじめに〔5〕を言って終えればよい。

(問3)①
最大3つまで言えるとして、言ったら負けになる数を操作する。
32を言ったら負けなので、相手に31を言わせればいい。
31から4ずつ減らす(31→27→23…)
先ほどの29から後ろに2ズレるので、初めに言うべき数は1から3にズレる。
自分が〔先攻〕をとり、はじめに〔3〕を言って終えればよい。


50を言わせればよいので、50から4ずつ減らす。
(50→46→42→38→34…)
31から後ろに3ズレるので、初めに言う数は3→6にズレる。
6から4減らし、答えは2となる。
自分が〔先攻〕をとり、はじめに〔2〕を言って終えればよい。


相手に48を言わせる。
50と比較して、出発点が前に2ズレるので、2から前に2ズラすと0。
0はカウントされないので、初めに言うべき数は0から4つ後ろに戻して4となる。
先攻では4を初めに言えないので、後攻をとる。
自分が〔後攻〕をとり、はじめに〔4〕を言って終えればよい。

(問4)
今までの具体例から必勝法を導き出す。
下線部(い)の値…1度に言える数の個数
下線部(ろ)の値…言ってしまうと負けの数

(ろ)の値の1個前の数を相手に言わせるので、(ろ)の値-1が鍵となる。
例題と(問2)から、(ろ)の値-1から
(い)の数+1ずつ減らしていくので、
((ろ)の値-1)÷((い)の数+1)をして、その余りの数で初めに言うべき数を計算する。
①…カ ②…イ ③…サ

例題:(30-1)÷(3+1)=7…1 →1(先攻)
問2①:(30-1)÷(4+1)=5…4 →4(先攻)
問2②:(30-1)÷(5+1)=4…5 →5(先攻)
問3①:(32-1)÷(3+1)=7…3 →3(先攻)
問3②:(51-1)÷(3+1)=12…2 →2(先攻)
問3③:(49-1)÷(3+1)=12 →4(後攻)

このように並べると見えてくるかと。。
余りが0であれば、後攻をとって、(い)の値+1を言えば勝ち。
余りが0でなければ、先攻をとって、余りを言えば勝ち。
④…ス ⑤…イ ⑥…シ
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