2023年度 宮城県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均45.6点(前年比;-12.6点)
最高点100点、最低点0点
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
-9+2
=-7

(2)
-15÷(-5/3)
=-15×(-3/5)
=9

(3)
110=2×5×11

(4)
4a-9b+3=0
4a=9b-3
a=9/4b-3/4

(5)
3x-y=17 …①
2x-3y=30 …②
①×3-②をすると、7x=21
x=3
①に代入、3×3-y=17
y=-8
x=3、y=-8

(6)
√54+12/√6
=3√6+2√6
=5√6

(7)
y=2/3xにx=6を代入。
y=2/3×6=4
y=a/xにA(6、4)を代入。
a=6×4=24

(8)
ア:第1四分位数はA組が3冊、B組が4冊。×
イ:四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数
 箱の横の長さで、最も小さいのはB組。×
ウ:35人の中央値(第2四分位数)は18番目の値。
 B組は少なくとも18人が6冊以上で最も多い。〇
エ:最小値2、最大値8のAは、すべて2~8冊の範囲内にある。×
 Cの2~8冊は、中央値の前後にあつまる全データの50%ほど。

大問2(小問集合2)

(1)①
4×2×π×1/3=8/3πcm



OCに補助線。
共通辺OC、半径OB=OA、∠OBC=∠OAC=90°より、
斜辺と他の1辺が等しく、△OBC≡△OAC

∠COA=120÷2=60°
△OACの内角から辺の比は1:2:√3→CA=4√3cm
求積すべき部分は、四角形OACBから扇形をひく。
4×4√3÷2×2-4×4×π×1/3
=16√3-16/3πcm2

(2)①
y=ax2において、xの値がp⇒qに増加したときの変化の割合はa(p+q)
1/4×(0+6)=3/2



y=1/4x2にx=6を代入。
y=1/4×62=9
(6、9)の点でボールと舞のグラフが交わる
舞の傾きは9/6=3/2→y=3/2x

ボールが舞を追い越した後、あいだの距離が18mになった。(y座標の差が18になった
1/4x2-3/2x=18
2-6x-72
=(x+6)(x-12)=0
x>0より、x=12
12秒後

(3)

最初は、赤:白=だった。
白を300個追加すると、取り出した120個のなかでは赤80個、白40個だから、
赤:白=80:40=になった。

赤球の個数が変わっていないことに注目すると
を2倍してに統一すると、白のが追加した300個にあたる
最初の赤は、300×=1200個

(3)①
45÷3=15
→45は15行目の最大数。
奇数行は3列目が最も大きいので、15行目の3列目。

②ア
各行の最大数を拾い上げると…
1行目―3、2行目―6、3行目―9、…n行目―3n
n行目の最小数は最大数-2
3n-2


n行目の最小数P=3n-2
1つ手前のn-1行目の最大数QはP-1である
Q=3n-3

P+Q
=(3n-2)+(3n-3)
=6n-5=349
n=59
59行目は奇数行で、3列目は最大数。
n行目の最大数は3nだから、3×59=177


大問3(総合問題)

(1)①

PとQの位置を確認。
問題文に『合同な三角形の組はない』とあるように、△OPQの形が重複しない
△OPQは全部で4×4=16通り



∠POQ=45°は固定。
∠PQO=90°(斜辺OP)が4通り。
∠OPQ=90°(斜辺OQ)が2通り。
計6通り、確率は6/16=3/8

(2)①

BCの中点を通過する直線で△ABCが2等分される。


B(1、1)→C(4、0)
右に3、下に1だから、傾きは-1/3。
Bから左に1、上に1/3で、切片は1+1/3=4/3
y=-1/3x+4/3



AEに補助線をいれる
BD:DA=より、△DBE:△ADE=
△DBE=四角形DECA=だから、△AEC=
△ABE:△AEC=BE:EC=③:①

EはBCを③:①に内分する点。
内分点の公式からEのx座標は、(①×1+③×4)/(③+①)=13/4
(もしくは、BとCのx座標の差3を3/4倍してBの1を足す

y座標はBの1/4だから1/4。

E(13/4、1/4)


大問4(平面図形)

(1)
△CDE∽△BFEの証明。

対頂角は見えるが、もう1つの等角がなかなか出てこない(;´・ω・)
辺の情報に切り替える。
EC=9-3=6cm→CE:BE=2:1
DE:FE=CE:BE
2辺の比とあいだの角が等しいから∽。

(2)
△CDE:△BFEの相似比は2:1。
CD=7cmだから、これに対応するBF=7/2cm

(3)①

四角形ABCDは等脚台形で左右対称
垂線をおろし、下底の両端の長さは(9-5)÷2=2cm
三平方の定理を用いて、高さは3√5cm。



前問の解答から、△DBCの面積は9×3√5÷2=27√5/2cm2
(1)△CDE∽△BFEの対応する角()から錯角が等しい→BF//DH
台形BFHDの上底と下底から、△DBC:四角形BFHC=DC:(BF+CH)

GCは前問で2cmと求めている。
△AHD∽△GHCの相似比は、AD:GC=5:2
DC=、CH=とする
(1)△CDE∽△BFEより、BF=÷2=〇1.5
DC:(BF+CH)=:(〇1.5)=〇3.5
四角形BFHCの面積は、27√5/2×〇3.5/=63√5/4cm2


大問1
オール基本問題、取りこぼしたくない。
(8)エ、2冊~8冊はCの箱がスッポリ入るサイズ。
AとBはこれより箱が小さい→2~8冊はCが最も少ない。
大問2
(1)見た感じ線対称。
(2)②y座標は距離(m)。y座標の差=18が立式のポイント。
(3)他県よりやや難易度が高い標本調査。
追加前後の赤球と白球の比において、個数が変わらない赤球の比で統一する。
(4)①奇数行と偶数行で順番が異なる。
②イ、n行目の最小数Pとn-1行目の最大数Qの差は1。
大問3
(1)②場合分けしなくても数えられる範囲。
(2)③BD:DAからわかる面積比を手がかりにする。
y=1/4を前問の式に代入してもいい。
大問4
(3)②台形BFHDが見えたら方針は立てやすい。
四角形BFHCは上底BF・下底HCがかぶる。
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