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2023年度 沖縄県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均30.5点(前年比;-1.5点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)
-5-(-7)
=-5+7
=2

(2)
(-12)÷4/3
=-9

(3)
7-5×(-2)
=7+10
=17

(4)
√12+√27
=2√3+3√3
=5√3

(5)
(-3a)2×(-2b)
=9a2×(-2b)
=-18a2

(6)
3(5x+2y)-4(3x-y

=15x+6y-12x+4y
=3x+10y

大問2(小問集合)

(1)
5x-6=2x+3
3x=9
x=3

(2)
2x+y=5 …①
x-2y=5 …②
①×2+②をすると、5x=15
x=3
①に代入、6+y=5
y=-1
x=3、y=-1

(3)
(x+3)(x-3

=x2-9

(4)
2+2x-15
=(x+5)(x-3)

(5)
2x2+5x+1=0
解の公式より、x=(-5±√17)/4

(6)
√5<n<√11 ←2乗
5<n2<11
この範囲にある平方数は9だから、n=3

(7)

中心角は円周角の2倍。
x=(30+34)×2=128°

(8)
10%値上がり=110%=110/100
120×110/100×3=396円

(9)
パッと見て最頻値が大きいが、ここでは一応確認しておく。
平均値…(0×1+1×3+2×3+3×5+4×6+5×2+6×0
)÷20=58÷20=2.9問
中央値…20人の中央値は10番目と11番目の平均で3問。
最頻値…最もあらわれている値で4問。

大問3(データの活用)

(1)
最小値20.1℃が判断しやすいかな?

*A…2021年、B…2022年、C…2020年、D…2019年

(2)
範囲=最大値-最小値=30.7-22.7=8.0℃

(3)
ア:四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数
箱ひげ図でいうと箱の長さで、2021年が最も大きい。×
イ:31日のQ1(第1四分位数)は下位15日の真ん中、下から8番目。
2022年のQ1は24.4℃だから、25℃以下は少なくとも8日はある。〇
ウ:2022年の最大値は29.9℃だから、30℃超えはない。×
エ:2019年だけ平均値の方が中央値よりも大きい。×

大問4(確率)

(1)
6×6=36通り

(2)
n≧55となる整数は55、56、61、62、63、64、65、66の8通り。
確率は8/36=2/9

(3)
一の位は1~6。十の位を1とすると11~16は連続する6つの整数
3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2が必ず2個ずつ出てくる
これは十の位が2~6でも同じだから、3の倍数は2×6=12個
確率は12/36=1/3

大問5(数量変化)

(1)
通話料金:1分あたり50円→傾きは50
基本料金:
0円→切片は0(比例
y=50x

(2)
60分を超えた部分の通話料金は、40円×20分=800円
2000+800=2800円

(3)
●Aプランとの関係
Aの通話料金がBの基本料金を超える時間は、2000÷50=40分
40分後のBは2000円のまま。40分を超えるとBの方が安くなる。
●Cプランとの関係
Bの基本+通話料金がCの基本料金と等しくなる時間を見つける。
60分のとき、料金の差は2960-2000=960円
960÷40=24分後にCと料金が等しくなる。
60+24=84分を超えるとCの方が安くなる。
Bが最も安いのは、40分から84分までの間。

大問6(整数)

(1)
結果を聞いているので、適当な値で調べてみる。
2-22=12
2-42=20
2-62=28
いずれも4の倍数。

(2)
証明問題。問題文に従って記述すればいい。
nを整数とすると、連続する2つの偶数は2n、2n+2と表せる。
(2n+2)2-(2n)2
=8n+4
=4(2n+1)
2n+1が整数だから、4(2n+1)は4の倍数である。
したがって、連続する2つの偶数では、
大きい偶数の2乗から小さい偶数の2乗をひいた数は4の倍数になる。

大問7(作図)


∠ABP=70÷2=35°
∠Bの二等分線を作図すればいい。

大問8(関数)

(1)
y=ax2について、
x=-2のとき、y=4a
x=1のとき、y=a
変化の割合=(yの増加量)÷(xの増加量)
=(a-4a)÷{1-(-2)}
=-a=2
a=-2
①…4a、②…-2

@余談@
y=ax2において、xの値がp→qに増えるときの変化の割合はa(p+q)
(-2+1)a=2
a=-2

(2)
y=-2x2にそれぞれのx座標を代入する。
A(-2、-8)B(1、-2)
変化の割合が2⇒傾きが2
Bから左に1、下に2移動して、切片は-2-2=-4
y=2x-4

(3)

△OABは幅3、高さ4だから、3×4÷2=6

(4)

Oを通るABに平行な線をひき、y=-2x2との交点をPとする
PO//ABから等積変形で△PAB=△OABになる。
ABの傾きは2なので、POは原点Oを通る傾き2の直線→y=2x

Pはy=-2x2とy=2xの交点だから、
-2t2=2t
2t2+2t
=2t(t+1)=0
tは原点Oと異なる、-2≦t≦1なので、t=-1
Pのy座標は、y軸について対称であるBと同じ-2。
P(-1、-2)

@別解@
OPの傾きが2、OBの傾きが-2。
PとOBはy軸について対称で、y=-2x2も同様。
→これらの交点であるPとBもy軸について対称→P(-1、-2)


大問9(平面図形)

(1)
∠PQD=180-110=70°
AB//CDの同位角で、∠EPR=70°

(2)
△REP≡△RBDの証明。

仮定より、RP=RD
前問で∠EPR=70°と出したので、∠ERP=∠BDR
対頂角で、∠ERP=∠BRD
1辺と両端角が等しいので合同。

(3)
面白い問題です(´ー`)

AB//CDより、OA:OC=OP:OQ=√3:1
√3という無理数の比が与えられた⇒2乗して面積比で考えてみよう
△POB:△QOD=3:1
△QODの面積をとすると、四角形PQDBは

先ほどの合同で△RBDを△REPに移すと、四角形PQDBは△EQDに変形できる
△QOD:△EQD=OQ:QE=1:2

大問10(空間図形)

(1)
△OABで三平方→OB=
2√3cm

(2)

ア:△ABCの各辺において、(√7)2=(√3)2+22CA2=AB2+BC2が成り立つ
三平方の定理の逆より、△ABCは∠ABC=90°とする直角三角形。〇
イ:∠ABC=90°より、直径をACとする円の円周上に3点A、B、Cがある。〇
ウ:平行はなく、四角形ABCDは台形ではない。
エ:ACを対称の軸として△ABCと△ADCは線対称
∠ADC=∠ABC=90°で、Dは直径をACとする円の円周上にある。〇

(3)
四角形ABCD=△ABC×2で計算する。
四角錘OーABCDの体積は、2×√3÷2×2×3÷3=2√3cm

(4)

最短距離なので、展開図を作成する。
△OABの辺の比に注目すると、√3:2√3:3=1:2:√3
内角は30°―60°―90°


Aから垂線をひき、CBの延長との交点をEとする。
△AEBの内角も30°―60°―90°で、辺の比は1:2:√3
AE=√3/2cm、EB=3/2cm
△AECで三平方→AC=
√13cm

大問11(規則)

(1)

魔方陣の要領で考える。
正五角形は、5×5=25個

(2)
正n角形は、n×n=n2

(3)

今度は1つの固まりが-1個
正n角形では(n-1)がn個できる。

n(n-1)=870
2-n-870 ←30×30=900だから29×30と推測
=(n+29)(n-30)=0
n>0より、n=30
正三十角形


大問1
全部取ろう。
大問2
9問あるが、時間が足りないので手早く処理したい。
(9)最出値から攻めた方が得だった。
大問3
詳細な表だが、設問はやりやすい。
時間をかけすぎないようにしたい。
大問4
(3)書き出しでもよいが、連続する6つの整数のうち、
最も小さい数が3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2のいずれであっても、
それぞれ2つずつ出ることには変わりないので、2×6=12通りと求められる。
大問5
落ち着けば解けるが、数量変化の問題は時間との戦いである。
大問6
結論部分は問題文に埋め込んでも良かったのでは?時間ないし(;´・ω・)
大問7
70÷2=35と察しやすい。
大問8
(3)までは取る。
(4)等積変形を思い浮かべる。
ここもワークレベルなのでサッと解きたい。
大問9
(2)証明は平易。
(3)おそらく、正答率が最も低い。
ちょっと考えてダメそうならば後回し推奨。
1:2:√3がよぎるが、30°や60°が見当たらない。
√3から2乗→面積比に気づけるかがポイントであった。
合同で変形する視点もおさえておきたい。
大問10
(2)少々時間がかかるか。検討すべきは底面積である四角形ABCDの性質。
図がなんとなく台形に見えてしまう。
(4)ここもやや時間がかかる。
√3:2√3:3を√3で割ると1:2:√3で有名三角形が見つかる。
△OAB∽△BEA(2角相等)に気づければ計算できる。
大問11
魔方陣の基礎レベルだが、どれだけ時間を残せたかによる。
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