2019年度 沖縄県公立高校入試問題【数学】解説

平均28.9点(60点満点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)
4×(-3)=-12

(2)
4/3-2=-2/3

(3)
3.8÷4=0.95

(4)
√2×2√6
=2√12=4√3

(5)
(-5a)2
=25a2

(6)
2(x+1)-(1-x)
=2x+2-1+x
=3x+1

大問2(小問集合)

(1)
2(3x+2)=-8
6x=-12
x=-2

(2)
連立方程式。代入法が良いかな?
5x-3y=9…①
y=2x-5 …②
②を①に代入。
5x-3(2x-5)=9
x=6
y=2×6-5=7

(3)
(x+4)2
=x2+8x+16

(4)
2-8x+15
=(x-3)(x-5)

(5)
パッと見ると迷うかもしれない。。
③→④で2次方程式を勝手に1次方程式にしている。
2-3x
=x(x-3)=0
x=0、3

(6)
√45=3√5
√5=2.2360679・・(富士山麓オウム鳴く)
3√5=3×2.23…=6.69…≒7

(7)
反比例の一般式:y=a/x
a=xy=3×6=18
y=18/xに代入。
y=18/2=9

(8)
対頂角でxを下にもってくる。
x=180-(30+70)=80°

(9)
数直線で距離が2より大きい数字。
-5/2、3
イ・エ

大問3(標本調査)

(1)
最頻値(モード)は最も表れる数で、ヒストグラムでは突き出ているところ。
突き出ている部分が右側にあれば、平均値が最頻値より小さくなる。

(2)
なかなか良い問題(*’ω’*)
ポイントは63点を加味したあとでxを考える

31人の中央値は16番目の値。33人の中央値は17番目の値。
31人の16番目の値は60点。
欠席者のうち1人は63点であった。これを加味すると17番目の値は63点となる。
もし、もう1人が60点以下の場合、17番目の値は60点に戻るので、中央値が大きくならない。
よって、中央値を大きくするには61点以上でなくてはならない。

また、31人の平均点が65点で欠席者の1人が63点だから、
もう1人が67点であると平均は変わらない。
(65を真ん中に63は-2、67は+2なので均すと65)
平均値を小さくするには66点以下である必要がある。
よって、xの最小値は61点、最大値は66点。
①61点②66点

大問4(作図)

教科書の基本レベル。
2点A、Bからの距離が等しい→ABの垂直二等分線
これと直線ℓとの交点が点Pとなる。

大問5(確率)

(1)
ア:『同様に確からしいとする』ので、どの数も同じ確率で出るものと期待される。○
イウエ:確率の話では、「必ず」や「つねに」と断定はできない。×
オ:1が出る確率は1/5で、相対度数は1÷5=0.2
  試行回数を多くするほど、大数(たいすう)の法則により0.2に近づいていく。○
ア・オ

(2)①
全体の取り出し方→5×5=25通り

3で割り切れる数→積abが3の倍数
2回のうち1回は必ず3のカードを出す
(1、3)(3、1)(2、3)(3、2)(3、3)
(3、4)(4、3)(3、5)(5、3)の9通り。
*式で書けば、5×2-1=9通り。
3を出して、あとは1~5の5通り。
1回目と2回目の結果を逆にして2倍。
(3、3)は重複するので-1。

したがって、9/25


3の倍数+1で場合分け。
■1→(1、1)
■4→(1、4)(4、1)(2、2)
■7→×
■10→(2、5)(5、2)
■13→×
■16→(4、4)
■19・22→×
■25→(5、5)
計8通りなので、8/25


取り出した結果は、3の倍数・3の倍数+1・3の倍数+2の3パターンのみ
①より、3の倍数は9通り。
②より、3の倍数+1は8通り。
ということは、3の倍数+2は、25-(9+8)=8通り。
よって、3で割り切れる数が最も起こりやすい。ア

大問6(文字式)

(1)
500+25×80=2500円

(2)
x=100のとき、y=3000+15×100=4500
x=250のとき、250を200と50で分ける
y=3000+15×200+20×50=7000
したがって、4500≦y≦7000

(3)
電力会社Bは200kWhが分岐なので、ひとまず200kWhで試してみる。
A…500+25×200=5500円
B…3000+15×200=6000円
Bの方が500円高い。

ここから、1kWhあたりAは+25円、Bは+20円かかるので、
5円ずつ差が縮まっていく
500÷5=100kWh
よって、200+100=300kWhで料金が等しくなる。

大問7(関数)

(1)
Aの座標をy=ax2に代入。
2=(-2)2
a=1/2

(2)
y=1/2x2に、x=6を放り込む。
y=1/2×62=18

(3)
A(-2、2)→B(6、18)
右に8、上に16だから、傾きは2。
Aから右に2いくと、上に4だから、
切片は2+4=6
よって、y=2x+6

(4)

△COPと△AOBの面積が等しい。
底辺をBCで捉えると高さが同じ。
つまり、底辺の長さが同じであれば面積も等しくなる。
AB=CP
ABのx座標は8離れているので、CPのx座標も8離れる。
Pのx座標…-3+8=5

前問の式に放り込む。
y=2×5+6=16
P(5、16)

大問8(平面図形)

(1)
相似の証明。
穴埋めで内容も基本レベル。

対頂角が等しいことから∠APB=∠DPC
もしくは、弧ADに対する円周角から∠ABP=DCP
これらから2角が等しいことを示す。

相似であれば辺の比が等しくなり、PA:PD=PB:PCが導かれる。

(2)①
PAをxとする。PC=2x
x:5=6:2x
2x2=30
2=15
x=√15
PA=√15cm


面積比は辺の比の2乗。
PAとPDが対応する辺
△PAB:△PDC
=√152:52=15:25=3:5


大問9(空間図形)

(1)
展開図問題。

コツは辺から調べる
たとえば、辺AB(赤線)に接する面は2つあり、片方がCならば他方はEとなる。

サイコロの組み立てのように、合致する頂点が見えればそれも記入(青い矢印)。
面が横1列のところは両端の辺が重なる(BC
Aと対極にある
Fがアの位置にくる。

(2)
正八面体は正面からみると正方形になる
正方形ABFDを捉える。

1:1:√2の直角二等辺三角形を見つける。
AF=3√2+3√2=6√2cm

(3)
どこで内接するか見極める。

CD、BEの中点をそれぞれM、Nとする。
球はAM、AN上で正八面体に接する
△ACMで三平方→AM=3√3cm

断面図を作成。正八面体の中心をOとする。
△AMOで三平方→AO=3√2
半径rはAMに垂直で交わる△AMOの面積でrを計算する。
3√2×3÷2=3√3×r÷2
r=3√2×3÷3√3=√6

球の体積は、4/3πr3
4/3π×√63=8√3πcm3

@余談@

△ACDの重心で接する
AG:GM=2:1より、GM=√3cm
OM=3cmなので、△OGMで三平方をするとr=√6cm

ちなみに、お隣の鹿児島でも正八面体が狙われました。

大問5です。類題も出ていますね|д゚)

大問10(規則)

(1)①
実際にやってみよう。
A→D→G→B→E→Hの順で裏になる。
白はC・F


続きを試すと。。
H(6回目)→C(7回目)→F(8回目)→A(9回目)
8回目ですべて黒。9回目でAに帰る
8回目でオール黒なので、16回目でオール白になる。
16回目


初期状態のオール白になるのは16回目。
17回目にAへ戻り、黒に裏返していく。
16回目までで1ループ
100÷16=6…4
初期状態から4回目の状況を調べる。
A・D・G・Bが黒になる。
よって、白は
C・E・F・H。

(2)
数が変わっただけで原理は同じ。
試しに裏返してみると、
A→D→G→J→C→F→I→B→E→H(→A)
と、10回目に戻ってくる。
つまり、10回目ですべて黒になり、20回目ですべて白に戻る。
2019÷20=100…19
19回目の状況を考える。
10回目で黒になり、9回裏返して白にする。
よって、白の数は9個(黒はHのみ)。

*なぜ、すべてを裏返したあとにちゃんとAに戻るのか。
2個飛ばしということは3マス進む。

(3と8)(3と10)は互いに素の関係で、1以外に共通の約数を持たないから。

難問は少ないが大問が10個もあるので、
高得点を取るには幅広く網羅しなければならない。
3(2)でやりづらさを感じたら、素直に後回しがベター(σ’д’)σ
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