2020年度 愛知県公立高校入試問題Bグループ【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
4-6÷(-2)
=4+3=7

(2)
(2x+1)(3x-1)-(2x-1)(3x+1)
=6x2-2x+3x-1-6x2-2x+3x+1
=2x

(3)
(√5-1)2+√20
=5-2√5+1+2√5
=6

(4)
(x+1)(x-1)=3(x+1)
2-1=3x+3
2-3x-4
=(x+1)(x-4)=0
x=-1、4
*両辺に(x+1)が見えるからといって、両辺を÷(x+1)してはならない!( `ー´)
x=-1のとき、x+1=0となり、0で割ることはできないから。

(5)
鉛筆5本…5a円、消しゴム1個…b円
お釣りがあったということは、購入代金は500円を下回る。
5a+b<500

(6)
中学受験の解き方でいきます(;^ω^)
ポイントは、合計は変わらないこと。

変更前は、A:B=①:②
変更後は、A:B=□5:□7
③=□12なので、〇を4倍すれば□に統一できる。

変更により、Bは□1減り、これが14人にあたる。
全体は□12だから、14×12=168人

(7)
ア:x≧0であれば正しいが、x<0のときはxが増加するとyは減少する。×
イ:y軸を対称の軸として左右対称。〇
ウ:原点を通過するので、x=0のとき、最小値y=0→0≦y≦4×
エ:グラフは下に凸のグラフで、yの最小値は0。〇
イ・エ

(8)
6人の中央値は、3番目と4番目の平均値。
23と25の平均→24m

(9)

半径より、△ABOと△ACOは二等辺。
赤線でブーメラン型。
ブーメランの3つの角の和は、ブーメランの股の角
∠ACO=(154-31×2)÷2=46°

大問2(小問集合2)

(1)
サイコロの出目の出方は、6×6=36通り

1~6までの約数を並べてしまおう。
1→1
2→1・2
3→1・3
4→1・2・4
5→1・5
6→1・2・3・6
カードを1枚に残すには、必ず6を出して4枚取らなければならない
(4、6)(6、4)(5、6)(6、5)の4通り。
4/36=1/9

(2)

3と128を並べてみると、最後の方は2のベキ乗のレールに乗って1にたどり着く。
操作の回数は7回で固定なので、最初の方をいじる。

1つは、〔3→10〕を〔20→10〕にチェンジ。
もう1つは、〔128→64〕を〔21→64〕にチェンジ。
a=20、b=21
*本問はコラッツ予想とよばれる、数学界での未解決問題の1つ。
奇数なら3倍+1、偶数なら÷2をすれば、どんな自然数でも最後は1になるという。

(3)

与えられた式から座標を確認。
Aを通る、△BOCを二等分する直線とBCとの交点をDとする。

x座標を頼りに辺の比を考える
AB:OB=3:4
DB=a、CB=bとする。

△BADと四角形AOCDの面積が等しいので、
△BADの面積を2倍すれば△BOCとなる
隣辺比から、a×③×2=b×④
⑥a=④b
a:b=4:6=2:3

CD:DB=1:2
Dのx座標…-3+7×1/3=-2/3
Dのy座標…1+7×1/3=10/3
D(-2/3、10/3)

@別解@
別解…というか、問題集に出てくる王道の解き方は等積変形かと思われる。

Oを通る、ACに平行な線をひき、BCとの交点をEとする。
BCを通る直線;y=x+4
ACの傾きが1/4なので、OE;y=1/4x
x+4=1/4x
これを解いて、Eのx座標は-16/3
DはBEの中点から、Dのx座標が-2/3
これをy=x+4に代入してD(-2/3、10/3)

(4)①
情報整理!
Aの40cmは1分あたり2cmずつCに移動。
ポンプPが止まるのは、40÷2=20分後

Cは75cmになるので、Bから75-40=35cm分の水が移された。
Bの35cmは1分あたり1cmずつCに移動。
ポンプQが止まるのは、35÷1=35分後

つまり、20分後にPが止まり、その15分後にQが止まる。
15分後


なかなか面白い(*’ω’*)
はじめにAとBにどれほど水が入っているかはわからない。
よって、どちらのポンプが先に止まるかわからない。

とりあえず、座標をプロットφ(*゚ω゚´*)
最初はPとQを同時に動かすので、Cは毎分3cmずつ高くなるはず。
原点から25分後の(25、45)までの傾きを調べると、45/25=9/5
3ではなくなっているということは、25分前にいずれかのポンプが止まっている
Pが先に止まる;毎分3cm→毎分1cm→0
Qが先に止まる;毎分3cm→毎分2cm→0
25分まではどちらか一方は動いているので、Qが先に止まれば傾きは2より大きいはず
よって、
先に止まるのはポンプP、後に止まるのはポンプQとなる
(ちなみに、(25、45)から(50、65)までの傾きは、20/25=4/5
傾きが1未満ということは、最後は2つのポンプが止まっている状態である)

変化の割合は3cm→1cm
ポンプPがx分後に止まったとして、Cの高さで方程式を作成。
3x+1×(25-x)=45
x=10
ポンプPは10分まで稼働し、そのときのCの高さは3×10=30cm。

うしろの線分を延長すると(50、70)に向かい、(50、65)と交わらない。
yの最大値は65であり、手前の(45、65)でグラフが折れることになる。


大問3(図形)

(1)
発想力が求められる(;´Д`)
DFが∠ADCの二等分線である点をうまく活用する。

AEとDCを延長、交点をGとする。
△ADFと△GDFは、一辺と両端角が等しく合同
DA=DGとなり、△ADGは二等辺となる。

①AD//BCから、錯角で∠AEB=∠EAD=56°
②二等辺三角形ADGの底角で、∠DGA=56°
③AB//DGから、錯角で∠BAF=56°

(2)①
四角形AEFDと四角形EBCFの周の長さが等しい。

AE=EBを相殺。共通辺EFも相殺。
BCはADより4cm長いので、DFがFCより4cm長くなればいい。
DF+FC=(FC+4)+FC=2FC+4=5cm
FC=1/2cm
DF=5-1/2=9/2cm


いろいろなやり方があると思われる。

ECに補助線。
四角形EBCFを△EBCと△ECFに分割する。
△EBCの面積…EはABの中点だから、高さは2cm。
6×2÷2=6cm2

Eを通る、BCに平行な線をひき、CDとの交点をGとする
平行線と線分の比から、EGはADとBCの平均→EG=4cm
GはCDの中点で、CG=5÷2=5/2cm
FG=5/2-1/2=2cm
△ECF:△EFGの面積は、CF:FG=1/2:2=①:④
△ECFの面積…△ECGの面積の4/5倍→4×2÷2×①/⑤=4/5cm2
四角形EBCFの面積…6+4/5=34/5cm2

(3)①

組み立てると円錐台(プリン型)になる。
展開図の弧の長さから、円Qの直径は4cm、円Pの直径は6cmとなる。
円Pと円Qの面積の和は、3×3×π+2×2×π=13πcm2



PQの高さは、左側で三平方。
PQ=√(32-12)=2√2
OQ:OP=DQ:AP=②:③
OP=2√2×③=6√2cm
体積比は辺の比の3乗。
3×3×π×6√2÷3×(33-23)/33=38√2/3cm3
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