2022年度　長野県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均46.5点（前年比；－5.4点）

100点―０人、０点―５人
問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）
５＋（－２）
＝５－２
＝３

（２）
（－６ｘ＋９）÷３　←分配法則
－６ｘ÷３＋９÷３
＝－２ｘ＋３

（３）
84を素因数分解する。
84＝２²×３×７
『ある自然数の２乗』→平方数→各素因数が偶数個。
３と７を１個ずつ追加すればいい。
ｎ＝３×７＝21
（*84×21＝２²×３²×７²＝（２×３×７）²＝42²）

（４）
ｘ²＝４ｘ
ｘ²－４ｘ
＝ｘ（ｘ－４）＝０
ｘ＝０、４
ウ
*ｘ²＝４ｘの両辺をｘで割らないこと！
ｘ＝０のときは割れない。÷０は×！

（５）
集めたお金…500ａ円
花束の代金…ｂ円
代金より200円足りなかったので、500ａ＝ｂ－200
エ
*「足りなかった」に引き寄せられて不等号にしないこと！
500ａ＜ｂに200円の情報をつけると、500ａ＋200＝ｂ→500ａ＝ｂ－200

（６）
16個の中央値（メジアン）は８番目と９番目の平均値。
15と19の平均で17分。

（７）
余事象。
〔全体－起こる確率＝起こらない確率〕
１－３/８＝５/８

（８）
√４＜√６＜√９
√４＝２、√９＝３だから、√６は２と３のあいだ⇒整数部分は２。
√６の小数部分ａ＝√６－２
ａ（ａ＋２）
＝√６（√６－２）
＝６－２√６

（９）
反比例はｘとｙの積が比例定数ａで一定。
500Ｗ×180秒÷600Ｗ＝150秒＝２分30秒

＠余談＠
ｙは秒だが分でもできる。
500Ｗ×３分÷600Ｗ＝５/２分＝２分30秒

（10）
合同な４つの図形に分ける⇒４等分

ＡＢの垂直二等分線が答え。

（11）①
∠ＢＯＣは弧ＢＣの中心角で、∠ｘは円周角。
120÷２＝60°

②
６×６×π×120/360＝12πｃｍ²

大問２（小問集合２）

（１）①

ネジレ→延長しても交わらない、かつ平行でもない。
該当する辺に×を書いてみよう。
ＡかＤと交わるものに×をつけるとＣＭしか残らない。
ＡＤと平行でもないのでＣＭが答え。

②
素直な問い。
６×３÷２×６÷３＝18ｃｍ³

（２）①
捕獲した30匹のうち、印つきは９匹。
⇒全体：印つき＝30：９＝⑩：③の割合。
印つきは全部で50匹なので、50×⑩/③＝166…≒170匹

②
標本調査は母集団のなかから無作為に標本を抽出して、母集団の傾向を推し量る。
対して、全数調査では調査対象すべてを調べ上げる。
世論調査や視聴率は標本調査で足りる。
ア・エ
*歯科検診や健康診断は各人のデータをとらなくてはならないので全数調査。
総務省が行う国勢調査は全数調査の代表例として覚えておこう。

＠テレビの視聴率＠
標本（サンプル）の大きさはどの程度求められるか。
大学レベルの統計学の知識が必要だと思うのでサボにはわかりませんが、
テレビの視聴率を計測する機器が設置されている台数の割合は、
全体の0.01％にも満たないようですｗ( ﾟДﾟ)ｗ
視聴率調査に協力している人を全く見掛けない理由（ねとらぼ）
↑この記事によると、2017年10月時点で調査対象世帯は全体の0.00005％以下となっている…。

それだけで残りの99.999…％以上を推し量って良いものなのか疑問に思われますが、
統計学的には十分信頼するに足りるサンプル数なんだとか・・。
どうやら母集団が大きくなるほど、標本の大きさは思ったより小さくても間に合うようです。
反対に母集団が小さいと（例えば１クラスのなかの動向では）多くの標本をとらないといけない。

（３）①
ｘが2014年のゴミ排出量、ｙが2019年のゴミ排出量。
１つ目は排出量で等式。ｘ－ｙ＝200

２つ目は2019年の資源ゴミで等式を立てる。
右辺の『25/100ｙ』は、2019年のゴミ排出量ｙｇに帯グラフの資源ゴミ25％をかけている。
つまり、2019年度における資源ごみの排出量である。

②
今度は『2019年の資源ゴミは2014年と比べて25％増』を使う。
2014年の資源ゴミの排出量は16/100ｘ。
これの25％増（＝125％）が2019年の資源ゴミ排出量に相当する。
16/100ｘ×125/100

③
解答では数値を示して説明をする。
問われているのは『可燃ゴミの排出量の比較』。
割合は66％→70％に増えているが、可燃ゴミの排出量を知るにはゴミ排出量の合計が必要。

そこで、前問の連立を解く。
ｘ－ｙ＝200　…①
16/100ｘ×125/100＝25/100ｙ　…②
②をきれいにすると、４ｘ＝５ｙ…③

①を４倍して、４ｘ－４ｙ＝800
これに③を代入すると、５ｙ－４ｙ＝ｙ＝800
①に放り込んで、ｘ＝800＋200＝1000
ゴミ排出量の合計は2014年が1000ｇ、2019年が800ｇである。

2014年の可燃ゴミ…1000×66％＝660ｇ
2019年の可燃ゴミ…800×70％＝560ｇ
可燃ゴミの排出量は減っている。イ

大問３（数量変化＆関数）

Ⅰ（１）
あ：60＜65≦70だから1000円。
い：1300円まで支払える。最大で100ｃｍ以下。
イ

（２）
答案では理由も記述する。
『ｙはｘの関数である』→ｘの値を決めるとｙの値がただ１つに決まる関係。
これを本問にあてはめると、、
【荷物の大きさが決まると料金がただ１つに決まる】ので、
料金は荷物の大きさの関数である。ア
*荷物の大きさは料金の関数ではない点に注意！
料金がわかっても荷物の大きさは判明しない。

（３）
●Ａ社→100＜115≦140だから1800円。
●Ｂ社→超過分は、115－80＝35ｃｍ
『10ｃｍごと』なので30＜35≦40、すなわち超過分は40ｃｍで計算する。
900＋200×40/10＝1700円
Ｂ社の方が100円安い。

Ⅱ（１）
ｙ＝ａｘ²について。
ア：ａ＞０だから下に凸。ｘ＝０のとき最小値ｙ＝０。〇
イ：ａの絶対値が大きくなるとグラフは閉じていく。×
ウ：変化の割合は（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）で一定ではない。〇
　*ｘの値がｐ→ｑに増加するときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）
エ：双曲線は反比例です。×
オ：ｙ＝ａｘ²は下に凸、ｙ＝－ａｘ²は上に凸でｘ軸について対称。〇
ア・ウ・オ

（２）
ｙ＝－２ｘ＋６にｘ＝－６を代入する。
ｙ＝－２×（－６）＋６＝18
ｙ＝ａｘ²に（ｘ、ｙ）＝（－６、18）を代入。
18＝36ａ
ａ＝１/２

（３）①
ＡＢ：ＢＤ＝１：３をどう使うか。

赤線の三角形の相似からＡのｙ座標が８とわかる。
ｙ＝ｘ²にｙ＝８を放り込んで、
ｘ²＝８
Ａのｘ座標は負なのでｘ＜０。ｘ＝－２√２
Ａ（－２√２、８）

②
位置が定まっているＡとＣの座標を調べる。

△ＡＯＣを等積変形。
面積が27、高さが６なので、ＡとＣのｘ座標の差は27×２÷６＝９である。

ＡＤの傾きは－１。
△ＯＢＤは直角二等辺三角形で、ＯＢ＝ＯＤ＝６
Ｄ（６、０）
また、ＡＤとＣで直交するＯＣの傾きは１で、△ＯＣＤも直角二等辺三角形。
ＣはＢＤの中点にあたる⇒Ｃ（３、３）

Ａから垂線をおろし、ｘ軸との交点をＥとする。
△ＡＤＥも直角二等辺三角形で、ＡＥ＝ＤＥ＝12
Ｅのｙ座標は12、ｘ座標は６－12＝－６
Ｅ（－６、12）

最後に、△ＡＰＣの周の長さが最も短くなるＰの位置を考える。
ＡとＣは定点ゆえ、ＡＣの長さは不変。ＡＰ＋ＰＣの最短を考えればいい。
最短⇒直線。線対称を用いる。
ｘ軸についてＣを対称移動させた点をＣ’とする。ＡＣ’とｘ軸との交点がＰである。
赤線の三角形の相似に注目して、相似比は12：３＝④：①
Ｐのｘ座標は、－６＋９×④/⑤＝６/５

＠内分点の公式＠

高校数学の美しい物語より。高校数学で習いますが、小技として知っておくと便利です。
Ｐは（－６、０）と（３、０）を４：１に内分する点なので、
となります。

大問４（平面図形）

Ⅰ（１）
△ＢＣＤの内角は30°―60°―90°で、辺の比は１：２：√３。
斜辺ＢＣ＝６ｃｍなので、ＢＤ＝６×√３/２＝３√３ｃｍ

（２）
△ＥＢＦ∽△ＦＣＤの証明。

折り返しで、∠ＥＦＤ＝∠ＥＡＤ＝60°
●＋×＝120°で角度調査。２角が等しいので∽。

（３）①

∠ＣＤＩ＝180－（90＋60）＝30°
折り返しで★は等しい。
∠ＥＤＧ＝（180－30）÷２＝75°

②

△ＤＣＩの辺の比は１：２：√３→ＤＩ＝√３ｃｍ
ＡＤ＝６－２＝４ｃｍ
折り返しで、ＧＤ＝ＡＤ＝４ｃｍ
ＧＩ＝ＧＤ－ＩＤ＝４－√３ｃｍ

Ⅱ（１）①
方針１の相似は使わない！

ＢＭ＝６÷２＝３ｃｍ
折り返しで、ＡＥ＝ＭＥ＝６－ｘｃｍ
△ＢＥＭで三平方。
（６－ｘ）²＝９＋ｘ²
12ｘ＝27
ｘ＝９/４
ＢＥ＝９/４ｃｍ

②

△ＢＥＭ∽△ＣＭＨより、９/４：３＝３：ｘ
外項と内項の積で、９/４ｘ＝９
ｘ＝４
ＨＣ＝４ｃｍ

（２）

直径に対する円周角は90°。
∠ＥＢＫ＝∠ＥＩＫ＝90°より、直径はＥＫである。

下半分だけをピックアップ。
ＥＢ＝６×１/４＝３/２ｃｍ
折り返しで、ＥＩ＝６－３/２＝９/２ｃｍ
Ｉを通るＢＣに平行な線をひき、ＥとＫの垂線との交点をそれぞれＯ、Ｐとする。
△ＥＪＢ∽△ＥＩＯ、ＥＪ：ＪＩ＝１：１より、ＢＯ＝ＥＢ＝３/２ｃｍ
ここで、△ＥＩＯの辺の比に着目する。
ＥＯ：ＥＩ＝３：９/２＝②：③
三平方の定理を用いて、ＯＩ＝〇√５

△ＥＩＯ∽△ＩＫＰより、ＩＫ：ＫＰ＝③：〇√５
ＫＰ＝３/２ｃｍなので、ＩＫ＝３/２×③/〇√５＝９/(２√５)ｃｍ

最後に△ＥＫＩで三平方。

直径ＥＫ＝９√30/10ｃｍ