2019年度 岐阜県公立高校入試問題【数学】解説

平均54点

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)  89%
10-42
=10-16=-6

(2)  89%
4(2a+b)-2(a-3b)
=8a+4b-2a+6b
=6a+10b

(3)  73%
2-6x+9
=(x-3)2 ←ここで代入
=(√2+3-3)2
=2

(4)  57%
捕獲した27匹のうち、全体:印あり=27:3=9:1
47匹に印をつけたので、47×9/1=423匹
十の位の概数なので、一の位を四捨五入→420匹
*誤答では423や430など概数処理の不適切が多かった。

(5)  62%
ア:x=4を代入すると、y=25×
イ:傾きa>0なので、右上がり〇
ウ:x=-2のとき、y=-3
  x=1のとき、y=9
  yの増加量は9-(-3)=12
*一次関数の変化の割合は傾き4と同じ。
xの増加量が3だから、yの増加量は4×3=12
エ:〇
→イ・エ
*誤答では増加量と変化の割合を誤ってウとするものが多かった。

(6)  82%
垂線の作図。捻りもなく基本問題。
Aに針をセットして左右に交点。
2つの交点から適当な長さの弧を描き、その交点とAを結ぶ。

大問2(関数)

(1)  82%
Aの座標をグラフの式に放り込む。
2=(-1)2
a=2

(2)  64%
Bのy座標を求める。y=2x2に代入。
y=2×22=8
A(-1、2)→B(2、8)
右に3、上に6だから、傾きは2。
Aから右に1、上に2なので、切片は2+2=4
y=2x+4
*誤答では、y=2a+4など間違った文字の使用が多かったらしい…。

(3)  48%
最後の小問だが、お馴染みの等積変形で捻りなし(;´・ω・)
底辺がA~Bのx座標の距離、高さがℓの切片になる。
3×4÷2=6

大問3(確率)

(1)  67%
1個取り出し、戻したうえで再度取り出す。
1回で白玉がでる確率は2/4=1/2
2回とも白玉は、1/2×1/2=1/4
*誤答では、玉を袋に戻さずに1/6とするものが多かった。

(2)  67%
2回とも赤玉も1/4
1/4+1/4=1/2

(3)  63%
2回とも違う色がでてくる確率
=全体-2回とも同じ色=1-1/2=1/2

数字の組み合わせは(1、1)(1、2)(2、1)(2,2)。
2回とも数字が違う確率は2/4=1/2
よって、2回とも色と数字が違う確率は1/2×1/2=1/4

@別解@
1回目で【白1】を出したとする。2回目は【赤2】しかない。
1回目で【白2】を出したとする。2回目は【赤1】しかない。
つまり、1回目で何かを出したとき、2回目は4つのうち1つしかない。
⇒1/4


大問4(方程式)

(1)
誘導に従って穴埋め。
AはQだけ作ると2割増しなので、1.2x。
ア…1.2x  52%
*誤答では0.2xが多い。

BはQだけ作ると1割少なくなるので、0.9y。
イ…0.9y  52%
*誤答では-0.1yが多い。

x+y=55
1.2x+0.9y=57
この連立を解く。
x=25、y=30
ウ…25、エ…30  共に52%

オはAでQだけを作るとき、すなわち、1.2x。
1.2×25=30個
オ…30  47%

カはBでQだけを作るとき、すなわち、0.9y。
0.9×30=27個
カ…27  47%

(2)  14%!
前問より、Qだけの場合、1時間でAは30個、Bは27個作れる。
Aをa台、Bをb台使うとする。
30a+27b=600

問題文ではこれ以上手掛かりがないので、不定方程式の処理。
600は30の倍数で、30aも30の倍数。
〔30の倍数+30の倍数=30の倍数〕だから、27bは30の倍数でなくてはならない
30の倍数は10の倍数だから、27bの1の位が0となるのは270の倍数しかない。
270は30の倍数でもあり適合する。600までに270の倍数は270と540のみ。
(Bは複数台使うのでb=0は不適)

27b=270のとき、30a=600-270=330
a=11
27b=540のとき、30a=600-540=60
a=2
よって、Aの台数は2台と11台。
*誤答には20台を含めているものがあった。

@別解@
お助けマンさんから素晴らしい解法を頂きました(*´д`艸)
30a+27b=600 ←両辺を3で割る。
10a+9b=200
a=20-9b/10

a・bは自然数なので、等式が成り立つにはbが10の倍数でなくてはならない
b=10のとき、a=11
b=20のとき、a=2
よって、2台と11台。
*不定方程式はその処理に苦労する生徒が多く、正答率がガクッと下がりやすい設問です。
こちらの解法は、等式を変形させて代入すべき値を絞り込んでいます。
本問ではbではなく、aについて解いた方が判別が容易ですね。
なぜなのか、bで試してみましょう(*`・ω・)ゞ

大問5(平面図形)

(1)  49%
△ACD∽△EBFの証明。

弧ADに対する円周角(
EF//CBから錯角→弧DCに対する円周角(×
2角が等しい→∽
*誤答では∠CAD=∠BEFを錯角を利用して適切に表現できていないものがあった。

(2)ア  43%
ACが直径になる。
直径に対する円周角は直角。

△ABCで三平方。
AB=√(122-32)=3√15cm

イ  10%!
△AEF∽△ACB
AF:FB=AE:EC=10:2=5:1
BF=3√15×1/6=√15/2cm

ウ  4%!!
(1)の相似を利用する。
△EBFの面積を求め、面積比は辺の比の2乗。

△AEF∽△ACBから、EF=3×10/12=5/2cm
△EBFの面積は、√15/2×5/2×1/2=5√15/8cm2

△EBFで三平方→EB=√10cm
面積比は辺の比の2乗。
△EBF:△ACD=√102:122=10:144

5√15/8×144/10=9√15cm2

大問6(規則)

(1)ア  95%
1・3・5・7…
5番目は9枚。

イ  74%
地道に数えてもできるが、
ここでどう数えるかで後ろの問題に影響する。
横と縦で分けてみよう

(横)…一番下のカードの枚数×2
(縦)…段数×2

5番目の一番下の段は9枚だから、
9×2+5×2=(9+5)×2=28枚

(2)ア  92%
一番下のカードは、1、3、5、7…と奇数の並び。
2n-1枚

イ  61%
先ほどの図の通りに考える。
一番下のカード×2+段数(n)×2
=2(2n-1)+2n
=6n-2cm
*誤答では6n+4がみられた。

(3)  70%

右のようにズラすと長方形になる。
(一番上+一番下)×段数÷2
={1+(2n-1)}×n÷2
=n2
*総和の出し方と同じ。
ex.1)~10の和は(1+10)×10÷2=55

(4)  8%!
カードの境目の長さの和を求める。
今までの情報をうまく活用できないか、という思考にもっていこう。

(3)でn番目までのカードの総数がn2枚だった。
1枚の周の長さが4cmなので、n2枚の周りの長さは合計で4n2cm。

全てのカードの周りの長さ4n2cmから図形の周り(外周)の長さをひけば、
カードの辺同士が重なる長さ(図形内部の線分)の和がでる。
n番目の図形の周りの長さは(2)イより6n-2cm。
図形内部の線分の和は、4n2-(6n-2)=4n2-6n+2cm。

内部の線分は隣り合うカードで1つの線分を共有するので、
ダブルで重複してカウントしている
カードとカードの境目の長さの和は、
(4n2-6n+2)÷2=2n2-3n+1cm

@別解@
直接求めにいくこともできる。
カードとカードの境目を横と縦で分けて考える。

横の長さをみていくと…
3番目で4cm、4番目で9cm。
4、9といえば平方数。
n番目の横の長さの合計は、(n-1)の平方数である。
横…(n-1)2

縦の長さを観察|д゚)
左右で分けてみよう。
3番目…1+2
4番目…1+2+3
n番目…1+2+・・・+(n-1)
1~(n-1)の総和を2倍する。
縦…(1+n-1)×(n-1)÷2×2=n(n-1)

したがって、(n-1)2+n(n-1)=2n2-3n+1cm

素直な設問が多かったかな?
それでも不定方程式は苦手な人続出。
サイタマなんか0.6%だったし・・。
高校数学でも出てくるからね(*・ノェ・)

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