2020年度 京都府公立高校過去問・前期【数学】解説

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大問1(計算)

(1)
8×(-3/2)2-(-42
=8×9/4-(-16)
=18+16=34

(2)
(4a-3)/6-(6a-5)/9
={3(4a-3)-2(6a-5)}/18
=(12a-9-12a+10)/18
=1/18

(3)
2/3x23÷(-1/8xy)÷4/9y
=-12xy

(4)
半径4cmの円の面積が16πcm2
弧の長さと中心角は比例関係
〔16πcm2で中心角360°〕なので、
6πcm2の扇形の中心角は、360×6π/16π=135°

(5)
x=5、y=-3を代入。
5a+3b=23 …①
10+3a=31 …②

②より、3a=21
a=7
①に代入して、35+3b=23
b=-4
a=7、b=-4

(6)
2+12a+35
=(a+5)(a+7) ←ここで代入
=(√30-6+5)(√30-6+7) 
=(√30-1)(√30+1) ←和と差の平方
=√302-12=29

(7)
3x2-8x-4=0
因数分解ができないので解の公式を適用。
xの係数が偶数なので、b=2b’が使える。
x=(4±2√7)/3

(8)
xが負の範囲で、xが増加するとyも増加する関数を選ぶ。
一次関数(比例)であるアイウエのなかで、アウは傾きが正。
xが負の領域でも右上にあがっていくので、xが増えればyも増える。

放物線であるオカで、上に凸となるカが題意に適する。
ア・ウ・カ

(9)
1回目の玉を袋に戻さずに2回目の玉をとるので、
1度に袋から2個の玉を取り出すのと同じ
全体の場合の数は、6個から2個取り出す→62=15通り

『黒が少なくとも1個は袋に残る』(黒を取り出すんじゃないよ!
全体-(黒が2個とも取られ、袋に黒がゼロ)
2個の黒を2個取り出す組み合わせは1通り。
よって、14通り。
14/15

大問2(標本調査)

(1)
50人の中央値(メジアン)→25番目と26番目の平均値
0以上~6未満までの合計が18人。
中央値は6以上~8未満の階級に含まれ、ア・イ・ウ・エが正解…と判断するのは早計。
念のため、0以上8未満の度数を確認すると18+8=26人となり、26番目は最大でも7冊
25番目と26番目の平均値は7.5冊にならない。
よって、ア・イ・ウ。

(2)
『4以上6未満の相対度数は等しい』ので、
X=40×10/50=8

Y+Z=40-(2+8+6+4+6)=14
また、『8以上10未満の相対度数は3年生の方が大きい』ので、
3年生の8以上10未満の度数(Y)は、40×15/50=12人より大きい
つまり、(Y、Z)=(13、1)(14、0)のいずれか。
『3年生の最大値が16冊』だから、(Y、Z)=(13、1)となる。
X=8、Y=13、Z=1


大問3(平面図形)

(1)
△ABD∽△EADの証明。

証明問題としては、わかりすい部類。
1つは共通角。
もう1つは、二等辺三角形ADCの底角+円周角コンボ。
2角が等しく∽。

(2)
前問の∽を用いる。
BD:AD=AD:ED=12:9=4:3
BD=12×4/3=16cm
BE=16-9=7cm

(3)

ADを延長、CからADに向けて垂線をおろした交点をFとする。
すると、内角が30°-60°-90°の直角三角形がみつかる。
1:2:√3より、CF=12×√3/2=6√3
△ACFも1:2:√3の直角三角形!
AC=6√3×2=12√3cm

△ACDの面積…12×6√3÷2=36√3cm2
ここで、DE:EB=9:7を使う。
△ACDと△ABCはACを共有しており、
ACを底辺とすると、高さの比はDE:EB=9:7となる
面積比も△ACD:△ABC=9:7
△ABCの面積…36√3×7/9=28√3cm2

大問4(関数)

(1)
y=-1/2x+7より、B(6、4)
これをy=ax2に放り込む。
4=36a
a=1/9

y=-1/2x+7から同様に、C(2、6)
AC:CD=5:4と使う。
CとD(B)のx座標の差がちょうど4なので、AとCのx座標の差は5。
Aのx座標…2-5=-3

(2)
y=1/9x2より、A(-3、1)
A(-3、1)→C(2、6)
右に5、上に5なので、ちょうど傾きが1!
A座標から右に3、上に3いくと、切片が4。
y=x+4

(3)
問題集では定番なので方針は立てやすい。
あとは丁寧に処理できるかどうか。

OC//BEをとらえる。
等積変形より△OCB=△OCEとなり、
四角形OBCAと三角形OEAが等積となる。
OC;y=3x
BE;傾きが3で(6、4)を通る式。
4=3×6+b
b=-14
y=3x-14

Eはy=x+4とy=3x-14の交点。
x+4=3x-14
x=9
y=9+4=13
E(9、13)


大問5(空間図形)

(1)

BP=DQ=3cmから、PとQは同じ高さにある!(`ω´)
そこで、PとQを通る断面で考えてみよう。
PQは1辺が6cmの正方形の対角線→6√2cm

(2)

四角形CQRPに着目。
この4辺は直方体の側面にある、3cmと6cmを2辺とする直角三角形の斜辺。
すなわち、CQ=QR=RP=PCとなり、四角形CQPRは菱形
〔菱形の面積=対角線×対角線÷2〕
PQはわかっているので、CRの長さを求めにいく。
CRは1辺が6cmの立方体の対角線
CR=√(62+62+62)=√108=6√3cm
よって、四角形CQRPの面積は、6√2×6√3÷2=18√6cm2

CQとPRの距離は、RPを底辺としたときの高さにあたる。
平行四辺形の面積の要領で、底辺RP×高さ?=面積18√6

RP=QC
→QCの長さは立体図における△DQCで三平方。
RP=√(62+32)=3√5cm
よって、18√6÷3√5=6√30/5cm

(3)
(゚Д゚)ムズー

↑ココを求めよっちゅーことだが、変なところにある:(っ`ω´c):
変な場所にあるときは、どこかに配置転換することを考える。

PQは菱形CQRPの対角線である
菱形は対角線で二等分されるので、△CPQと△RPQの面積が等しい
この2つの三角形を底面として三角錘M-CPQと三角錘M-RPQをとらえると、
面積が等しい2つの底面は同一平面上にあるので、面CQRPからMまでの錘の高さが共通し、
M-CPQとM-RPQの体積が等しい
言い換えれば、求積すべき立体はM-RPQでもいい。

なぜ、M-RPQに切り替えるとうれしいのかというと、
3点P・R・Mが面AEFB上にあり、△PRMを底面とすると高さがAD、
すなわち、正方形の1辺である6cmと判明しているので体積が求めやすいから。
△PRMの面積さえわかれば決着がつく。

しかし、ここまでありつけても△PRMの面積が求めにくい(´゚д゚`)
△ARS∽△FPSより、AS:SF=6:9=2:3
MはSFの中点なので、AS:SM:MF=2:1.5:1.5=④:③:③

長方形TUVPを作成。
この長方形内部にある外側の三角形3つをのぞいて、真ん中の△PRMの面積を求める。
△ABF∽△MVFより、MV=6×③/⑩=1.8cm
UM=6-1.8=4.2cm
MV:VF=AB:BF=1:2より、VF=1.8×2=3.6cm
RU=6-3.6=2.4cm
TR=6-3=3cm
ようやく準備が整った・・・。
△PRM=6×5.4-(6×3÷2+2.4×4.2÷2+1.8×5.4÷2)
=32.4-(9+5.04+4.86)=32.4-18.9=13.5cm2

したがって、13.5×6÷3=27cm3

@別解@
見つけちゃった(°言°)フフフ…
△PRMの算出方法です。

RFに補助線。
△PRFの面積…9×6÷2=27cm2
PRを底辺とすると、△PRFの高さの半分が△PRMなので、
27÷2=13.5cm2
補助線1本でこんなに運命が変わるのが幾何の世界。

大問6(規則)

(1)
6の箱に玉が入るのは、6の倍数の回数。
玉が3個…6×3=18回目
玉が4個…6×4=24回目
ア…18、イ…24

(2)
a回目に3の箱にb個の玉。
3の倍数ごとに3の箱へ玉が1個はいる。
b個になるには、3×b回の操作をしたことになる。
つまり、a=3b …①

後半も同様。
そこから(3の箱がb個になったときから)85回目に8の箱にb個の玉』。
a+85=8b …②

①を②に代入。
3b+85=8b
b=17
①より、a=17×3=51
a=51、b=17

(3)
整理しながら淡々と処理していく。
箱4の赤…267÷4=66…→66個
箱9の赤…267÷9=29…→29個

箱9に黄色の玉が66個追加されると、玉の合計は29+66=95個
そのときの操作の回数は、9×95=855回目
855回目の箱4に入っている玉の合計は、855÷4=213…→213個
赤が66個なので、4の箱の黄色の数は、213-66=147個

大問1
前期試験は難易度が高いようで、計算問題からギアを感じる(;´・ω・)
大問2
(1)0以上6未満だけでなく、0以上8未満も検証すること。
大問3
(3)
ACを1辺とする直角三角形を想起。
どっち方面に既知の情報が偏っているか、攻めるべき方向を定める。
大問5
(3)難問。次に時間を費やそう。
大問6
条件読解と処理能力がものをいう。
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