2021年度 東京都立高校入試問題過去問【数学】解説

平均53.3点(前年比;-7.8点)

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2021年度・都立分割後期(数学)の解説はコチラ
出題範囲の除外は三平方の定理と標本調査。

大問1(小問集合)―66.1%

(1) 88.3%
-32×1/9+8
=-1+8=7

(2) 62.0%
(5a-b)/2-(a-7b)/4
={2(5a-b)-(a-7b)}/4
=(9a+5b)/4
*誤答は9a+5bが多かった。

(3) 55.3%
3÷√6×√8

2√3
*√8=2√2に変換して、根号のなかで約分。
誤答は√3/4、4√3/3が多かった。

(4) 84.6%
-4x+2=9(x-7)
-4x+2=9x-63
13x=65
x=5

(5) 87.7%
5x+y=1 …①
-x+6y=37 …②
やり方は自由。サボは①×6-②でやりました。
 30x+6y=6
-)-x+6y=37
 31x   =-31 
x=ー1
①に代入。-5+y=1
y=6
x=-1、y=6

(6) 54.8%
(x+8)2=2
x+8=±√2
x=ー8±√2

(7) 56.2%
傾きが負だから、上に凸のグラフ。
x=0のとき、最大値y=0
x=-4のとき、最小値y=-3×(-4)2=ー48
①…ア、②…オ

(8) 46.6%

↑頭のなかでこれをイメージ。
aとbが同じ目になるのは6通り。
a>bは、1+2+3+4+5=15通り
合計21通り。
確率は、21/36=7/12
あ…7、い…1、う…2

(9) 59.1%
基本。

2直線から等距離→角の二等分線
2本の二等分線の交点がPとなる。

大問2(式の証明)―26.1%

(1)① 37.8%

このように分割すると、色がついた部分の面積は正方形の半分
2a×2a÷2=2a2
これが5×5=25枚並ぶので、2a2×25=50a2


考え方は先ほどと同じ。
1辺の長さが2a×5=10aなので、
10a×10a÷2=50a2

*結局、面積はどちらも等しい。

(2) 14.4%!
方針は立てやすい。基本形は正方形-円。

1枚あたりの面積は、2a×2aーa×a×π
=4a2-πa2=(4-π)a2
これがn2枚あるから、X=(4-π)a22

Y=2an×2an-an×an×π
=4a22-πa22=(4-π)a22
X=Yが導かれた。

大問3(関数)―54.7%

(1) 88.7%
y=-2x+14にy=10を代入。
10=-2x+14
x=2
え…2

(2) 65.9%
y=-2x+14にx=4を放り込む。
y=-2×4+14=6
P(4、6)

A(-12、-2)⇒P(4、6)
右に16、上に8だから、傾きは8/16=1/2
P(4、6)から左に4、下に2移動して、切片は6-2=4
m;y=1/2x+4
①…イ、②…ア

(3) 9.3%!!

△APBと△APQの面積が等しいことから、等積変形を使うと予測できた人が多かったはず。
BQ//AP
Pのx座標をtとして、P(t、-2t+14)

ABの中点をM、PQの中点をNとする。
M(6、6)
PとQはx軸について対称だから、この中点Nは(t、0)。
BQ//APということは、各々の中点のMNも平行である

平行線を頼りに、直角三角形の∽を活用する。
M⇒Nは右にt+6、下に6移動する。
A⇒Pは右にt+12、下に-2-(-2t+14)=2t-16移動する。
t+6:6=t+12:2t-16
外項と内項の積より、
(t+6)(2t-16)=6(t+12)
2t2-4t-96=6t+72
2t2-10t-168=0
2-5t-84
=(t-12)(t+7)=0
t>7より、t=12
したがって、Pのx座標は12。

大問4(平面図形)―32.5%

(1) 64.8%

長方形の1つの内角は90°。
∠PBC=∠PAC=90-a°

(2)① 32.3%!
△QRPが二等辺三角形であることの証明。

二等辺ということは底角が等しい。
長方形→AB//DC→同位角と、△ABPの底角を合わせると、
∠QRP=∠QPRとなり、△QRPは二等辺となる。

② 0.5%!!!(無答37.6%)
三平方が抜かれたので、三平方なしでいきます。

先ほどの等角を利用する。
対頂角で∠BRC=、孤ABに対する円周角で∠ACB=
△ABCと△BCRに刮目<><>カッ!
と90°で2角が等しく∽。
AB:BC=BC:CR=16:8=2:1
CR=8÷2=4cm

ACとBRの交点をSとする。
平行線と対頂角を頼りに2角が等しく△ABS∽△CRS
BS:SR=16:4=④:①

△ABCと△APCはAB=AP、直径に対する円周角(直角)、共通辺ACより、
斜辺と他の1辺が等しい直角三角形で合同。
ACを対称の軸とすると、△ABC≡△APCで左右対称である。
左右対称の図形から上部の二等辺ABPを取り除いた△BCSと△PCSもSCを境に対称
ACについてRをB側へ対称移動させた点をR’とおくと、
求積すべき図形は△BCR’となる。
BR’=BS-R’S=④-①=③
【△BCR→△BCR’】
8×4÷2×③/⑤=48/5cm2
お…4、か…8、き…5


大問5(空間図形)―11.9%

(1) 20.2%!
ネジレ→(延長しても)交わらない、かつ平行でもない。

気をつけるべき点は、PQを延長するとCF・BEと交わること
ADは面BCFEと平行なので、PQと交わらない。
ネジレにある辺は、AC・AB・AD・DF・DEの5本。
く…5
*7の誤答が多かった。

(2) 3.6%!!

底面は平行四辺形BPFQ…4×6=24cm2
高さは△DEFに注目しよう。
DからEFに向けた垂線の交点をHとする。
三角柱から面DEFと面BCFEが垂直ゆえ、このDHが立体D-BPFQの高さにあたる。
DH=3×4÷5=12/5cm
よって、立体DーBPFQの体積は、24×12/5÷3=96/5cm3
け…9、こ…6、さ…5


大問1
(3)根号同士で約分する。
(6)カッコは展開はしない。
(8)よく見かける表を思い浮かべる。
大問2
〔正方形-円〕の相似図形。
式が組み立てやすかったと思われる。
大問3
(3)平行線から傾きで方程式。他県でも出題されている。
中点を使うとほんの少し数字がスッキリする。
大問4
(2)①二等辺の証明は何を指摘すべきか。
2つの底角に気付ければ記述は複雑ではない。
二等辺ABPと∽である点を書いてもいい。
②本試験最大の難問。
数値がでているのが長方形ABCD側なので、出発は長方形から。
AB=AP、∠ABC=∠APC=90°からACで折り返して左右対称。
ここから△PCRを長方形側に持ってきた。
大問5
(1)正答率はあまり高くないだろう・・。
延長して交わるかどうか。PQが面BCFE上の直線で、この面と他の辺との関係性を捉える。
(2)
『立体DーBPFQ』とあるので、底面がBPFQとわかってしまえば半分正解。
三角柱から底面DEFと側面BCFEが垂直であることから高さが算出できる。

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数学(分割後期) 社会…平均54.6点 理科…平均47.8点 英語…平均54.1点
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