2021年度 東京都立高校入試過去問【数学】解説

平均53.3点(前年比;-7.8点)

問題はコチラ→PDFファイル
2021年度・都立分割後期(数学)の解説はコチラ
出題範囲の除外は三平方の定理と標本調査。

大問1(小問集合)―66.1%

(1) 88.3%
-32×1/9+8
=-1+8=7

(2) 62.0%
(5a-b)/2-(a-7b)/4
={2(5a-b)-(a-7b)}/4
=(9a+5b)/4
*誤答は9a+5bが多かった。

(3) 55.3%
3÷√6×√8

2√3
*√8=2√2に変換して、根号のなかで約分。
誤答は√3/4、4√3/3が多かった。

(4) 84.6%
-4x+2=9(x-7)
-4x+2=9x-63
13x=65
x=5

(5) 87.7%
5x+y=1 …①
-x+6y=37 …②
やり方は自由。サボは①×6-②でやりました。
 30x+6y=6
-)-x+6y=37
 31x   =-31 
x=ー1
①に代入。-5+y=1
y=6
x=-1、y=6

(6) 54.8%
(x+8)2=2
x+8=±√2
x=ー8±√2

(7) 56.2%
傾きが負だから、上に凸のグラフ。
x=0のとき、最大値y=0
x=-4のとき、最小値y=-3×(-4)2=ー48
①…ア、②…オ

(8) 46.6%

↑頭のなかでこれをイメージ。
aとbが同じ目になるのは6通り。
a>bは、1+2+3+4+5=15通り
合計21通り。
確率は、21/36=7/12
あ…7、い…1、う…2

(9) 59.1%
基本。

2直線から等距離→角の二等分線
2本の二等分線の交点がPとなる。

大問2(式の証明)―26.1%

(1)① 37.8%

このように分割すると、色がついた部分の面積は正方形の半分
2a×2a÷2=2a2
これが5×5=25枚並ぶので、2a2×25=50a2


考え方は先ほどと同じ。
1辺の長さが2a×5=10aなので、
10a×10a÷2=50a2

*結局、面積はどちらも等しい。

(2) 14.4%!
方針は立てやすい。基本形は正方形-円。

1枚あたりの面積は、2a×2aーa×a×π
=4a2-πa2=(4-π)a2
これがn2枚あるから、X=(4-π)a22

Y=2an×2an-an×an×π
=4a22-πa22=(4-π)a22
X=Yが導かれた。

大問3(関数)―54.7%

(1) 88.7%
y=-2x+14にy=10を代入。
10=-2x+14
x=2
え…2

(2) 65.9%
y=-2x+14にx=4を放り込む。
y=-2×4+14=6
P(4、6)

A(-12、-2)⇒P(4、6)
右に16、上に8だから、傾きは8/16=1/2
P(4、6)から左に4、下に2移動して、切片は6-2=4
m;y=1/2x+4
①…イ、②…ア

(3) 9.3%!!

△APBと△APQの面積が等しいことから、等積変形を使うと予測できた人が多かったはず。
BQ//AP
Pのx座標をtとして、P(t、-2t+14)

ABの中点をM、PQの中点をNとする。
M(6、6)
PとQはx軸について対称だから、この中点Nは(t、0)。
BQ//APということは、各々の中点のMNも平行である

平行線を頼りに、直角三角形の∽を活用する。
M⇒Nは右にt+6、下に6移動する。
A⇒Pは右にt+12、下に-2-(-2t+14)=2t-16移動する。
t+6:6=t+12:2t-16
外項と内項の積より、
(t+6)(2t-16)=6(t+12)
2t2-4t-96=6t+72
2t2-10t-168=0
2-5t-84
=(t-12)(t+7)=0
t>7より、t=12
したがって、Pのx座標は12。

大問4(平面図形)―32.5%

(1) 64.8%

長方形の1つの内角は90°。
∠PBC=∠PAC=90-a°

(2)① 32.3%!
△QRPが二等辺三角形であることの証明。

二等辺ということは底角が等しい。
長方形→AB//DC→同位角と、△ABPの底角を合わせると、
∠QRP=∠QPRとなり、△QRPは二等辺となる。

② 0.5%!!!(無答37.6%)
三平方が抜かれたので、三平方なしでいきます。

先ほどの等角を利用する。
対頂角で∠BRC=、孤ABに対する円周角で∠ACB=
△ABCと△BCRに刮目<><>カッ!
と90°で2角が等しく∽。
AB:BC=BC:CR=16:8=2:1
CR=8÷2=4cm

ACとBRの交点をSとする。
平行線と対頂角を頼りに2角が等しく△ABS∽△CRS
BS:SR=16:4=④:①

△ABCと△APCはAB=AP、直径に対する円周角(直角)、共通辺ACより、
斜辺と他の1辺が等しい直角三角形で合同。
ACを対称の軸とすると、△ABC≡△APCで左右対称である。
左右対称の図形から上部の二等辺ABPを取り除いた△BCSと△PCSもSCを境に対称
ACについてRをB側へ対称移動させた点をR’とおくと、
求積すべき図形は△BCR’となる。
BR’=BS-R’S=④-①=③
【△BCR→△BCR’】
8×4÷2×③/⑤=48/5cm2
お…4、か…8、き…5


大問5(空間図形)―11.9%

(1) 20.2%!
ネジレ→(延長しても)交わらない、かつ平行でもない。

気をつけるべき点は、PQを延長するとCF・BEと交わること
ADは面BCFEと平行なので、PQと交わらない。
ネジレにある辺は、AC・AB・AD・DF・DEの5本。
く…5
*7の誤答が多かった。

(2) 3.6%!!

底面は平行四辺形BPFQ…4×6=24cm2
高さは△DEFに注目しよう。
DからEFに向けた垂線の交点をHとする。
三角柱から面DEFと面BCFEが垂直ゆえ、このDHが立体D-BPFQの高さにあたる。
DH=3×4÷5=12/5cm
よって、立体DーBPFQの体積は、24×12/5÷3=96/5cm3
け…9、こ…6、さ…5

大問1
(3)根号同士で約分する。
(6)カッコは展開はしない。
(8)よく見かける表を思い浮かべる。
大問2
〔正方形-円〕の相似図形。
式が組み立てやすかったと思われる。
大問3
(3)平行線から傾きで方程式。他県でも出題されている。
中点を使うとほんの少し数字がスッキリする。
大問4
(2)①二等辺の証明は何を指摘すべきか。
2つの底角に気付ければ記述は複雑ではない。
二等辺ABPと∽である点を書いてもいい。
②本試験最大の難問。
数値がでているのが長方形ABCD側なので、出発は長方形から。
AB=AP、∠ABC=∠APC=90°からACで折り返して左右対称。
ここから△PCRを長方形側に持ってきた。
大問5
(1)正答率はあまり高くないだろう・・。
延長して交わるかどうか。PQが面BCFE上の直線で、この面と他の辺との関係性を捉える。
(2)
『立体DーBPFQ』とあるので、底面がBPFQとわかってしまえば半分正解。
三角柱から底面DEFと側面BCFEが垂直であることから高さが算出できる。

@2021年度・都立解説@
数学(分割後期) 社会 理科 英語…平均54.1点
公立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA