2019年度　広島県公立高校過去問【数学】解説

平均21.0点（50点満点）

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（計算）

（１）　95.2％
－７＋９－８
＝－６

（２）　93.7％
８ｘ²÷４ｘ
＝２ｘ

（３）　77.6％
加減法がいいかな？
２つの式を足すとｙが消えて、ｘ＝－３
これをいずれかに代入して、ｙ＝－７

（４）　80.0％
４/√２＋√18
＝２√２＋３√２
＝５√２

（５）　50.9％
球の表面積⇒４πｒ²
４π×（１/３）²＝４/９πｒｃｍ²

（６）　66.3％
ｎ角形の内角の和⇒180（ｎ－２）
180（５－２）÷５＝108°

ｎ角形の外角の和⇒360°
180－360÷５＝108°
《正五角形の内角の１つは108°》を暗記していた生徒も多かったと思う。

（７）　70.7％
反比例ｙ＝ａ/ｘ
ａ＝－４×５＝－20
ｙ＝－20/ｘ

（８）　53.7％
すべての場合⇒結果は裏か表の２通りで硬貨は３枚だから、２³＝８通り
表１枚、裏２枚⇒硬貨３枚のうち、表となる１枚を選ぶと３通り
したがって、３/８

大問２（小問集合）

（１）　50.6％

ＡＤに補助線。
弧ＡＢに対する円周角から、∠ＡＤＢ＝76°
△ＡＥＤの内角で、∠ＤＡＥ（●）＝180－（80＋76）＝24°
弧ＢＣ＝弧ＣＤだから、∠ＣＡＢ（●）＝24°
△ＡＢＥで外角定理。
∠ＡＢＥ＝80－24＝56°

（２）　30.0％！（無答25.3％）
Ｂのｘ座標が１。ここから座標を調べる。

２＋２ａ＝16/３
ａ＝５/３

（３）　36.5％
記録をがんばって昇順になおすと・・
〔29・30・31・31・32・35・36・48・52〕
９人の中央値（メジアン）は、（９＋１）÷２＝５番目の人の記録⇒32ｋｇ

Ｃを加えると中央値は33ｋｇになった。
10人の中央値は５番目と６番目の平均値。
中央値が33へ上がったということは、Ｃは33より大きい。
一方で、Ｃが35を超してしまうと、35とＣの平均が中央値だから中央値は35を超す。
Ｃは33より大きく、35より小さい⇒34ｋｇ
（５番目…Ｅ32ｋｇ、６番目…Ｃ34ｋｇ、中央値…33ｋｇ）

大問３（文章題）

花壇の道幅を求める。学テっぽい。
（１）　20.4％！（部分正答2.2％）

４つの花壇を角によせる。
（６－ｘ）（９－ｘ）＝40
ｘ²－15ｘ＋14＝０
（ｘ－１）（ｘ－14）＝０
ｘ＝１、14
ｘ＜６より、ｘ＝１
道幅は１ｍとなる。
ア…15、イ…14、ウ…１

（２）エ…7.6％!!　オ…13.3％！（無答－２問とも30％ほど）
後半は√41を小数であらわす。
√36（6）＜√41＜√49（7）
√41の整数部分は６。

小数第１位も同じことをする。（以下、公式解答より）
6.4²＝40.96、6.5²＝42.25
6.4²＜41＜6.5²
ここから、6.4＜√41＜6.5
√41の小数第１位は４となる。
エ…４

７－√41において、√41を6.4として計算する。
７－6.4＝0.6ｍ
オ…0.6ｍ

大問４（平面図形）

（１）　17.5％！（部分正答28.0％、無答18.1％）
四角形ＥＤＣＦが平行四辺形である理由。
平行四辺形になるための５つの条件いえるかな？

証明の出発点はＥがＡＢの中点、ＦがＡＤの中点。
△ＡＢＤで中点連結定理。
ＥＦ//ＢＤ、ＥＦ＝１/２ＢＤ
ＥＦ＝ＤＣ＝①、ＥＦ//ＤＣとなり、
１組の対辺が平行で、かつ長さが等しいから四角形ＥＤＣＦは平行四辺形。

（２）　15.2％！
完全解答。難しい。
頂点の位置を移動させたとき、どこで平行四辺形がひし形になるかを見極める。

Ａの位置を固定する。
ＥはＡＢの中点なので、Ｂが決まればＥの位置が自動的に決まる。
ＤはＢＣを２：１に内分する点なので、ＢとＣの位置が決まればＤの位置も決まる。
ＦはＡＤの中点なので、同様にＢとＣの位置が決まればＦも決まる。
ということは、ＢとＣの長さが決まれば全ての位置関係が決まる。

（しかし、Ｂ・Ｃからではなく、はじめに菱形から作った方が綺麗な図になりやすい。
前述の流れは逆からはじめても作図はできるので、
先に菱形の頂点Ｅ・Ｄ・Ｃ・Ｆの位置を定め、Ａ・Ｂの順で位置を確定していった方が良い）

５つの選択肢は、ＡからＢ・Ｃ・Ｄ・Ｅ・Ｆからの距離。
なんとなくＡＣ＝ＡＥではないかな？と推測する。
ＡＤを対称の軸としたとき、△ＡＥＤと△ＡＣＤが左右対称で合同、であったら嬉しい…。
もし合同であればＥＤ＝ＣＤとなり、平行四辺形ＥＤＣＦで隣り合う辺の長さが等しくなるので、
４辺の長さが等しく、四角形ＥＤＣＦがひし形と言える。

この証明ですが、けっこう迷いました(´ﾟдﾟ｀)
どこかで角度が等しい点に言及しなければならないので、
ＡＣ＝ＡＥを前提に、以下、辺の比をヒントに書きました。

ＡＤに平行な線をＣからひき、ＢＡの延長線との交点をＧとする。
ＡＤ//ＧＣより、△ＡＢＤ∽ＧＢＣ
ＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＧ＝２：１…①

△ＡＢＣの辺で、ＢＡ：ＡＣ＝２：１…②
①・②から、ＡＣ＝ＡＧとなる。
△ＡＣＧは二等辺三角形。
∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＧ（錯角）
∠ＡＣＧ＝∠ＡＧＣ（二等辺の底角）
∠ＡＧＣ＝∠ＢＡＤ（同位角）
したがって、∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣとなり、ＡＤは∠ＢＡＣの二等分線になる。

ここから、△ＡＥＤ≡△ＡＣＤや、ＡＤを対称の軸とした対称関係を指摘できるようになり、
ＥＤ＝ＤＣ→平行四辺形の隣り合う辺が同じ長さ→４辺が等しい→ひし形。
もしくは、ＣとＥが対応する点なので、ＣＥとＡＤは垂直に交わる
→対角線ＥＣとＦＤが直交する→ひし形。
他に中学生レベルで理解できる説明がございましたら、お問い合わせからご連絡ください（＾＾;
ア…②、イ…④

＠余談＠
うえの解説は高校数学（数Ａ）で習う、角の二等分線の定理の逆を利用しました。

頂角の二等分線は、ａ：ｂ＝ｃ：ｄ
ａ：ｂ＝ｃ：ｄならば、頂角を二等分する（逆）
本問では、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ＝２：１と辺の比が共通しています。

大問５（平面図形２）

16.6％！（部分正答15.4％、無答22.4％）
解答欄には過程も記述する。

ＢＤをｘとおく。
折り返しからＤＡ＝ＤＭとわかれば、あとは素直に三平方。
（６－ｘ）²＝ｘ²＋３
12ｘ＝27
ｘ＝９/４
ＢＤ＝９/４ｃｍ

大問６（関数）

（１）　73.2％
②がｙ＝－２/３ｘ＋４で、Ｂはこの切片だから４。
単純すぎて、かえって恐ろしい。

（２）　1.3％!!!（無答26.4％）
問題文の意味を理解する。
『ｘ座標とｙ座標がともに整数である点』とは、いわゆる格子点。
①を傾けたとき、ＯＡ上の格子点が原点以外で１つしかないところを探す。

ａの値は最も小さくするので、ｘ軸方向に接近するように傾ける。
②ｙ＝－２/３ｘ＋４とｘ軸との交点は、
０＝－２/３ｘ＋４
ｘ＝６

狙うべきは、ｙ＝１（赤線）
理由は、①の傾きを０から徐々に上へあげていくと、
ＯＡ上の格子点はｙ＝１で作られ始めるから。
①と②の交点のｙ座標は１以上でなくてはならない。

①が（６、１）を通ると、②とｘ軸の交点が（６、０）だからＯＡ上に格子点ができない。
①が（５、１）を通ると、②ｙ＝－２/３ｘ＋４のｘに５を代入して、
ｙ＝－２/３×５＋４＝２/３となり、交点のｙ座標が１未満だから格子点ができない。
①が（４、１）を通ると、ｙ＝－２/３×４＋４＝４/３で、１以上となる。
よって、ＯＡは（４、１）を通り、傾きａ＝１/４
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