2023年度 北海道公立高校入試問題過去問【数学】解説

合格者平均47.4点(前年比;-0.2点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)① 89.6%
9-(-5)
=9+5
=14

② 75.2%
(-3)2÷1/6
=9×6
=54

③ 84.1%
√2×√14
=√28
=2√7

(2) 84.8%
9本から4本ある偶数番号を引き当てればいい。
4/9

(3) 54.3%
(-1、6)→(3、2)
xが4増えると、yは4減少する⇒変化の割合は-1
xが1増えると、yは1減るから、6-1=5

(4) 63.9%
6×6×π×□÷3=132π
□=11cm

(5) 48.5%
2-□x+14=(x-a)(x-b)
(-a)×(-b)
ab=14
aとbは自然数だから、1×14、2×7のどちらか。

-□=(-a)+(-b)
□=a+b
→1+14=15、2+7=9
9、15

(6) 43.6%

具体的な角が提示されているので、適当なPを打って角を調べてみる。
仮定より、∠ACB=∠CAB=75°
二等辺PBCの内角で、∠BPC=180-15×2=150°
75°×2=150°、PB=PCから、∠BACを円周角とする中心角が∠BPCにあたる
すなわち、3点A、B、Cを通る円の中心がPである。
AB、BC、CAいずれかの2本の垂直二等分線の交点がP。

公式解答では①BCの垂直二等分線と②∠ABCの二等分線をとっている。
∠ABC=30°を2等分すると∠PBC=15°
二等辺三角形の頂角を二等分する線は、底辺ACの垂直二等分線と同じである。


大問2(整数)

(1) 81.4%
和が5の倍数にならない反例を挙げる。
左上4マスで、a~dの順で数字をあてはめると、
1+2+2+4=9で5の倍数にならない。

ア…1、イ…2、ウ…2、エ…4、オ…9
*他にも正答例がたくさんある。

(2) 24.5%!

aのかけられる数がm、かける数がn。
a=mn、b=m(n+1)、c=(m+1)n、d=(m+1)(n+1)

a+b+c+d
=mn+m(n+1)+(m+1)n+(m+1)(n+1)
=4mn+2m+2n+1
=(2m+1)(2n+1
={m+(m+1)}{n+(n+1)
(かけられる数の和)×(かける数の和)になっている。

ア…m(n+1)、イ…(m+1)n、ウ…(m+1)(n+1)
エ…m、オ…m+1、カ…n、キ…n+1

(3) 9.8%!!

かけられる数の和…x+(x+1)=2x+1
かける数の和…y+(y+1)+(y+2)=3y+3=3(y+1)
その積は、3(2x+1)(y+1)=162
(2x+1)(y+1)=54

ここで偶奇判定で絞り込む。
2xは偶数だから、2x+1は奇数
54は偶数なので(奇)×(偶)=(偶)である。
→y+1は偶数
また、2x+1は連続する2つの整数和なので3以上である。

(2x+1)【奇】×(y+1)【偶】の組み合わせは、
3×18=9×6=27×2の3通りである。
ここからどう絞るかですが…問題文の題材がかけ算の九九の表で
図1は9×9の表しかないから、1桁×1桁の9×6になると考えるしかない
2x+1=9
x=4
y+1=6
y=5
x=4、y=5
2桁以上の掛け算を考えた生徒はドンマイです(;´・ω・)

大問3(関数)

(1) 65.2%
y=2x2にy=8を代入。
8=2x2
x=±2
AとBはy軸に関して対称なので、それぞれのx座標は2、-2。
ABの距離は、2-(-2)=4

(2) 25.1%!
答案では計算過程も書く。
y=ax2において、xの値がp→qに増加するときの変化の割合はa(p+q)
また、一次関数の変化の割合は傾きで表される。y=x+1の変化の割合は1。
a(1+3)=1
a=1/4

(3)① 10.8%!

y=1/3x2にx=3を代入、A(3、3)
y=-3x2にx=1を代入、C(1、-3)

P(t、3)
PQは原点Oを通り、かつPとQはy座標が共通するので原点Oについて対称関係である。
Q(-t、-3)

② 2.9%!!
直線PQが台形ABCDの面積を2等分する理由を説明する。

台形ABDCの上底BA=6、下底DC=2の和が8だから、
台形APQCの上底PA+下底QC=8÷2=4になればいい
PA+QC=(3-t)+{1-(-t)}=4
したがって、直線PQは台形ABCDの面積を2等分する。
@@

公式解答ではきちんと面積を求めている。


大問4(平面図形)

(1) 67.1%
仮定から、∠DAC=35°
二等辺ADCの内角より、∠ADC=180-35×2=110°

(2)① 44.9%
2つの証明を比較する。

【悠斗】
弧ACに対する円周角と対頂角から、2角相等で△ABD∽△CED
【由美】
弧ACに対する円周角と仮定から、2角相等で△ABD∽△AEC
ア…弧AC、イ…円周角、ウ…2組の角が等しい

② 9.8%!!
△ABE≡△ADCの証明。
公式解答では正答例が3つも紹介されている( Д ) ゚ ゚

おススメというより、一番思いつきやすいのは正答例1。
弧ABの円周角(×)→△ABEと△ADCの残りの角から1辺と両端角が等しい。
正答例2では由美の△ABD∽△AECを利用している。
対応する辺の比は等しく、AB=ADからAE=ACがいえる。合同条件は2辺夾角。

正答例3はかなり迂回している(;^ω^)
先ほどの由美の考えからAE=ACを指摘したうえで、
悠斗の△ABD∽△CEDを用いて、同様に対応する辺とAB=ADからCD=CE。
△CDEは二等辺三角形である。
さらに、仮定の等角を円周角で移動→底角が等しく、△BECは二等辺三角形。
BE=EC=DCから、△ABEと△ADCの3辺が等しく合同。

大問5(データの活用)

(1) 68.8%
度数を合計してもよいが、累積度数の方がやや早い。
1972年において25℃未満が23日だから、25℃以上は62-23=39日
同様に、2021年では62-19=43日
夏日の差は、43-39=4日
ア…39、イ…43、ウ…4

@余談@
最高気温25℃以上…夏日
30℃以上…真夏日
35℃以上…猛暑日
40℃以上…酷暑日 ←NEW
正確には、昨年の2022年に日本気象協会が提言した新たな名称であり、
現段階では気象庁は採用していない。
ちなみに、30℃以上の夜間は『超熱帯夜』が選ばれたそうな( ´д)ヒソ(´д`)ヒソ(д` )

(2)① 33.5%

Y期間の相対度数の度数折れ線を描く。
X期間のように階級値(目盛りの中央)にプロットする。

② 26.7%!
説明問題。
X期間は20年間、Yは10年間と調査期間(度数の合計)に差があるので、
割合である相対度数で比較した。

③ 10.8%!
ラストも説明問題であった。
①のグラフを比較すると、2つのグラフは形が似ており、
全体的にX期間はY期間の左側に寄っているので、
50年くらい前の方が今より夏日が少なく、涼しかったといえる。


大問1
基本問題が多いので失点は防ぎたい。
(2)偶数→教室清掃、奇数→廊下清掃
(5)因数分解の手法。積の組み合わせから考える。
(6)作図の問題で角の情報が与えられたら角度を調査する。
大問2
(2)カレンダーの問題とかで類題を解いたことはあると思う。
最後は(かけられる数の和)×(かける数の和)の形をm、nで示す。
(3)問題に粗さを感じる(;´・ω・)
図2が図1から離れるのか微妙なところ。。
問題文に1桁×1桁の条件を改めて明示しておくべきだったが

あいまいな偶奇判定で正答できてしまうおそれもあり、難儀な設問である。
大問3
(3)②上底+下底の和でも良いと思うのだが、
採点基準をみると面積しか想定されていないのか?(;’∀’)
大問4
(2)①証明も平易だった。
②他でも良いが、普通に正答例1でいい。
大問5
いずれも基本~標準。解答しやすかった。

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