平均51.1点(前年比;+4.6点)
100点―7人、0点―5人
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大問1(小問集合)
(1)
-3+4
=1
(2)
マイナス×マイナス=プラス
n=-6とすると、5-nだけ値が正の整数になる。
イ
(3)
(3x-5y)/2-(2x-y)/4
={2(3x-5y)-(2x-y)}/4
=(6x-10y-2x+y)/4
=(4x-9y)/4
(4)
(x-3)2+2(x-3)-15 ←(x-3)=Xとする
=X2+2X-15
=(X+5)(X-3) ←X=(x-3)に直す
=(x-3+5)(x-3-3)
=(x+2)(x-6)
(5)
x2+2x-1=0
解の公式を適用。xの係数が偶数なので、b=2b’が使える。
x=-1±√2
(6)
xとyの関係を式で表すと、y=12/x
反比例だからxの値が2倍、3倍…になると、yの値は1/2倍、1/3倍…になる。
xとyの積は比例定数12で一定。
イ・ウ
(7)
30.5の小数第1位を四捨五入すると31g。
31.5を同様に四捨五入すると32g。
30.5を含み、31.5は含まない→30.5≦a<31.5
ウ
(8)
5個の中から1個取り出し、それを戻さずに続けてもう1個取り出す。
→5個から一度に2個取り出す→5C2=10通り
赤2個から1個、青3個から1個を取り出す組み合わせ→2×3=6通り
確率は6/10=3/5
(9)
x+y=-1にx=2を代入。
y=-3
(x、y)=(2、-3)を代入して成り立つ式を選ぶ。
x-3y=2-3×(-3)=11
エ
(11)
時計回りに外角を統一してみる。
n角形の外角の和は360°だから、
x=360-(90+70+80+56)=64°
(12)
【球の体積V=4/3πr3】
球Aの体積は、4/3π×33=36πcm3
円柱Bの高さは、36π÷(2×2×π)=9cm
大問2(データの活用・整数)
Ⅰ(1)
最大値がわかりやすい。
図2の最大値は38~40°の階級に含まれる。
図1で38℃以上は2020年しかない。
(2)①
データの散らばり…範囲=最大値-最小値
範囲が最も小さいのは2010年、2番目が2020年。
ア
②
2005年の最大値は35℃を超えるので1日はある。
しかし、2日以上あるかもしれない。
ウ
(*31日間の第3四分位数は上から8番目。
これが32℃を超えており、35℃超えが複数日の可能性はある)
(3)
2015年の中央値(第2四分位数;31日間の上から16番目)が30℃超。
全体の50%以上が30℃を超えていた。
一方で、2010年の中央値は34℃超で、全体の50%以上が34℃超。
また、2015年の第1四分位数(下から8番目)が27℃なので、全体の約25%が27℃以下である。
2010年は最小値が29℃もあり、全体を通してみると2010年の方が暑かった。
あ…イ、い…ア
Ⅱ(1)
a+b+c=3bの証明。
a=mn、b=m(n+1)、c=m(n+2)
a+b+c
=mn+m(n+1)+m(n+2)
=3mn+3m
=3m(n+1)
b=m(n+1)だから、3m(n+1)=3bである。
(*したがって、a+b+c=3bが成り立つ)
(2)
連続して並ぶ5つの数についても、同様の関係が成り立つという。
仕組み①…(a+b+c)÷3=3b÷3=b
平均の要領で、3つの和を÷3すると真ん中のbになった。
⇒5つの和を÷5すると真ん中のcになるはず。
c=605÷5=121
仕組み②…b-m=m(n+1)-m=mn=a
⇒c=m(n+2)である点に注意!
c-a=m(n+2)-mn=2m
a=c-2m=121-2×11=99
う…5、え…c、お…99
大問3(数量変化・関数)
Ⅰ(1)①
弱⇒強へ切り替えたのは4時間後。
y軸の1目盛りは0.2L。
右に2目盛り(1時間)、下に1目盛り(0.2L)の傾きだから、
1時間あたりの放出量は0.2L
②
表より、Aの強運転の傾きは-0.4。
(4、1.2)から左に4移動すると、上に4×0.4=1.6
切片は1.2+1.6=2.8
y=-0.4x+2.8
(2)①
最初は水タンクに3L入れた。
スタートは(0、3)だから、これを通る-0.8の直線(強)をひく。
8時間後に水タンクの水がなくなる。
ゴールは(8、0)だから、これを通る-0.3の直線(弱)をひく。
強から弱に切り替わった時刻は、2直線の交点のx座標である。
い…点(8、0)を通り、傾きが-0.3
う…交点、え…x座標
②
強;y=-0.8x+3 …①
弱;y=-0.3x+b
(x、y)=(8、0)を代入すると、切片b=2.4
y=-0.3x+2.4 …②
①と②の交点を求める。
-0.8x+3=-0.3x+2.4
0.5x=0.6
x=6/5時間後=1時間12分後
Ⅱ(1)
ABの長さは、Bのy座標からAのy座標を引く。
AB=1/2x2-1/4x2
=1/4x2
これにx=4を代入して、1/4×42==4
1/4a2=2a
1/4a2-2a=0 ←4倍
a2-8a
=a(a-8)=0
a>0だから、a=8
(3)①
△BCP=△ABC→底辺がBCで共通→高さが等しい。
AB=1だから、PとBCとの距離も1。
Pのy座標は2+1=3
P(0、3)
②
△APC=△ABCを等積変形で捉える。
Bを通るACに平行な線をひき、y軸との交点がPである。
ACとy軸との交点をQとする。
AとCのx座標は等しいから、QはACの中点→y座標はAとCの平均で3/2
四角形ABPQは2組の対辺が平行なので平行四辺形。
対辺は等しく、AB=QP=1
Pのy座標は、3/2+1=5/2
P(0、5/2)
大問4(平面図形)
(1)
BP=6-2=4cm
右の大きい円に注目すると、半径よりBP=BC=4cm
(2)①
∠ACP=●とする。
半径よりPA=PC→△APCは二等辺だから、∠CAP=●
△APCの外角定理で∠CPB=●●
2つの円の半径より、△PBCは3辺が等しい正三角形。
その内角は等しく、∠PCB=●●
半円の弧に対する円周角の∠ACB=●●●=90°
∠ACP=90÷3=30°
②
△PECの内角は30°―60°―90°だから、辺の比は1:2:√3
直径ABを対称の軸とすると、CとDは円周上にあってAB⊥CD
対称性からCE=DE
(すなわち、△PBC≡△PBD。円の半径から辺の長さがすべて等しい)
CD=3×〇2√3/②=3√3cm
(3)①
△ABC∽△CBEの証明。
半円の弧に対する円周角から、∠ACB=90°
あ…∠ACBは円Oの半円の弧に対する円周角
②
AB⊥CDから、∠CEB=90°
∠ACB=∠CEBまでは問題文に記載済み。
共通角で、∠ABC=∠CBE(×)
2角が等しいから∽。
③
CPが∠ACEを二等分する証明。
∠ACB=90°だから、∠ACP=90-∠PCB…①
一方で、AB⊥CDだから、∠CEP=90°
△CPEの内角より、∠PCE=90-∠CPE…②
半径からBC=BP、△BCPは二等辺三角形である。
∠PCB=∠CPE(●)…③
①②③より∠ACP=∠PCE(▲)ゆえ、CPは∠ACEを二等分する。
う…下線部参照、え…CPE
(4)①
BP=6-4=2cm
半径BP=BC→△BCPは二等辺だから、BC=2cm
(3)でPがAB上のどこにいても△ABC∽△CBEが成り立つとあった。
AB:BC=CB:BE=3:1
BE=2×1/3=2/3cm
PE=2-2/3=4/3cm
△CBEの辺の比に注目する。
CB:BE=③:①だから、三平方の定理でCE=〇2√2
CE=2/3×〇2√2=4√2/3cm
△CEPの面積は、4/3×4√2/3÷2=8√2/9cm2
②
△GAPはAP=4cmしか情報がなく、Gが離れている場所にある。
そこで、△GAPと相似にあたる図形を探す。
(2)②で触れた通り、直径ABを対称の軸とすると、対称性から△BCP≡△BDP
対頂角と円周角から2角相等で△GAP∽△BDP
APに対応するDPがわかれば相似比が出せる。
DE:PE=4√2/3:4/3=〇√2:①
△DPEの辺の比で三平方→CP=〇√3
DP=4/3×〇√3=4√3/3cm
△BDPと△GAPとの相似比は、DP:AP=4√3/3:4=√3:3
面積比は相似比の2乗だから、△BDP(△BCD):△GAP=(√3)2:32=1:3
大問1
(6)選択肢の構造から、アorイ/ウorエで選ぶ。
(7)苦手意識のある子は多そう。30.5と31.5を小数第1位で四捨五入してみる。
(8)玉は戻さないので、一度に2個とったとみなす。
(11)外角の向きをそろえる。
大問2
Ⅰ(2)①散らばり=範囲
(3)空欄補充なので答えやすい。その温度は第〇四分位数か。
Ⅱ(1)b=m(n+1)で、a+b+c=3bを証明したのだから、
最終的に3m(n+1)の形になればいい。
(2)差がつく。真ん中の数はcだが、aとcは距離が2離れる点に注意!
大問3
Ⅰ(1)①横軸と縦軸の目盛りに気をつける。
(2)①スタートとゴールからそれぞれ直線を引く。
Ⅱ(3)①AB⊥BC、y軸⊥BC
②△ACPと△ABCはACが共通辺。ACと平行な線を描く。
大問4
(1)左の小さな円で角度調査したくなるが、右の円の半径で終わる。
(2)①等角に印をつけていく。
②直径を折り目にすると重ねられる。
(4)辺の比で三平方をすると処理が楽になる。
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