2020年度 長崎県公立高校入試B問題【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
A問題の解説はコチラ

大問1(小問集合)

(1)
(√2-1)2-√50+14/√2
=2-2√2+1-5√2+7√2
=3

(2)
A問題の(5)。
3a+4b<3000
*『より』なので3000円は含まない。

(3)
(x+y)2+7(x+y)+12 ←(x+y)をXに置き換えると…
=X2+7X+12
=(X+3)(X+4) ←Xを(x+y)に戻す
=(x+y+3)(x+y+4)

(4)
(x-2)(x+3)=-2x
2+3x-6=0
因数分解ができないので解の公式を適用。
x=(-3±√33)/2

(5)
無作為に抽出した20個のうち、白:赤=4個:16個=1:4
この割合は母集団も変わらないものとみなす。
白は100個だから、赤は400個。

(6)
【2020=2×2×5×101】
2020/nが偶数となるには、素因数2を1つ残さなくてはならない
残りの【2or5or101】はあってもなくてもいい。
2があるかないか、5があるかないか、101があるかないか→2×2×2=8個
*具体的にいうと、n=1、2、5、101、2×5、2×101、5×101、2×5×101
n=1が抜けやすいと思われる。2020÷1=2020で偶数。

(7)
A問題の(8)。

220°と書く人がいそうだけど、中心角はxの下(‘Д’)
x=360-220=140°

(8)
円の中心は2点の垂直二等分線上にある

①PQの垂直二等分線。この線上に中心Oがある。
ℓとの交点をRとすると、円はRで接する。
(半径ORは接点Rでℓと直交するところ、平行線→同位角で90°!)
Rも円周上の点。PRで垂直二等分線。交点がOとなる。
(QRの垂直二等分線でもOK)

大問2(小問集合2)

(1)①
同じ目が出るパターンは(1、1)~(6、
6)の6通り。
6/36=
1/6

②ア
2点以上が同じ点にあると3点にならないから三角形にならない
(A、A)(B、B)(C、C)(D、D)(E、E)(F、F)→6通り
(A、□)で□がB~Fで5通り、さらに(□、A)の逆パターンで5通り。
計16通り。
16/36=4/9


正六角形の6つの頂点は同一円周上を通る

直径に対する円周角は直角!
直径ADに対する円周角から4つの直角が見つかる。
(B、D)(C、D)(D、E)(D、F)
これらの逆を含めて8通り。

今度はAに直角を集める。
(B、E)(C、F)これらの逆を含めて4通り。
計12通り。
12/36=1/3

…2019年度千葉後期・大問2(4)で類題が出ています。

2019年度 千葉県公立高校過去問【後期】数学解説

(2)①
A問題と同じ。
80/500=16/100=0.16
*相対度数は小数で表す。

②最頻値(モード)が120円だから。
*モードは最もあらわれている値。
120円のおにぎりが最も売れている。

(3)
ここもA問題と同じ。
小さい奇数を2n-1とおくと、大きい奇数は2n+1となる。
(2n+1)2-(2n-1)2 ←平方の差
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=4n×2=8n
nは整数だから8nは8の倍数。
したがって、2つの続いた奇数では、
大きい奇数の平方から小さい奇数の平方を引いた差は8の倍数となる。
*最後のシメも忘れずに!


大問3(関数)

(1)
y=x2に代入して、A(2、4)B(-1、1)
B→Aの座標移動で右に3、上に3だから、傾きは1。
Bから右に1、上に1移動して切片は2。
y=x+2

(2)
A問題(3)と一緒。

座標を確定できればいけるかと( ˘ω˘ )
4×3÷2=6

(3)①

△OPQは直角二等辺で、y軸に対して左右対称。
PQとx軸は平行。角度を調べていくと、OPは赤い正方形の対角線
45度線→傾きが-1→OP;y=-x

Pはy=-1/2x2とy=-xの交点
-1/2x2=-x
2=2x
2-2x
=x(x-2)=0
Pのx座標は正なのでx>0より、x=2
y=-1/2×22=-2
P(2、-2)



座標を確認すると、四角形ACQPは長方形。
これと四角形ADQRの面積が等しい。

ポイントはAQで分割
CD//QAから等積変形で△ACQと△ADQの面積が一緒。
ということは、残りの△APQと△ARQの面積が等しくなるので、
等面変形が成り立ち、QA//PRとなる。
Q→Aは右に4、上に6だから、QAの傾きは6/4=3/2
平行よりPRの傾きも3/2。

APとx軸との交点をSとする。
PRの傾きから、SR=②、SP=③(=2)
SR=2×②/③=4/3
Rのx座標は、2+4/3=10/3

大問4(空間図形)

すべてA問題と同じ。
(1)

正四面体の展開図。

図で示すまでもないかもしれんが(;´・ω・)ノ③

(2)
底面積×高さ÷3
6×6×3√6÷3=36√6cm3

(3)

『正四面体OABCD』だからOA=OCは確定。
ACの長さはOA・OCに等しいか。

Oの足をHとする。
赤い正方形は1辺3cmの正方形で、AH=3√2
もし、△AOCが正三角形であれば、∠AOH=30°でなければならない。
すなわち、△AOHの内角は30°-60°-90°の直角三角形となり、
辺の比は1:2:√3でAH:HO=1:√3となる。
AH:HO=3√2:3√6=1:√3
よって、△OACは正三角形。(④)

(4)①
前問の解答を利用するという視点は持っておこう。

(2)より、正四角錘O-ABCDの体積は36√6cm3であった。
三角錐O-ABCは底面が半分だから体積も半分。

三角錐O-ABCを今度は△OBCを底面として捉える。
△OBC:△PMCの面積比は4:1なので、
三角錐A-OBCと三角錘A-PMCの体積比も4:1。
したがって、三角錐A-PMCの体積は、36√6×1/2×1/4=9√6/2cm3


体積がわかったので、底面となる△APCの面積を求めたい。

正三角形OACに注目
AH=3√2cmだったので、AC=6√2cm
OP:PC=1:1で、△OACと△PACの高さの比は2:1
→△PACの面積は正三角形OACの半分。
△PAC…6√2×3√6÷2÷2=9√3cm2

したがって、9√6/2×3÷9√3=3√2/2cm


大問5(平面図形)

A問題と同じ…じゃない。
(1)①

BE=AB-AE=8-xcm


△AEPで三平方。
2+42=(8-x)2
2+16=64-16x+x2
16x=48
x=3

(2)
△APE∽△DGPの証明。
方針は思いつきやすい。×=90°で調査して2角が等しい→∽
あとはきちんと記述できるかどうか。

(3)

△QGFの内角も×-90°で、△QGFも相似。
△APEの辺の比が3:4:5だから、△DGPも△QGFも辺の比は3:4:5。
PG=4×/=20/3
GQ=8-20/3=4/3
FQ=4/3×/=1cm

(4)
FC=FQ=1cm
FCを底辺としたときの△CFQの高さがわかればいい。

△CFQ付近をピックアップ。
QからGCに向けて垂線をひき、交点をHとする。
△GHQと△QHFの内角を調べると×-90°
すべて同じ相似図形で辺の比は3:4:5!
△QHFより、QH=1×/=4/5cm
△CFQの面積は、1×4/5÷2=2/5cm2

大問6(数量変化)

すべてA問題と同じ。

(1)
昇の休憩は4~6分後→2分間

(2)
桜は2000mを一定の速さで16分間走る。
2000÷16=分速125m

(3)
6分後に注目。
昇は800m地点で休憩をしている。
桜は125×6=750m地点を走っている。
両者の差は800-750=50m

ここから昇は分速100m、桜は分速125mで走るので1分間に25mずつ差が縮まる。
50÷25=2分
よって、桜が昇に追いつくのは6+2=8分後

(4)①

千代のグラフを記入する。
千代は反対方向に走るので右下のライン。
分速100mだから400mを4分で走る。(4分後ごとに右下ライン
交点の★がハイタッチする地点。
昇の4分後は下上に交点ができるがダブルカウントしないこと!
16回



ABは昇&桜が出発する方向の半周にあたる。

ということは、先ほどのグラフの下半分がABの区間に相当する。
★の数は9回。(昇の4分後は下でカウントすること!)

A問題とそこそこ内容がかぶっていたような。
大問1
(6)正答率が悪そう。n=1を抜かさないように!
他は全部とりたい。
大問2
(1)②イ千葉では3人に1人しか正解者がいなかった。
円周角定理を使って過不足なくパターンを見つける。
大問3
(2)②問題文でわざわざAQに焦点をあてているので、
長方形ACQPを対角線AQの左上と右下に分ける発想に飛ばしたい。
大問4
A問題に同じ。(3)二等辺じゃないよ!
(4)②空間図形は視点をうまく切り替える。
大問5
問題集でよくあるパターン。
特色があったのは(4)。△CFQの高さとなる線分を1辺とする三角形の∽を探る。
大問6
Aに同じ。情報整理ができれば計算処理は少なかった。
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