2023年度　都立高校入試・分割後期過去問【数学】解説

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大問１（小問集合）

（１）
４＋６×（－１/２）
＝４－３
＝１

（２）
（５ａ＋ｂ）/３－（８ａ＋ｂ）/９
＝｛３（５ａ＋ｂ）－（８ａ＋ｂ）｝/９
＝（15ａ＋３ｂ－８ａ－ｂ）/９
＝（７ａ＋２ｂ）/９

（３）
√６（４√２＋１）　←√６＝√２×√３
＝（√２×√３）×４√２＋√６　←√２×√２＝２
＝８√３＋√６

（４）
７ｘ－５＝９ｘ＋３
２ｘ＝－８
ｘ＝－４

（５）
ｙ＝－２ｘ＋１　…①
４ｘ＋ｙ＝７　…②
①を②に代入。
４ｘ＋（－２ｘ＋１）＝７
２ｘ＝６
ｘ＝３
①に代入、ｙ＝－２×３＋１＝－５
ｘ＝３、ｙ＝－５

（６）
ｘ²＋９ｘ＋８
＝（ｘ＋８）（ｘ＋１）＝０
ｘ＝－８、－１

（７）
最頻値（モード）は最もあらわれている値。
16～20分の階級の階級値である18分。
あ…１、い…８

（８）

ＤＢに補助線。
半円の弧に対する円周角で、∠ＡＤＢ＝90°
△ＡＢＤの内角から、∠ＡＢＤ＝180－（90＋25）＝65°
弧ＡＤの円周角で、∠ＡＣＤ＝65°

△ＡＣＤは二等辺なので、∠ＡＤＣ＝180－65×２＝50°
△ＡＥＤで外角定理→ｘ＝25＋50＝75°
う…７、え…５

＠別解＠

ＤＯに補助線。
半径ＡＯ＝ＤＯから△ＡＯＤは二等辺→∠ＡＤＯ＝25°
△ＡＯＤで外角定理→∠ＤＯＥ＝25＋25＝50°

また、弦ＡＣの垂直二等分線は円の中心Ｏを通る。（ＯはＡとＣから等距離にある）
△ＡＣＤは二等辺だから、ＡＣの垂直二等分線は直線ＤＯである。
ＤＯを対称の軸として、対称性から∠ＡＤＯ＝∠ＣＤＯ＝25°
△ＯＥＤで外角定理→ｘ＝50＋25＝75°

（９）

半径と接線は直交する→線分ＡＢ⊥直線ℓ
円Ａと円Ｂは半径が等しい→接点はＡＢの中点
直線ℓはＡＢの垂直二等分線である。

大問２（式の証明）

（１）

３×３の四隅がａ、ｂ、ｃ、ｄである。
ａ＝２のとき、Ｐ＝４×12－２×14＝20
ａ＝13のとき、Ｐ＝15×23－13×25＝345－325＝20
①…イ、②…ア

＠余談＠
どの９マスでもＰ＝20である。

（２）

まずはｆ、ｇ、ｈを文字で表す。
ｅの３マス先がｆ。ｆ＝ｅ＋３
（*＋４にしないこと！）
１行はｎマス。左上の１の下がｎ＋１であるように、１つ下の数は＋ｎ。
３行下は＋３ｎだから、ｇ＝ｅ＋３ｎ
ｈ＝ｇ＋３＝ｅ＋３ｎ＋３

これらを式に代入する。
Ｑ＝ｆｇ－ｅｈ
＝（ｅ＋３）（ｅ＋３ｎ）－ｅ（ｅ＋３ｎ＋３）
＝ｅ²＋３ｅｎ＋３ｅ＋９ｎ－ｅ²＋３ｅｎ－３ｅ
＝９ｎ

大問３（関数）

（１）
ｙ＝１/４ｘ²において、
ａ＝０のとき、最小値ｂ＝０
ａ＝－６のとき、最大値ｂ＝９
０≦ｂ≦９
①…エ、②…ク

（２）

ｙ＝１/４ｘ²にｘ＝３を代入→Ｐのｙ座標は９/４。
Ａ（－６、０）→Ｐ（３、９/４）
右に９、上に９/４なので、傾きは９/４÷９＝１/４
Ａから右に④（＝６）、上に①で切片、６×①/④＝３/２
ｙ＝１/４ｘ＋３/２
③…ウ、④…イ

（３）

Ｐのｘ座標をｔとする。Ｐ（ｔ、１/４ｔ²）
△ＢＯＰの面積は、８×ｔ÷２＝４ｔ
△ＡＯＲの面積は、４ｔ÷８＝１/２ｔ

ＲＱは△ＡＯＲの高さなので、ＲＱ＝１/２ｔ×２÷６＝１/６ｔ
四角形ＢＯＲＰは２組の対辺が平行だから平行四辺形。対辺は等しく、ＰＲ＝８

Ｐのｙ座標で等式を立てる。
１/４ｔ²＝１/６ｔ＋８
３ｔ²－２ｔ－96
＝（３ｔ＋16）（ｔ－６）＝０
ｔ＞０だから、ｔ＝６
*最後の因数分解で96の約数が多い…。
Ｐのｙ座標はＢより大きいので、１/４ｔ²＞８→ｔ²＞32→ｔ＞５で当たりをつける。

＠別解＠

最も短いＲＱの長さをａとする。
△ＡＯＲの面積比は６×ａ＝６ａ
△ＢＯＰの面積比は６ａ×８＝48ａだから、ＯＱ＝48ａ÷８＝６ａ

Ｐのｘ座標が６ａなので、これをｙ＝１/４ｘ²に代入するとｙ座標は９ａ²
Ｐのｙ座標で等式を立てると、９ａ²＝ａ＋８
９ａ²－ａ－８
＝（９ａ＋８）（ａ－１）＝０
ａ＞０なので、ａ＝１
Ｐのｘ座標は、６ａ＝６

＠余談＠
ＯＲは左に６ａ、上にａだから傾きは１/６。
ということは、ＢＰの式はｙ＝１/６ｘ＋８
Ｐはこれとｙ＝１/４ｘ²との交点（ｘ＞０）なので、
１/４ｘ²＝１/６ｘ＋８
３ｘ²－２ｘ－96
＝（３ｘ＋16）（ｘ－６）＝０
…と、先ほどと同じ式がでてくる。

大問４（平面図形）

（１）

ＡＢ//ＰＤの錯角で、∠ＢＡＤ＝ａ
仮定よりＡＤは∠ＢＡＣの二等分線だから、∠ＤＡＣ＝ａ
△ＡＤＰで外角定理→∠ＤＰＣ＝２ａ
最後に△ＰＤＣの内角から、∠ＰＤＣ＝180－30－２ａ＝150－２ａ°
ア

（２）①
△ＡＢＤ≡△ＡＰＤの証明。

共通辺ＡＤ。
仮定より、∠ＢＡＤ＝∠ＰＡＤ（●）
ＡＤ//ＰＱの同位角→二等辺ＤＱＰの底角→錯角とつなげ、∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＰ（×）
１辺と両端角が等しくので合同。

②

△ＡＢＤ＝③、△ＣＰＤ＝②とする。
前問の合同から、△ＡＰＤ＝③
△ＡＰＤ：△ＣＰＤ＝ＡＰ：ＰＣ＝３：２

ＡＤ//ＰＱより、△ＰＱＣ∽△ＡＤＣ→ＰＱ：ＡＤ＝２：５

仮定からＤＰ＝ＤＱ、合同の対応する辺でＤＰ＝ＤＢ
→ＤはＢＱの中点である。
今度は△ＢＤＲ∽△ＢＱＰに注目して、ＲＤ＝２÷２＝１
ＡＲ＝５－１＝４
ＡＲ：ＲＤ＝４：１
お…４、か…１

＠別解＠

△ＡＢＤ：△ＡＤＣ＝ＢＤ：ＤＣ＝３：５

今度は、ＡＰ：ＰＣ＝△ＡＢＰ：△ＣＢＰ＝③：②と面積比を捉えなおす。
△ＤＢＰ＝②×３/８＝〇３/４
△ＡＢＰ：△ＤＢＰ＝ＡＲ：ＲＤ（高さの比）＝③：〇３/４＝４：１

大問５（空間図形）

（１）

４秒後のＰはＥＦの、ＱはＣＤの中点にある。
ＰＱの中点Ｍは直方体の縦・横・高さの中点→直方体の中心
ＭＣは１辺が３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直方体の対角線だから、
ＭＣ＝√（３²＋４²＋５²）＝５√２ｃｍ
き…５、く…２

（２）

求めたいのは三角錐Ｍ―ＥＱＮだが、辺ＢＦ上にあるＰの方がＭより求めやすい。
そこで、ＰＭ＝ＭＱから三角錘ＭーＥＱＮ＝三角錘ＰーＥＱＮ÷２で求積する。

Ｅ・Ｎ・Ｑは面ＡＥＧＣ上にある。
三角錘ＰーＥＱＮの底面である△ＥＱＮの面積を求める。

Ｑを通るＮＥに平行な線をひき、ＥＧとの交点をＲとする。
等積変形で△ＥＱＮ＝△ＥＲＮ
ここで、△ＡＥＮと△ＧＱＲに着目すると２角相等で∽。
ＡＥ：ＡＮ＝ＧＱ：ＧＲ＝２：１
ＲＧ＝３÷２＝1.5ｃｍ

△ＥＦＧは辺の比が３：４：５の直角三角形だから、ＥＧ＝10ｃｍ
ＥＲ＝10－1.5＝8.5ｃｍ

最後に三角錘の高さを計算する。
△ＡＢＣの面積を２通りで表すと、【８×６÷２＝10×？÷２】
？＝８×６÷10＝24/５ｃｍ
よって、求積すべき立体の体積は、8.5×10÷２×24/５÷３÷２＝34ｃｍ³
け…３、こ…４

＠2023年度・都立解説＠
数学…平均57.6点　社会…平均55.6点　理科…平均59.4点　英語…平均62.8点
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