2023年度 都立高校入試・分割後期過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
4+6×(-1/2)
=4-3
=1

(2)
(5a+b)/3-(8a+b)/9
={3(5a+b)-(8a+b)}/9
=(15a+3b-8a-b)/9
=(7a+2b)/9

(3)
√6(4√2+1) ←√6=√2×√3
=(√2×√3)×4√2+√6 ←√2×√2=2
=8√3+√6

(4)
7x-5=9x+3
2x=-8
x=-4

(5)
y=-2x+1 …①
4x+y=7 …②
①を②に代入。
4x+(-2x+1)=7
2x=6
x=3
①に代入、y=-2×3+1=-5
x=3、y=-5

(6)
2+9x+8
=(x+8)(x+1)=0
x=-8、-1

(7)
最頻値(モード)は最もあらわれている値。
16~20分の階級の階級値である18分。
あ…1、い…8

(8)

DBに補助線
直径に対する円周角で、∠ADB=90°
△ABDの内角から、∠ABD=180-(90+25)=65°
弧ADの円周角で、∠ACD=65°


△ACDは二等辺なので、∠ADC=180-65×2=50°
△AEDで外角定理→x=25+50=75°

う…7、え…5

@別解@

DOに補助線。
半径AO=DOから△AODは二等辺→∠ADO=25°
△AODで外角定理→∠DOE=25+25=50°

また、弦ACの垂直二等分線は円の中心Oを通る。(OはAとCから等距離にある)
△ACDは二等辺だから、ACの垂直二等分線は直線DOである。
DOを対称の軸として、対称性から∠ADO=∠CDO=25°
△OEDで外角定理→x=50+25=75°

(9)

半径と接線は直交する→線分AB⊥直線ℓ
円Aと円Bは半径が等しい→接点はABの中点
直線ℓはABの垂直二等分線である。


大問2(式の証明)

(1)

3×3の四隅がa、b、c、dである。
a=2のとき、P=4×12-2×14=20
a=13のとき、P=15×23-13×25=345-325=20

①…イ、②…ア

@余談@
どの9マスでもP=20である。

(2)

まずはf、g、hを文字で表す。
eの3マス先がf。f=e+3
(*+4にしないこと!)
1行はnマス。左上の1の下がn+1であるように、1つ下の数は+n。
3行下は+3nだから、g=e+3n
h=g+3=e+3n+3

これらを式に代入する。
Q=fg-eh
=(e+3)(e+3n)-e(e+3n+3)
=e2+3en+3e+9n-e2+3en-3e
=9n

大問3(関数)

(1)
y=1/4x2において、
a=0のとき、最小値
b=0
a=-6のとき、最大値b=9
0≦b≦9
①…エ、②…ク

(2)

y=1/4x2にx=3を代入→Pのy座標は9/4。
A(-6、0)→P(3、9/4)
右に9、上に9/4なので、傾きは9/4÷9=1/4
Aから右に(=6)、上にで切片、6×/=3/2
y=1/4x+3/2
③…ウ、④…イ

(3)

Pのx座標をtとする。P(t、1/4t2
△BOPの面積は、8×t÷2=4t
△AORの面積は、4t÷8=1/2t

RQは△AORの高さなので、RQ=1/2t×2÷6=1/6t
四角形BORPは2組の対辺が平行だから平行四辺形。対辺は等しく、PR=8

Pのy座標で等式を立てる
1/4t2=1/6t+8
3t2-2t-96 
=(3t+16)(t-6)=0
t>0だから、t=6
*最後の因数分解で96の約数がやや多い…。
Pのy座標はBより大きいので、1/4t2>8→t2>32→t>5で当たりをつける。

@別解@

最も短いRQの長さをaとする。
△AORの面積比は6×a=6a
△BOPの面積比は6a×
8=48aだから、OQ=48a÷8=6a

Pのx座標が6aなので、これをy=1/4x2に代入するとy座標は9a2
Pのy座標で等式を立てると、9a2=a+8
9a2-a-8
=(9a+8)(a-1)=0
a>0なので、a=1
Pのx座標は、6a=6

@余談@
ORは左に6a、上にaだから傾きは1/6。
ということは、BPの式はy=1/6x+8
Pはこれとy=1/4x2との交点(x>0)なので、
1/4x2=1/6x+8
3x2-2x-96
=(3x+16)(x-6)=0
…と、先ほどと同じ式がでてくる。


大問4(平面図形)

(1)

AB//PDの錯角で、∠BAD=a
仮定よりADは∠BACの二等分線だから、∠DAC=a
△ADPで外角定理→∠DPC=2a
最後に△PDCの内角から、∠PDC=180-30-2a=150-2a°

(2)①
△ABD≡△APDの証明。

共通辺AD。
仮定より、∠BAD=∠PAD(
AD//PQの同位角→二等辺DQPの底角→錯角とつなげ、∠ADB=∠ADP(×
1辺と両端角が等しくので合同。



△ABD=③、△CPD=②とする。
前問の合同から、△APD=③
△APD:△CPD=AP:PC=

AD//PQより、△PQC∽△ADC→PQ:AD=

仮定からDP=DQ、合同の対応する辺でDP=DB
DはBQの中点である。
今度は△BDR∽△BQPに注目して、RD=÷2=
AR=
AR:RD=4:1
お…4、か…1

@別解@

△ABD:△ADC=BD:DC=

今度は、AP:PC=△ABP:△CBP=③:②と面積比を捉えなおす
△DBP=②×/=〇3/4
△ABP:△DBP=AR:RD(高さの比)=③:〇3/4=4:1

大問5(空間図形)

(1)

4秒後のPはEFの、QはCDの中点にある。
PQの中点Mは直方体の縦・横・高さの中点→直方体の中心
MCは1辺が3cm、4cm、5cmの直方体の対角線だから、
MC=√(32+42+52)=5√2cm
き…5、く…2

(2)

求めたいのは三角錐M―EQNだが、辺BF上にあるPの方がMより求めやすい。
そこで、PM=MQから三角錘MーEQN=三角錘PーEQN÷2で求積する。

E・N・Qは面AEGC上にある
三角錘PーEQNの底面である△EQNの面積を求める。

Qを通るNEに平行な線をひき、EGとの交点をRとする。
等積変形で△EQN=△ERN
ここで、△AENと△GQRに着目すると2角相等で∽
AE:AN=GQ:GR=2:1
RG=3÷2=1.5cm

△EFGは辺の比が3:4:5の直角三角形だから、EG=10cm
ER=10-1.5=8.5cm

最後に三角錘の高さを計算する。
△ABCの面積を2通りで表すと、【8×6÷2=10×÷2】
=8×6÷10=24/5cm
よって、求積すべき立体の体積は、8.5×10÷2×24/5÷3÷2=34cm3
け…3、こ…4


大問1
(8)Eは円周上の点ではない→∠BEDは外角定理から求める。
∠ADEは二等辺ACDの頂角。底角を円周角の定理で移動させる。
また、二等辺三角形の3つの頂点が円周上にある場合、頂角と円の中心を結ぶと線対称が使える。
(9)円Aと円Bは合同の円なので、対称の軸が直線ℓといえる。
大問2
(1)図にa~dの位置を書いておくと間違えない。
(2)e以外をeを使って表す。nは1つ下の数を表すときに使う。
大問3
(3)四角形BORPが平行四辺形である点に気づきたい。
PR=8、RQをP座標の文字で表せば方程式が立てられる。
大問4
(2)きちんと等角をつなげられるか。
(3)シンプルで良い問題。
相似が逆方向に流れる感じが分割前期と似ている。
与えられた面積比から、AP:PCか、BC上の辺の比が求められないか探る。
大問5
(1)なるべくここは取りたい。Mの位置さえわかれば馴染みのある公式。
(2)P―EQNに切り替えて、底面EQNの面積を出す。
解説では等積変形を使ったが、四角形AEGCから周りの3つの三角形を引いても良い。

@2023年度・都立解説@
数学…平均57.6点 社会…平均55.6点 理科…平均59.4点 英語…平均62.8点
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QUIZ…☆4以上はムズいよ!
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