2022年度 秋田県公立高校入試過去問【数学】解説

平均55.5点(前年比;+4.8点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

*15問の中から指示された8問を解答する。
(1) 91.0%
-3×(5-8)
=-3×(-3)
=9

(2) 90.2%
2×ab2÷a3
=b

(3) 71.8%
√80×√5
=√400=20

(4) 64.4%
無理数は分数で表せない数。
√9=3=3/1
-0.6=-3/5
無理数は√2、π。
*円周率πは循環しない無限小数ゆえ分数で表せない。

(5) 74.0%
x+y=9 …①
0.5x-1/4y=3
これを4倍すると、2x-y=12 …②
①+②をして
x=7
①に代入してy=2
x=7、y=2

(6) 73.7%
2+3x+2
=(x+2)(x+1)=0
x=-2、-1

(7) 85.5%
反比例の比例定数aはxとyの積で8。
y=8/x

(8) 84.5%
白は60個中18個の割合。
500×18/60=150個

(9) 64.9%
25x2-y2
=(5x+y)(5x-y) ←ここで代入
=(5×11+54)(5×11-54)
=109×1=
109

(10) 9.7%!!
中学受験によくでてくるスタイル。
148÷n=〇…4
245÷n=△…5
n×〇=148-4=144
n×△=245-5=240
144と240はともにnの倍数である

144と240の公約数を調べる。
最大公約数は48。
nは48の約数である。
【1・2・3・4・6・8・12・16・24・48】
このうち、割る数は余りの5より大きくなくてはならないから、
【6~48】の6個。

(11) 93.4%

平行線と線分の比。
18:12=15:x
x=12×15/18=10

(12) 71.1%

ブーメランの3つの角の和は股の角。
外角定理を上下に適用して、
x=39+41+35=115°

(13) 88.7%

赤線が答え。
A・B・C・Dの頂点はわかりやすい。
DHを共有する面は面ADHEと面CDHG。
ここからHとGの位置がわかる。
4つの側面はD→H→G→C→D、A→E→F→B→Aが一列で並ぶ。

(14) 20.4%!
円錐の中心角は半径/母線。
円錐の側面積は、母線×母線×π×半径/母線=母線×半径×π

母線×3×π=24
母線=8cm
三平方の定理より、円錐の高さは、√(82-32)=√55cm
よって、円錐の体積は3×3×π×√55÷3=3√55πcm3

(15) 7.7%!!
大問1だが難しい(;^ω^)

HF、EGの交点をOとし、Oの真上にあるMGとの交点をNとする。
面NBDがAMとCGと平行である点に注目してM⇒A、G⇒Cに移動させると、
等積変形により四面体BDGMは正四角錘N—ABCDに変形できる。

△MGE∽△NGOより、NO=6÷2=3cm
正四角錘の高さは12-3=9cm
したがって、体積は6×6×9÷3=108cm3

大問2(小問集合2)

(1)① 47.2%
2x+3y=-6
y=-2/3x-2

切片は(0、-2)。
右に3、下に2の傾きで格子点を通過するように描く。

② 78.2%
右上なので傾きa>0
切片b<0

(2)① 77.3%
y=x2とy=-1/2x2にx=2を代入。
Bのy座標は4、Cのy座標は-2。
BC=4-(-2)=6cm

② 4.9%!!

Bのx座標をtとする。
B(t、t2)C(t、-1/2t2
BC=t2-(-1/2t2)=3/2t2

もう1つは二等辺三角形の性質を利用する。
頂角Aから底辺BCに向けて垂線をひくと、交点は底辺の中点を通る
BC=(t2-3)×2=2t2-6

BCの長さで等式
3/2t2=2t2-6
3t2=4t2-12
2=12
t>0より、t=2√3

(3) 55.5%

DとEが対応する点となるような対称の軸が折り目になる。
⇒DとEの垂直二等分線
折り目なので長方形ABCDの端から端まで描く。

(4) 52.3%

高さは4cmのままなので一次関数で増減する。
0≦x≦4では上底と下底がともに伸びる。
x=4のとき、y=24

4≦x≦8では上底の増加より下底の減少が上回るので、面積は減少する。
x=8のとき、y=16


大問3(規則)

(1)① 74.8%

Aは1、3、6、10…(+2、+3、+4…)と三角数が連なる。
BはAの1個手前がつづく。
ア…28、イ…21
*ちなみに、AとBの和は平方数である。

② 21.0%!

Aの数と〇番目の関係を整理する。
+2して2番目、+3して3番目だから、+16したm+1は16番目。
m=15

③ 9.3%!!

1段目は左の三角形が1個で、右の三角形がm個だから和はm+1個。
2段目は左が2個で、右がm-1個だから和はm+1個。
以降、各段のAはm+1個
全体のAは、m(m+1)個。

左と右の三角形は合同なので、半分にすればもとの図形のAの数がでる。
{m(m+1)}/2個
ウ…m(m+1)、エ…{m(m+1)}/2
*ようは、等差数列の和の公式である。
1からnまでの自然数の和→1/2n(n+1)

(2) 28.1%!
今までと違った視点でみないと見えてこない(´°ω°`;)
正六角形をどううまく切り分けるか。

このような回転対称(回転させたら元と同じになる図形)で分けると計算がしやすい。
1つの固まりにおいて、Aの数が〇番目の平方数になっている
n番目であれば、n2×3=3n2

@別解@

正六角形というと、この区切り方が想像されやすいと思う。
しかし、3ピースの頂点はAから始まるが、残りの3ピースはBから始まっている。

BはAよりワンテンポ遅れる。AとBの位置関係が逆になると
前問の{n(n+1)}/2のnをn-1に変えて、{n(n-1)}/2になる。

分配法則を利用しましょう。

@追記@

もしくはAとBを一体して見るのも良い。
1ピースあたりの和はn番目の平方数だから32=9個
これが6ピースあるので6×9=54個
全体を一体してみると、AとBの数は同じである
54÷2=27個
nでやると、n2×6÷2=3n2

大問4(確率&資料問題)

(1)① 88.8%
2か4が出す。
2/4=1/2

② 39.4%
答案では根拠となる数値を示して理由を説明する。
【A】取り出した1枚を戻さずにもう1枚取る。
⇒一度に2枚取るのと同じ。
すべての取り方は、42=6通り
和が5以上の組み合わせは、(4、1~3)(3、2)の4通り
確率は4/6=2/3

【B】取り出した1枚を戻し、再び1枚取る。
全体は4×4=16通り
一度4を出すと5以上が確定なので、余事象から攻めた方が良い。
5未満の組み合わせは、(1、1~3)(2、1~2)(3、1)の6通り。
5以上は、16-6=10通り
確率は10/16=5/8
2/3>5/8なので、Aの方が起こりやすい。

(2) 65.0%
ア:10個ずつなので、度数の大きいQの方が相対度数は大きい。×
イ:P3個、Q4個。×
ウ:最頻値(モード)は最もあらわれている値。P57g、Q55g。×
エ:10個の中央値(メジアン)は5番目と6番目の平均。P57g、Q55g。〇


大問5—Ⅰ(平面図形)

(1) 49.0%
△ABC∽△ACDの証明。基本

共通角+仮定の90°→2角相等で∽。

(2)① 73.8%
弧AEに対する円周角より、∠ABE=∠ACE

② 2.4%!!

×=90°で角度を調査。
∠ACD=×とすると、∠BCD=90-×
2角相等で△ABC∽△CBD

また、孤BCの円周角で、∠BEC=∠BAC=
△BCDは底角が等しく、二等辺三角形
BC=BE=6cm
△ABCで三平方→辺の比は3:4:5でAB=10cm
△ABC:△CBDの相似比は、AB:CB=10:6=5:3
面積比は相似比の2乗、25:9
△BCDは△ABCの9/25倍。

大問5—Ⅱ(平面図形)

(1) 38.2%
△ABC∽△ADBの証明。

直径に対する円周角で、∠ACB=90°
接線と半径は直交するので、∠ABD=90°
これと共通角をあわせ、2角相等で∽。

(2)① 47.2%

×=90°で角度調査。
∠ABC=×とすると、∠CBD=90-×
∠BAD=∠CBD

*接弦定理でも指摘できる。

② 0.0%!!!
シンプルな構図だが出しにくいよ(´°ω°`;)

OB=③、AD=⑧とする。
半径でAO=③だから、AB=⑥となる。
ここで(1)の相似△ABC∽△ADBを使う
AB:AC=AD:AB
AC=⑥×6/8=〇9/2
CD=⑧-〇9/2=〇7/2

AC:CD=9/2:7/2=
△ABC:△CBDの面積比も9:7。
AO=OBから△AOCと△OBCの面積は等しい
面積比を整数にするため、△ABC:△CBD=9:7=として
面積比を配分すると上図のようになる。

ここで△OBCと△CBDに注目する。
底辺CBを共通とするので、高さの比にあたるOE:EDが面積比にあたる
すなわち、
OE:ED=9:14

今度は視点を変えて、△OBE=、△EBD=で捉えなおす。
AO=OBより、△AOD=△OBD=
△ABD:△OBE=
したがって、△OBEは△ABDの9/46倍。


大問1
(10)算数の問題だが、中学受験っぽいものは往々にして正答率が良くないので注意。
(14)円錐の側面積の公式を覚えておこう。
(15)他県でも正答率が悪かった。無理そうならば後回し。
大問2
(2)②求めたいBのx座標を文字に置き換え、等式を立てる。
等式を立てるには、どこかを2通りであらわす。
二等辺三角形ABCの底辺BCに注目する。
(3)折り目の設定に注意。
大問3
(1
)①この規則は他県でも見かける。
②〇番目と三角形Aの個数の関係性をとらえる。
(2)正三角形で区切るとAとBが反転する。
〇番目の平方数になる区切り方だと処理しやすい。
大問4
(1)②他県の公式解答は確率を提示して比較で終わりだったが、
秋田の記述は各々の確率をどう出したか、簡単に述べる必要があるっぽい。
(2)資料問題は簡単だった。来年は箱ひげ図と四分位数がでると思う。
大問5Ⅰ
(2)②相似とわかれば、対応する辺の比で決着がつく。
ポイントは二等辺三角形。等角に印をつけていく。
大問5Ⅱ
②できそうでできなくてもどかしい。
△OEBと相似にあたる図形が見当たらない。
Eの位置が曲者。CE:EBかOE:EDが必要。
解説ではOE:EDから別の面積比に乗り換えた。
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