2023年度 福井県公立高校入試B問題過去問【数学】解説

平均55.5点(前年比±0.0点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)ア
√2×√6+√27
=2√3+3√3
=5√3


(a+2b)/2-b/3
={3(a+2b)-2b}/6
=(3a+6b-2b)/6
=(3a+4b)/6

(2)
√(502-1)
=√(502-12) ←平方の差で捉える
=√{(50-1)(50+1)}
=√(49×51) ≒√49×√51
7√51

(3)ア
x-y=5 …①
2x+3y=-5 …②
①×2-②をして、-5y=15
y=-3
①に代入、x=y+5=-3+5=2
(x、y)=(2、-3)


2+x-1=0
解の公式を適用して、x=(-1±√5)/2

(4)
鉛筆の合計は50x円、ノートの合計は100y円。
これらの和が1000円では足りなかった⇒1000円を超えた。
50x+100y>1000

(5)
答案では言葉や数、式を用いて理由を説明する。

平均は面積図で表すことができる。
A10人の平均とB11人の平均を長方形で描く。
高さの差が平均の差5分
Aに太郎の30分を追加する。30分を10人で均すと平均が+3点になる。
それでもBの平均値には届かないので、B班の平均値が大きい。

↑書き方は公式解答を参照してください。

(6)
答案では言葉や数、式を用いて理由を説明する。
直角三角形であると指摘するには、三平方の定理が成り立てばいい
2+32=(√13)2が成り立つから。

(7)

Pを通る折り目(対称の軸)で折る。
対応する点は対称の軸上の1点からそれぞれ距離が等しい
Aに対応するBC上の点A’は、PA=PA’から位置が求まる
対応する点を結んだAA’の垂直二等分線が折り目になる。
①PAの長さをとってBCに移す。交点がA’。
②AA’の垂直二等分線。これとABとの交点がD。

大問2(確率)

(1)
硬貨を2回投げる→22=4通り
PがCにくるには【裏】→【裏】しかない(1回目でC、2回目は動かない)。
【表】→【表】はBで止まるので注意!
確率は1/4。

(2)
樹形図で調べる。

同じ面は連続する。
Pが最もあるのはD。確率は4/8=1
/2


大問3(方程式)

(1)

黒を数えると、【5、9、13…】と4ずつ増える。
4番目は17枚、5枚目は21枚。
*四隅が追加されて+4となる。

(2)
黒の最初は5枚。
4枚ずつ追加される回数はあいだの数だからn-1回
5+4(n-1)=4n+1

すべての枚数は、【9、25、49…】と平方数が連なる。
×3、×5、×7…】
1、3、5…の奇数は2n-1で表される。
3から始まる数列は、(2n-1)+2=2n+1
n番目が2n+1、
この平方数は(2n+1)2
黒…4n+1枚、すべて…(2n+1)2

(3)
答案では言葉や数、式を用いて理由を説明する。
白の枚数が偶数の2乗になることを証明する。
偶数→2nだから、(2n)2の形を意識する

白=すべて-黒
=(2n+1)2-(4n+1)
=4n2+4n+1-4n-1
=4n2

=(2n)2
nは整数だから、2nは偶数である。
したがって、何番目の図形でも白いタイルの枚数は偶数の2乗になる。

大問4(関数)

(1)
y=ax2のグラフはaの絶対値が大きくなると、グラフの開きが小さくなる
y=1/2x2よりも内側にあるから、a>1/2

(2)ア

Bのy座標…y=1/2x2にx=2を代入、y=1/2×22=2
Cのy座標…AB:BC=①:③でAB(①)=2だから、AC=2×④=8
aの値…y=ax2にC(2、8)を代入、8=22a、a=2
B…2、C…8、a…2


y=2x2において、
x=0のとき、最小値y=0
x=-3のとき、最大値y=18
0≦y≦18


y=1/2x2のxの変域が-3≦x≦bのときのyの変域が0≦y≦18になった。
x=0のとき、最小値y=0
x=-3のとき、y=1/2×(-3)2=9/2
ということは、x=bのとき、最大値y=18になる
(x、y)=(b、18)を代入。
18=1/2b2
2=36
b>0より、b=6

(3)

格子点を数える。
y=1/2x2とy=3x2にx=0~3を代入する。
『図形の周』も含むので原点Oを忘れずに!
x=0のとき、y=0→1個
x=1のとき、y=1~3→3個
x=2のとき、y=2~12→11個
x=3のとき、y=5~27→23個
1+3+11+23=38個


大問5(平面図形)

(1)
△AED≡△BDCの証明。

平行四辺形の対辺は等しい。AD=BC
AB//DCの錯角から、∠ABD=∠BDC
このあとが詰まりやすい。
仮定の∠ABD=∠AEDから、四角形ABEDが等脚台形にみえる…。

BとEはADについて同じ側にあり、∠ABD=∠AEDであるから、
円周角定理の逆より4点A、B、E、Dは同一円周上にある。 
弧DEの円周角から、∠EAD=∠DBC(×
△AEDと△BDCの残りの内角は等しく、∠ADE=∠BCD
1辺と両端角が等しいので合同。

(2)ア

前問の△AED≡△BDCを使う。
△BDC=1625=△AED
△ADF=25
△ADF∽△EBFの面積比は25:9。
相似比はAD:BE=5:3



前問よりAD=
、BE=とする。
平行四辺形の対辺は等しいから、BC=
EC=
△ADH∽△CEHより、AH:HC=⑤:②
Gは平行四辺形の対角線の交点。
平方四辺形の対角線はおのおのの中点で交わるので、AC=3×2=6cm
CH=6×②/⑦=12/7cm


大問1
(2)筋道は見えやすいが、3問目で驚く。
(5)あまり見かけない記述の形式だが、平均値+3は+5に及ばない点を指摘する。
(6)直角三角形の指摘→辺の長さが三平方の関係。√13が斜辺となる。
(7)三角形内部の点Pを通る折り目をつくる。正答率は高くなさそう。
折り目は対応する点を結んだ線の垂直二等分線。まず、
BC上にくるAに対応する点を作図する。
折り目上のPから等距離にある点と気づきたい。最後にDを忘れずに!
大問2
(2)条件に合うように調べる。忍耐力を要する。
大問3
(2)3から始まる奇数列は2n+1、5から始まると2n+3。
(3)白=すべて-黒、前問の文字式を用いる。
どんな形が欲しいか想像してから式を変形していく。
大問4
(2)小問が連なる。前半でミスるとドミノ倒しになる。
(3)処理はしやすかった。y=5~27→27-5+1=23個
大問5
(1)正答率は高くなさそう。円周角の定理の逆の形が見えた否か。
(2)ア前問の合同利用は他県でも出題される。共通部分を除外したところが等しい。
イGが対角線の交点→対角線AC=6cm。チョウチョ相似からAH:HCが出る。
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