2022年度 山形県公立高校入試過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)①
-7-(-2)-1
=-7+2-1
=-6


-3/4÷6/5+1/2
=-5/8+1/2
-1/8


(-6xy2+8xy)÷(-2xy)
=-6xy2÷(-2xy)+8xy÷(-2xy)
=3y-4


(2-√6)2+√24
=4-4√6+6+2√6
10-2√6

(2)
答案では解き方も書く。
(3x+1)(x-2)=x-1
3x2-5x-2=x-1
3x2-6x-1=0
解の公式を適用。xの係数が偶数なので、b=2b’が使える。
x=(3±2√3)/3

(3)
5枚から1枚取り、それを戻さずにもう1枚取る
→5枚から同時に2枚取るのと同じで、52=10通り

余りが1となるには差が1である組み合わせに着目する。
(5、4)(4、3)(3、2)
ただし、(2、1)は割る数が1なので余りなし
他には(5、2)がある。
計4通り。
確率は、4/10=2/5

(4)
反例を挙げればいい。


平面が平行でも直線が平行とは限らない。



面が交わっても、直線が交わらずに平行である場合がある。



平面が垂直でも、平面と直線が垂直とは限らない。



平面と直線が垂直の場合、2つの平面は必ず垂直になる。

(5)
最頻値(モード)は最もあらわれている値で1点。エが外れる。
42の中央値(メジアン)は21番目と22番目の平均で1点。
30の中央値は15番目と16番目の平均。イが外れる。

0点の割合を比較する。
昨年…12/42=2/7
ア…7/30
ウ…9/30
210で通分して比較すると、0点の割合が最も少ないのはア
1点以上の割合は今年の方が大きいので
アとなる。

大問2(小問集合2)

(1)①
y=ax2においてxの値がp→qに増加するときの変化の割合はa(p+q)
1/2×(-4+0)=-2


y=1/2x2にx=2を代入して、A(2、2)
反比例はxとyの積が比例定数で一定。
反比例のグラフ②はy=4/x

Bのx座標とy座標がともに負の整数⇒格子点を探す。
(-1、-4)(-2、-2)(-4、-1)
図の雰囲気からして(-1、-4)っぽいが(;`ω´)
y=ax2は上に凸で、a<0の負の整数に当てはまるものを絞ると、
(-1、-4)→a=-4
(-2、-2)→a=-1/2
(-4、-1)→a=-1/16
したがって、a=-4

(2)

①直線AP⊥直線ℓ→Aを通る垂線
②Pを中心としてBを回転移動させるとCと重なる
→BP=CPを半径とする円の円周上にBとCがある→BCの垂直二等分線
これらの交点がPである。

(3)①
●1次方程式の場合
A地区の面積をxkm2とすると、B地区の面積は(630-x)km2
70%=0.7、90%=0.9
森林面積の合計で等式。
0.7x+0.9(630-x)=519

●連立方程式の場合
A地区の面積をxkm2、B地区の面積をykm2として、
x+y=630
0.7x+0.9y=519


先の方程式を解く。
x=240
A地区の面積が240km2なので、A地区の森林面積は、
240×70%=168km2

(4)
説明問題。
〔3の倍数+1〕を証明したいので、3( )+1の形に持っていく。

L字に並んだ3つの自然数の和は、
n+(n+1)+(n+6)
=3n+7
=3(n+2)+1
n+2は整数だから、3(n+2)+1は3の倍数に1を加えた数である。


大問3(数量変化)

(1)①
x=3のとき、PはAE上にある。
底面は長方形EFGH、高さはPE=1cmの四角錘。
3×5×1÷3=5



◆0≦x≦4のとき
PはAE上にある。
底面積は変わらず、高さが減少する⇒体積は一次関数で減少。
x=0のとき、y=3×5×4÷3=20(切片)
20cm3が4秒で0cm3になるので、変化の割合は-20÷4=-5
y=-5x+20

◆4≦x≦9のとき
PはEB上にある。
(△ABEは3:4:5の直角三角形→EB=5cm)
底面積は変わらず、高さが増加する⇒体積は一次関数で増加。
EPの長さを⑤とすると、高さは相似で④に相当する
0≦x≦4の変化率が-5だった。
増加だから+に転じて、
体積の変化率は+5×④/⑤=4(傾きは4
x=9、すなわち、PがBにくるとき、体積yは20に戻るので、
y=4x+bに(x、y)=(9、20)を代入。
20=4×9+b
b=-16
y=4x-16

◆9≦y≦14のとき
PはBC上にある。
底面積も高さも変わらない。等積変形で体積は20cm3で一定。

まとめるとこうなる。
ア…y=-5x+20、イ…9、ウ…y=4x-16

(2)
出題の仕方が妙(´゚д゚`)
わかるところから、ひも解いていく。

△PEFの面積は△PFGの3/4倍。
5×4÷2×③/④=15/2cm2

Pが移動したBPの長さが知りたい。
そこでPFに注目する。
BF=4cmなので、PFがわかれば△BPFの三平方からBPが出る。

ポイントはEF⊥PF
側面の長方形の内角より、EF⊥面BFGC
PFは面BFGC上の線分でEFとはFで交わるからEF⊥PFがいえる。
PF=15/2×2÷3=5cm

すると、△BPFも3:4:5の直角三角形→BP=3cm
PがBに着くのは9秒後でPは毎秒1cmだから、答えは9+3=
12秒後


大問4(平面図形)

(1)
△ABC∽△AHEの証明。

直径ABに対する円周角で、∠ACB=∠AEH
半径よりOA=OC、△OCAは二等辺で底角が等しい
OC//ADの錯角と合わせて、∠BAC=∠HAE
2角が等しく∽。

(2)①

先ほどの△ABC∽△AHEをさらに展開する。
△AHEと△BCJにおいて、
弧CEに対する円周角で∠HAE=∠CBJ
同位角より、∠AEH=∠OJB=90°
反対側の角である∠BJC=90°
2角相等で△ABC∽△AHE∽△BCJが導ける。
AB:BC=BC:CJ
CJ=3×3/9=1cm

なんとなくBJとJEが同じっぽい。。
OEに補助線をひく。半径から△OBEは二等辺三角形。
頂角Oから底辺BEにおろした垂線OJは二等辺三角形を左右に二等分する
OJを対称の軸として左右対称であり、BとEは対応する位置関係にある

AJの延長線上にあるCについても同様のことがいえる。
ECに補助線。
EC=BC=3cm
△JCEで三平方→JE=2√2cm

半径OCと接線は直交し、円周角や同位角を合わせると、
四角形JCDEの内角はすべて90°で長方形
CD=JE=2√2cm



BE=2√2×2=4√2cm
△ABEで三平方→AE=7cm
AD=7+1=8cm
これを⑤:③に案分して、AF=5cm、FD=3cm

IGを1辺とする三角形と相似になる三角形を探す。
△IGC∽△FGA
JはBEの中点で△BIJ∽△BFEより、IJ=2÷2=1cm
IG:GF=IC:FA=②:⑤

赤い直角三角形で三平方→IF=3cm
したがって、IG=3×②/⑦=6/7cm

@余談@

いろいろいじっていたら、合同の直角三角形がいっぱいでてきて混乱したが、
大した成果はなかった。。四角形BCEIは菱形です。


大問1
配点32点。
(1)③割り算の分配法則。
(3)順列でもできる。全体は5×4=20通り
差が1になるペアの逆も含めて8通り。確率は8/20=2/5
(4)昨年も類題が出てきたが…難しい(;^ω^)
頭の中で直線や面をクルクル回し、確実に違うものを除外していく。
(5)1点以上の割合は余事象で対処。
大問2
(1)②出題の仕方にやや変化球がある。
第3象限(座標平面の左下)で格子点を探す。
aも整数であることから1つに絞られる。
(2)条件②が厄介。回転移動から円の半径→BP=
CPに繋げられるか。
(4)とりあえず、L字の3マスの和をnで表してみる。
持っていきたい形を想像しながら式を加工していく。
大問3
斜め移動がきた(;^ω^)
(2)先にグラフを埋めてから、式を出すのも手。
(3)空間図形がここで登場した。
△PFGの面積はすぐ出せるので、△PEFを求めてみる。
求めたいのはPが移動したBPの長さ。面BFGCを眺める。
大問4
(2)①難しかった(;´・ω・)
AB:BC=3:1
△ABCと相似にあたる三角形が他にないか探してみる。
△BCJでCJがわかれば、三平方でBJがでる。
BJとJEが同じっぽい。BE//CDっぽい。
この直感があたっているかを検証する。
直角と対称性がポイントだと思う。
②IG→△IG
Cの辺。これとチョウチョの相似がみつかる。
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