2020年度 豊島岡女子学園高校過去問【数学】解説

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50分100点満点

大問1(計算)

(1)
(-2/3x2y)3×3x2y÷(-1/3xy22
=-8/27x63×3x2y×9/x24
=-8x6

(2)

*後ろは有理化ではなく、根号で約分しました。

(3)
ax2-3axy-4ay2
=a(x2-3xy-4y2
=a(x+y)(x-4y)

(4)
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
y=1/2x2に代入。
x=1/2のとき、y=1/8
x=3のとき、y=9/2
(9/2-1/8)÷(3-1/2)…①

y= a/xに代入。
x=1/2のときy=2a、x=3のときy=a/3
(a/3-2a)÷(3-1/2)…②

①と②の値(変化の割合)が等しい。
(9/2-1/8)÷(3-1/2)=(a/3-2a)÷(3-1/2)
9/2-1/8=a/3-2a
-5/3a=35/8
a=-21/8

大問2(小問集合)

(1)
2-5x-3=0に解の公式を適用。
x=(5±√37)/2
まず、√37の整数部分を考える。
√36<√37<√49だから、√37の整数部分は6。
5より√37の方が大きいので、『正の解』は(5+√37)/2。
(5+37)/2の整数部分は、(5+6…)÷2=11…÷2=5…
小数部分a=正の解-整数部分=(5+√37)/2-5

a(a+5)
={(5+√37)/2-5}{(5+√37)/2-5+5

={(√37-5)/2}{(√37+5
)/2}
={(√37)2-52}/4=12/4=3

(2)
2m-1≦√n≦2m ←すべて2乗
(2m-1)2≦n≦(2m)2
2m-1と2mは連続する整数
連続する2つの整数の平方数のあいだにある数を考えればいい。
留意すべきは、不等号≦にイコールがあること
つまり、(2m-1)2もnに含まれる
たとえば、4と9の差は9-4=5個だが、4を含めると5+1=6個となる。
n=2020は(2m-1)2を含む個数なので、(2m)2と(2m-1)2の差は2019

(2m)2-(2m-1)2=2019
4m2-4m2+4m-1=2019
4m=2020
m=505

(3)
7の倍数の判定法は使えにくい(;´Д`)
地道に代入して調べていくが、余りに注目しよう。
11=7+4(余り4
8=7+1(余り1
余りの合計が7の倍数であれば全体で7の倍数
たとえば、a=
1のとき、
余り4×1+余り1×3=7だから、b=3となる。
a=2のとき、4×2+1×6=14→b=6
a=3のとき、4×3+1×2=14→b=2
a=4のとき、4×4+1×5=21→b=5
a=5のとき、4×5+1×1=21→b=1
a=6のとき、4×6+1×4=28→b=4
以上、6通り→6/36=1/6

(4)

平行四辺形は対辺の長さが等しく、辺を内分する比が同じ。
AF//HCED//BG
△AEP∽△ABQより、AP:PQ=AE:EB=2:3

△ADP∽△HDSに注目。
HS=×2/5=〇4/5
図形全体が点対称なので、対称的に考えてQF=〇4/5
分数がでてきたので、いったん比を整数に変換。
AP:PQ:QF=〇4/5

平行四辺形ABCDの面積を1として、上底+下底の和から面積比を計算する。
【平行四辺形ABCD→平行四辺形AFCH→四角形PQRS】
1×6/10×30/58=
9/29
9/29倍


大問3(関数)

(1)
Bはy=x2とy=x+2の交点。
2=x+2
2-x-2
=(x+1)(x-2)=0
Bのx座標は正しいだから、B(2、4)
*Aの座標は(-1、1)

(2)

y=1は横線。
B(2、4)を対称移動させてC(2、-2)
②と平行なので傾きは1。
Cから切片へ移動。下に2、左に2で(0、4)
y=x-4

(3)
面積が等しい。等積変形→平行線。
②y=x+2から前問のy=x-4との距離が等しく、
②の上側にあるグラフに注目する。

ポイントはy軸上で考えること!
y=x-4の切片は-4
y=2x+2の切片は2
距離が6離れるので、Pが通る直線の切片は8
y=x2とy=x+8の交点座標が答え。
2=x+8
2-x-8=0
因数分解ができないので、解の公式。
x=(1±√33)/2

大問4(方程式)

(1)
表を書いて整理!

豊島岡レベルを狙うならサクッと処理したい。
xがy%減少→xに(1-y/100)倍
40%増→140/100=7/5倍
2019年の女子は、7/5x(1-y/100)

(2)
yしかない男に着目。

これを、前問の解答に代入。
7/5x(1-25/100)=63
7/5x×3/4=63
21/20x=63
x=60


大問5(平面図形)

(1)

情報の多い△ADGに着目。
辺の比が2:1で、あいだの角が60°…どこかで見たことのある三角形( ^ω^)・・
同じものを2つくっつけると正三角形なので、
△ADGは1:2:√3の直角三角形→∠AGD=90°

∠CGE=180-90-60=30°
△GCEで外角定理→∠GEB=30+60=90°
合同より、∠DEG=∠DEBだから、∠DEG=90÷2=45°

(2)
△ADGは1:2:√3の直角三角形→DG=√3
合同で、DB=√3
正三角形ABCの1辺ABが2+√3だから、
FG=2+√3-1-1=√3

(3)
難問(;´・ω・)
3点を通る円の半径を求めたい場合、まず円の直径を探る。
直径に対する円周角は90°だから、どこかに直角があるはずだが、
△EFGの内角を調べると∠EFG=90°が導けない…(´゚д゚`)
直径はEGではないのでは?
そこで、別の直角を探す

大問3もそうだったが、前問の解答がきちんと誘導になっている
DG=√3、GF=√3、∠DGF=90°より、△DGFは直角二等辺三角形
∠DGFを使いたい…。残るEをどうするか?(‘Д’)

直角二等辺だから、∠DFG=45°
(1)より、∠DEG=45°(‘ω‘ )!!
点E、Fが直線DGにおいて同じ側にあり、∠DEG=∠DFGが成り立つ
円周角定理の逆から、4点D、E、F、Gは同一円周上にある
この円の半径を求めればいい。
直径DFは1:1:√2より、√3×√2=√6
半径は√6÷2=√6/2

大問6(空間図形)

(1)

小球の中心Oは球の半径から面AEHD(左)、面AEFB(前)、面EFGH(底面)から等距離で、
3つの面から等距離にある点の集合は
立方体の対角線ECである
(Cも3つの面から等距離にある。CD=CB=CG)
EOとEPを伸ばすとCとGにあたる。
△EOP∽△ACG
EP/OP=EG/CG
EGは正方形の対角線で6√2だから、
EP/OP=6√2/6=√2

(2)
大球と小球が接するQは、どの直線上にあるのだろう?(´-`).。oO


大球の中心をO’、Qから垂線をおろして足をRとする。
大球は立方体に接するので、O’はどの側面の正方形からみても中心。
すなわち、O’は立方体の中心にあり、立方体の対角線EC上にある
小球と大球はQで接するのでO-Q-O’は一直線、
かつ、QはEC上にあるOとO’の間にあるから、QもEC上にある

△ECGで三平方→EC=6√3
△ECG∽△EQRで、EQ:QR=EC:CA=6√3:6=√3:1
 
立方体の中心にあるO’は対角線ECの中点
EO’=6√3÷2=3√3
O’Qは大球の半径3だから、EQ=3√3-3
QR=(3√3-3)×①/〇√3=3-√3

したがって、四角錘Q-EFGHの体積は、
6×6×(3-√3)÷3=
36-12√3

@データ@
受験者平均:63.01点
合格者平均:71.81点
やはりボーダーは高いですな|・ω・` )
簡単なところでの失点は痛いです。

豊島岡女子の算数も面白いので、ぜひトライしてみてね(*’ω’*)
とくに大問6の空間がヤバめ。
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