2021年度 宮城県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はこちら→PDFファイル
出題範囲の除外は標本調査。

大問1(小問集合)

(1)
-14-(-5)
=-14+5=-9

(2)
3/2÷(-1/4)
=-6

(3)
2a23÷ab
=2ab2 ←ここで代入。
=2×3×(-2)2
=24

(4)
4a-5b=3c
4a=5b+3c
a=5/4b+3/4c

(5)
√27+3/√3
=3√3+√3
=4√3

(6)
2-25y2
=(x+5y)(x-5y)

(7)
ア:0分以上60分未満の階級に全く学習しない生徒がいるかもしれない。×
イ:最頻値(モード)は60~120の階級値である90分。〇
ウ:階級値×度数の合計を40で割る…。
(30×8+90×13+150×11+210×6+270×2)÷40=4860÷40=121.5×
エ:40人の中央値(メジアン)は20番目と21番目の平均。60~120の階級×
オ:2÷40=0.05〇
イ・オ

(8)

円柱に円錐が乗っかる立体図形になる。
3×3×π×3+3×3×π×3×1/3
=36πcm3

大問2(小問集合2)

(1)①
十の位がa、一の位がbの自然数P。
10a+b


Q→10b+a
P-Q
=(10a+b)-(10b+a)
=9a-9b=63
a-b=7
a=b+7

Pは奇数なので、一の位のbは奇数
bが3以上だと、aが10以上になってしまうので不適×
b=1
a=1+7=8
P…81

(2)①
1回ルーレットを回して、BからCに球が1個移動する。
→3を出す。
確率は1/4。


余事象。
『少なくともCに1個ある』→全体から、Cが0個の確率を引く。
Cに球を移さないようにするには3を出さない。
1・2・4を2回出す
Cに球が0個…3/4×3/4=9/16
Cに球が少なくとも1個…1-9/16=7/16


(3)①
A(-2、4)→B(1、1)
右に3、下に3移動するので、傾きは-1。


Bから左に1、上に1移動すると切片は2。
AB;y=-x+2
これにy=-2を代入、C(4、-2)
今度はy=ax2に放り込む。
-2=42
a=
-1/8

(4)①
最後の一文『BはAの半分の箱数、CはBの3倍の箱数』。
連比処理。
A:B:C
2:1
  1:3
2:1:3
Aの箱数をxとすると、Cは3/2x。


前問ではAの箱数をxとしたが、最も小さいBの箱数をxとした方が計算が楽
各々の箱数は、A…2x、B…x、C…3x
ドーナッツの数で等式を立てる。
2×2x+4x+3x=176
11x=176
x=16

A…32箱、B…16箱、C…48箱
カップケーキの個数は、
1×32+2×16+2×48
=32+32+96=160個

大問3(関数)

(1)
傾きaを大きくするとグラフは急勾配になり、y軸に接近する。

(2)①
OAを斜辺とする直角三角形をつくる。
辺の比は3:4:5でOA=5。


O→A;右に3、上に4移動するので傾きは4/3。
y=4/3x+b
(x、y)=(5、0)を代入。
0=4/3×5+b
b=-20/3
y=4/3x-20/3



Aを通るx軸に平行な線をひき、ℓとの交点をDとする。
四角形AOBDは2組の対辺が平行である平行四辺形
△AOBの面積…5×4÷2=10
△AOB≡△ADBより、△ADBの面積も10
△ABCの面積…10÷2=5
△ACDの面積…10-5=5
BC:CD=△ABC:△ACD=1:1
すなわち、CはBDの中点にある(ノ)`ω´(ヾ)
BとDのx座標とy座標の平均がC座標となる。
C(13/2、2)


問題集によくある形式なので解けるようにしておきたい。

AP+PBが最短距離になる。
Bをy軸について対称移動させた点をB’とし、AB’を結ぶ。
この切片がPとなる。

三角形の相似から、Pのy座標は4×5/8=5/2


大問4(平面図形)

(1)
△ACD∽△ECAの証明。

仮定の直角+共通角→2角相等で∽。

(2)①

×=90°で内角を調べていくと、2角相等で△ACD∽△EAD
AD:DE=CD:DA=
ED=2×/=4/3cm



ED:DC=4/3:3=
△EHD∽△EBCより、BC:HD=EC:ED=
HD=4×/=16/13cm
△EHDの面積は、16/13×4/3÷2=32/39cm2



指針としては、FHとGHが1辺となる三角形に着目する。
GからAHに向けて垂線、交点をIとすると、△AFH:△IGHの辺の比がFH:GHである。

△EDH∽GIH
前問の数値が利用できる。
IG:IH=DE:DH=4/3:16/13=

今度は△AIG∽△ADC
AI:IG=AD:DC=

I周辺をピックアップします。
なので、を13倍、を3倍すれば比を統一できる

↑こうなりました。
AI:IH=26:36=13:18

最後に△AFH∽△IGH
FH:GH=31:18

大問2
(1)②『Pは奇数とします』ときたら偶数・奇数判定。
(2)ポイントをつかみ、要領良くいきたい。
(4)②連比で最も値の小さいAをxとする。
大問3
(3)前問で直線ℓの式を求めたので、等積変形が定石だと思うが使わなかった。
面積比の方が楽。
大問4
(2)②数字が汚いが、処理量はそれほどでもない。
③いろんなやり方があるが、数字が汚いので解法ルートにより処理量が増減する。
初手は補助線をいれ、FHとGHを1辺とする相似図形をつくること。
前問の数値を使う発想に飛ばしたい。
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