2021年度　三重県公立高校入試・後期過去問【数学】解説

平均28.9点（前年比；＋1.8点）
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大問１（小問集合）

（１）
８＋（－13）
＝８－13＝－５

（２）
－６/７ａ÷３/５
＝－10/７ａ

（３）
２（ｘ＋３ｙ）－３（２ｘ－３ｙ）
＝２ｘ＋６ｙ－６ｘ＋９ｙ
＝－４ｘ＋15ｙ

（４）
（３√２－√５）（√２＋√５）
＝６＋２√10－５
＝１＋２√10

（５）
ｘ²－ｘ－12
＝（ｘ＋３）（ｘ－４）

（６）
３ｘ²－７ｘ＋１＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（７±√37）/６

（７）
Ａ…18/50、Ｂ…28/80＝７/20
100で通分すると、Ａ…36/100、Ｂ…35/100
Ａの相対度数が大きい。
①Ａ、②0.36

大問２（小問集合２）

（１）①
800ｍを20分で移動する。
ａ＝800÷20＝40

②

Ｂをグラフに記入する。
Ａの傾きは右１上１、Ｂの傾きは右１下１（つまり速さが等しい）。
格子点に注目して縦が1000ｍとなるのは10時45分。

③

Ａが休憩している800ｍ先のＱ地点でＣが追いつく。
10時から800ｍ÷分速100ｍ＝８分後→10時28分

（２）
昨日の大人がｘ人、昨日の子供がｙ人。
１つ目は昨日の入園者数で等式…ｘ＋ｙ＝140　…①
２つ目は今日の入園料の合計で等式。
大人の入園者数は90％、子供の入園数者は105％なので、
500×0.9ｘ＋300×1.05ｙ＝52200　…②

②を整理すると、
450ｘ＋315ｙ＝52200
10ｘ＋７ｙ＝1160　…②’

①×10－②’
　10ｘ＋10ｙ＝1400
－)10ｘ＋７ｙ＝1160
　　　　３ｙ＝240
ｙ＝80
①に代入。ｘ＝140－80＝60
ｘ＝60、ｙ＝80

今日の大人は、60×90％＝54人
今日の子供は、80×105％＝84人
①…ｘ＋ｙ、②…500×0.9ｘ＋300×1.05ｙ
③…60、④…80、⑤…54、⑥…84

（３）①
全体⇒５×５＝25通り
積が12以上⇒（３、４）（３、５）（４、３）（４、４）（４、５）
（５、３）（５、４）（５、５）
計８通り。
確率は８/25。

②
【少なくとも一方は奇数＝全体－２つとも偶数】
２つとも偶数…２か４を２連続出す。２×２＝４通り
少なくとも一方は奇数…25－４＝21通り
確率は21/25。

大問３（関数）

（１）
ｙ＝１/２ｘ²にｘ＝－２を代入。
ｙ＝１/２×（－２）²＝２
Ａ（－２、２）

（２）
ｙ＝１/２ｘ²において、
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝－３のとき、最大値ｙ＝９/２
０≦ｙ≦９/２

（３）

台形ＡＣＤＢの面積は、（２＋８）×６÷２＝30
これを２：１に分けると、四角形ＡＣＤＥ＝20、△ＢＤＥ＝10
△ＡＣＤは６×２÷２＝６だから、△ＡＤＥ＝20－６＝14

ＡＥ：ＥＢ＝△ＡＤＥ：△ＢＤＥ＝14：10＝７：５
Ｅのｘ座標は、－２＋６×７/12＝３/２

ＡＢの式を求める。
Ａ（－２、２）→Ｂ（４、８）
右６上６だから傾きは１。切片はＡから右２上２移動して４。
ＡＢ；ｙ＝ｘ＋４

Ｅのｙ座標は、ｙ＝３/２＋４＝11/２
Ｅ（３/２、11/２）

（４）

Ｆ（０、４）
ｙ＝ｘ＋４は（－４、０）でｘ軸と交わる。

回転体の体積は、半径４ｃｍ高さの合計８ｃｍの円錐から、半径２ｃｍ高さ２ｃｍの円錐を引く。
４×４×π×８÷３－２×２×π×２÷３
＝（128π－８π）÷３＝40π

大問４（空間図形）

（１）①
ＡＭ＝２ｃｍ
△ＡＤＭで三平方→ＤＭ＝２√５ｃｍ

②

中点連結定理より、ＭＮ＝４÷２＝２ｃｍ
三角錐Ｎ－ＭＤＥの体積は、４×４÷２×２÷３＝16/３ｃｍ³

ＭからＤＥに垂線をひき、足をＩとする
ＡＤ//ＭＩ//ＢＥより、ＭはＡＢの中点だからＩもＤＥの中点。
ＭＩは底辺ＤＥを垂直に二等分するので、△ＭＤＥは二等辺三角形。
また、△ＭＤＥ方向から立体をみると、ＭＮ//ＢＣより△ＮＤＥも二等辺三角形。
ＮＨを延長したＤＥとの交点はＩとなる。

ここで△ＡＤＭと△ＭＩＮに注目する。
ＡＤ＝ＭＩ＝４ｃｍ、ＡＭ＝ＭＮ＝２ｃｍ、∠ＭＡＤ＝∠ＮＭＩ＝90°
２辺とあいだの角が等しく、△ＡＤＭ≡△ＭＩＮ
①の答えより、ＮＩ＝ＭＤ＝２√５ｃｍ
△ＮＤＥの面積は、４×２√５÷２＝４√５ｃｍ²

ＭＨの長さは、16/３×３÷４√５＝４√５/５ｃｍ

（２）
ここで作図問題が登場。
『半径が最も短い円』なので、直線ℓと接する接点とＡが直径となる円。

①Ａを通るℓの垂線。交点が接点Ｂ。
②直径ＡＢの垂直二等分線。中点が円の中心。
③円の作成。

大問５（平面図形）

（１）
△ＡＧＥ∽△ＡＣＦの証明。

弧ＡＦに対する円周角から、∠ＡＧＥ＝∠ＡＣＦ
ＢＣ//ＦＧの同位角と弧ＡＣに対する円周角をつなげて、∠ＡＥＧ＝∠ＡＢＣ＝∠ＡＦＣ
２組の角が等しいから、△ＡＧＥ∽△ＡＣＦ
ア…∠ＡＧＥ、イ…∠ＡＢＣ、ウ…２組の角

（２）
つづいて、△ＡＤＧ≡△ＢＣＨの証明。

仮定よりＡＤ＝ＢＣ
この両端角を狙いにいく。
弧ＣＧに対する円周角より、∠ＤＡＧ＝∠ＣＢＨ

直径ＡＢに対する円周角から、∠ＢＣＨ＝90°
ＢＣ//ＦＧの同位角で、∠ＦＤＡ＝90°
∠ＡＤＧ＝180－90＝90°だから、∠ＡＤＧ＝∠ＢＣＨ
１辺と両端角が等しく合同。

（３）①

ＡＢ＝13ｃｍ、ＢＣ＝５ｃｍ、∠ＡＣＢ＝90°
△ＡＢＣは辺の比が５：12：13の直角三角形。
ＤＥ//ＣＢより２角相等で△ＡＢＣ∽△ＡＥＤ。
ＤＥ＝５×⑤/⑫＝25/12ｃｍ

②

△ＢＦＧと△ＯＦＧは辺ＦＧを共通とする。
面積比は高さの比にあたるＥＯ：ＥＢ。
△ＡＤＥの辺の比から、ＡＥ＝５×⑬/⑫＝65/12ｃｍ
中心Ｏは直径ＡＢの中点だから、ＥＯ＝13/２－65/12＝13/12ｃｍ

ＡＥ：ＥＯ＝65/12：13/12＝⑤：①
ＯＢ＝ＯＡ＝⑥
したがって、△ＢＦＧ：△ＯＦＧ＝ＥＢ：ＥＯ＝７：１