2023年度 熊本県公立高校入試問題B過去問【数学】解説

平均28.9点

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大問1(計算)

(1)
1/7+1/2
=9/14

(2)
6+4×(-3)
=6-12
=-6

(3)
8x+9y+7(x-y)
=8x+9y+7x-7y
15x+2y

(4)
8a3b÷(-6ab)2×9b
=8a3b÷36a22×9b
=2a

(5)
(x+1)(x-5)+(x+2)2
=x2-4x-5+x2+4x+4
=2x2-1

(6)
√30÷√5+√54
=√6+3√6
=4√6

大問2(小問集合)

(1)
5x+8=3x-4
2x=-12
x=-6

(2)
2x2+5x-1=0
解の公式を適用して、x=(-5±√33)/4

(3)
反比例;y=a/x
比例定数aはxとyの積で一定。(y=ax)
y=2×3÷5=6/5

(4)

△ABCは二等辺三角形。
∠CBA=(180-54)÷2=63°

ODに補助線半径より△AODは二等辺である
弧ADの中心角は、63×2=126°
∠OAD=(180-126)÷2=
27°

(5)

『点Eで辺ABに接する』
接点E、接線AB→半径と接線は直交する。Eを通るABに垂直な線。
『辺CDにも接する』
円の中心はCDとABから等距離にある
CDとBAを延長し、2直線がなす角の二等分線。
これらの交点がOとなる。

(6)①
最大値なので、和より積に絞る。
赤【4】×赤【6】=24点


1個ずつ地道に調べていく。
赤【2】…6、12、5、6、
赤【4】…12、24、7、、10
白【2】…5、、6、、12
多いのは8点、確率は4/15。
ア…8、イ…4/15

(7)①

航平のグラフを足す。
航平はa分後に毎分240mで出発。
12分後に健太が1周したとき、航平は240m後方にいた。
航平の移動時間は、(2400-240)m÷毎分240m=2400÷240-240÷240=10-1=9分
a=12-9=3



『航平が直樹と最初に並んだ』→航平が直樹を追い越した時間を求める。
直樹の速さは、2400m÷15分=毎分160m
12分のときに両者は240m離れていた。
1分あたり240-160=80mずつ差が縮まるので、240÷80=3分後に追いつく。
12+3=15分後



bは直樹を追い越した航平が、ゴールに着くまでに直樹を待つ時間
仮に航平がそのままゴールした場合、出発から4800÷240=20分後に着く。
健太の出発から3+20=23分後
27-23=4
b=4だと航平がゴールに着いてしまい、直樹を待つことができないのでb<4となる

『航平は直樹を追い越してから2分以上走る』。
ということは、bの最小値は17分後である。(上図の斜線がbの範囲)
三角形の∽から、b=4×2/8=1
1≦b<4


大問3(データの活用)

(1)

範囲(レンジ)=最大値-最小値=71-43=28回
四分位範囲=第3四分位数(Q3)-第1四分位数(Q1)=60-51=9回
ア…28、イ…9

(2)
まず、判断しやすい最小値・最大値からチェックする。
1組の最小値は43回→ア・ウ→最大値は71回→ア
2組の最小値は47回→イ・エ

2組のQ3が65回と最大値に近い点に注目する
39名のQ3は上位19人の真ん中、上から10番目の値。
イは64回以上が5名しかいないので、エが答えとなる。
1組…ア、2組…エ

(3)
ア:範囲=最大値-最小値。ひげ~ひげの長さで1組の方が大きい。×
イ:四分位範囲=Q3-Q1。箱の長さで2組の方が大きい。〇
ウ:前問のヒストグラムを見る。64回以上は1組5人、2組10人。〇
エ:平均値を×などで記す箱ひげ図もあるが、本問はわからない。×
イ・ウ

大問4(空間図形)

(1)
三平方の定理から円錐の高さは、√(62-32)=3√3cm
3×3×π×3√3÷3=9√3πcm3

(2)
円錐の側面積である扇形の中心角は【360×半径/母線】、
円錐の側面積=母線×母線×π×(中心角;360×半径/母線)÷360=【母線×半径×π】で求められる。
6×3×π=18πcm3

(3)

円錐の左端をQとする。
半径と接線は接点で直交→接線PQとの接点をTとするとOT⊥PQ
2角相等で△OPQ∽△TPO
△OPQの辺の比は1:2:√3だから、OP:OT=
球の半径OT=3√3×/=3√3/2cm

(4)

小球の中心をO’、TPとの接点とT’とする。
O’T’⊥PT
小球の半径r(O’T’)が知りたい。

2角相等で、△OTP∽△O’T’P
△O’T’Pの辺の比も1:2:√3である
大球と小級の接点をSとすると、半径でO’S=r
O’T’:O’P=1:2より、O’P=2r

半径でOS=3√3/2だから、SP=3√3-3√3/2=3√3/2=3r
r=√3/2cm
球の体積V=4/3πr
4/3π×(√3/2)3
√3/2πcm3

大問5(関数)

(1)

y=2x2にx=1を代入→A(1、2)
OAの傾きは2、y=2xにx=4を代入→B(4、8)
y=ax2にB座標を代入。
8=16a
a=1/2

(2)
y=2x2にx=-1を代入→C(-1、2)
C(-1、2)→B(4、8)
右に5、上に6だから傾きは6/5。
切片はCから右に1、上に6/5移動して、2+6/5=16/5
y=6/5x+16/5

(3)①

各点を正確に打つ。
求めるべきPのx座標をtとすると、
P(t、1/2t2)Q(t、0)R(t、2t2

PR=QDから方程式を立てる
2t2-1/2t2=4-t 
3/2t2+t-4=0 ←2倍
3t2+2t-8=(3t-4)(t+2)=0
t>0より、t=4/3



△SPRの面積を⑤とすると、△SQDは⑥。
2つの三角形は共通辺がない…。
上図は正確ではないが、PR=QDをうまく利用する

それぞれの三角形の底辺をPR、QDとすると、
底辺等しい→面積比=高さの比=である
すなわち、S~RPの距離:S~x軸の距離=

ここで、BCの傾きが6/5であることに着目する。
BCとx軸の交点をFとすると、Sから下がり、左に進むとちょうどFである。
x座標の差をみると、SはFとQの中点(等距離)にある。

BCの切片は16/5、Fは原点Oから16/5×5/6=8/3離れる。
F(-8/3、0)Q(4/3、0)
Sのx座標は、(-8/3+4/3)÷2=-2/3
BCの式に代入、y=6/5×(-2/3)+16/5=12/5
S(-2/3、12/5)


大問6(平面図形)

(1)
△ADF∽△ECBの証明。

弧BCの円周角から、∠FAD=∠BEC(

AE//FDの錯角+弧BEの円周角で、∠FDA=∠BCE(×
2角が等しいので∽

(2)①
 
直径ABに対する円周角より、∠ACB=90°
与えられた長さから、△ABCで三平方が使える→AC=4√2cm
ここから詰まりやすい…。
AE=CEをどう活用するか。△AECは二等辺三角形なので…

EからACに垂線をおろし、足をGとする。
GはACの中点→AG=4√2÷2=2√2cm
また、この垂線はACの垂直二等分線であり、AとCから等距離にある点の集合である
半径AO=COから、円の中心Oは垂直二等分線上にある

△AOG∽△ABCより、GO=2÷1=1cm
半径OE=3cm
△AEGで三平方→AE=2√6cm



(1)より△ADFと△ECBは相似。
相似比がわかれば面積比が求まる。
EC=2√6cmなので、これに対応するADが知りたい
しかし、Dの位置がなかなか定まらない(;´Д`)

そこで、前問の補助線に目を向けてみる。
∠AGE=∠GCBで同位角が等しく、GE//CB
△BCD∽△EODより、BD:DO=②:③
半径より、AO=OB=3cm
OD=3×③/⑤=9/5cm
AD=3+9/5=24/5cm

相似比は、△ADF:△ECB=AD:EC
=24/5:2√6 ←×5
=24:10√6
=12:5√6
面積比は、△ADF:△ECB=122:(5√6)2=24:25
△ADFは△ECBの24/25倍。

@別解@

元図だけで攻略するには、根号を含む方程式がでてくるが△AED∽△CBDを使う。
CD=x、BD=yとすると、AD=√6x、ED=√6y
また、△CFD∽△CAEから△CFDも二等辺で、FD=CD=x
AB=√6x+y=6 …①
CE=x+√6y=2√6 …②

①×√6-②をすると、
 6x+√6y=6√6
-)   x+√6y=2√6
 5x   =4√6
x=4√6/5
相似比は、FD:BC=4√6/5:2=2√6:5
面積比は2乗して24:25となる。


大問1
この6問だけで全体の5分の1の配点。
大問2
前半3問までは必ずとる。
(4)∠OADを底角とする二等辺三角形をつくる。
解説では140°を使わなかったが、∠ADB=140÷2=70°
△ACDで外角定理→∠CAD=70-54=16°、∠OAB=(180-140)÷2=20
∠CABからこれらを引くのが想定解か。
(5)外側延長の角の二等分線。
(6)②地道に15通り調べるしかない。
(7)小問ではなく、もはや大問。特殊な条件を含んでいる。
中学受験の旅人算やグラフ上で∽を使わないと時間が厳しい。
②『航平さんが直樹さんを追い越したのは』ではダメだったのか(;´・ω・)
③bの意味を正確につかむこと。
追い越してから2分以上走る→17分後がbの最小値
航平がゴールのギリ手前で待てば一緒にゴールできる。
大問3
全体的に選びやすい。
大問4
(3)公立入試でも見かける形式。
(4)小球においても1:2:√3の辺の比が維持される。
大問5
(3)①ここもよくある形式だが、自分で5点を記す必要があった。
②奇妙な2つの三角形と面積比。5:6を高さの比で捉え、
BCの傾きにも5と6が含まれている点に着目すると、処理がしやすいカラクリだった。
大問6
(2)①CEを求めようとすると詰まる。
FD//AEから△CFD∽△CAEが目につくが、辺の情報が乏しい。
3点が円周上にある二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は、円の中心を通過する。
②△ADEのいずれかの辺がわかれば相似比が求まるが、なかなか出てこない。
求まりにくい原因はDの位置が不明だから。前問の図を目を向けるともう1組の平行線があり、
△BCD∽△EODを足掛かりにADが求まる。
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