2021年度　長野県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均51.9点（前年比；－4.0点）

100点の人数―１名、０点の人数―２人
問題はコチラ→ＰＤＦファイル
出題範囲の縮小は三平方の定理と標本調査。

大問１（小問集合）

（１）
（－３）＋（－１）
＝－３－１＝－４

（２）
（15ｘ＋５）÷５　←分配法則
＝15ｘ÷５＋５÷５
＝３ｘ＋１
ウ

（３）
√50－√８
＝５√２－２√２
＝３√２

（４）
ｘ²＋４ｘ＝２
ｘ²＋４ｘ－２＝０
解の公式を適用。ｘの係数が偶数なので、ｂ＝２ｂ’が使える。
ｘ＝－２±√６

＠別解＠
上級者は平方完成でもＯＫ。
ｘ²＋４ｘ＝（ｘ＋２）²－４

（ｘ＋２）²－４＝２
（ｘ＋２）²＝６
ｘ＋２＝±√６
ｘ＝－２＝±√６

（５）
有理数→整数の分数で表せる数、無理数→整数の分数で表せない数
ア：0.7＝７/10（有理数）
イ：－１/３（有理数）
ウ：円周率πは3.14159265…と数字が不規則に並ぶ無限小数。（無理数）
エ：√10（無理数）
オ：－√49＝－７＝－７/１（有理数）
ウ・エ

（６）

①ＡＢの長さをとり、ＡとＢぞれぞれに針を合わせて線をひく。
交点がＣで、△ＡＢＣは３辺が等しい正三角形。
②ＤはＢＣ上の点。
ＤＡは∠ＣＡＢの二等分線で、これとＢＣとの交点がＤとなる。

（７）

両辺を足しているのはイ。

（８）
子供の人数
*ｘ個のアメを３個ずつ配ると22個余った。
→（ｘ－22）/３ 人
ｘ個のアメを４個ずつ配ると６個足りない。
→（ｘ＋６）/４ 人

過不足に気を付けよう。
配る予定のアメの数は余りは余計なので引く。足りない分は足す。

（９）
３人に順番を付けて並ばせる（順列）→３×２×１＝６通り
１番目が学、２番目が春、３番目が桜は１通りしかない。
確率は１/６。

（10）
てこのモーメント。
〔おもりの重さ×支点からの距離〕が左右で等しいと、てこが釣り合う。
反比例はｘとｙの積が比例定数ａで一定である。
本問の反比例の式はｙ＝1000/ｘ
イ

（11）

360－148＝212°
円周角は中心角の半分。
ｘ＝212÷２＝106°

（12）

ＡＤ//ＢＣ→対頂角や錯角で２角が等しい。△ＡＤＥ∽△ＣＢＥ
ＤＥ：ＢＥ＝４：８＝①：②
ＢＥ＝12×②/③＝８ｃｍ

大問２（小問集合２）

Ⅰ（１）
ア：範囲（レンジ）＝最大値－最小値
西回りの範囲は、35－25＝10
東回りの範囲は、51－20＝31
→東回りの方が値の範囲が広い。
また、西回りは平均値、中央値、最頻値がほぼ同じで正規分布に近いと思われる。〇

イ：最も多くあらわれる値→最頻値（モード）
　西回りは29分、東回りは24分×
ウ：中央値（メジアン）で判断する。西回りは28分だが、東回りは24分。×

（２）
２つの度数分布多角形が同じ形をしており、
平日の方が休日より左側にあるから。
*説明問題。
休日の波を左に移動させると平日の波とほぼ重なる。

Ⅱ（１）①
円錐の体積は、円柱の体積の１/３倍。

②
答案では理由も記述する。
ＰとＱの体積を比較すればいい。比も用いると比較が楽になる。

球の体積は４/３πｒ³。半球はこの半分。
Ｐ：Ｑ
＝４/３π×４³×１/２：１/３π×４²×８
＝１：１
→体積は等しい。
ア

（２）①
左右の半円をくっつけて１つの円にする。
カーブの部分は２πｒｍ。
これにストレート部分の２ａを足せばいい。
２πｒ＋２ａｍ

②
ストレート部分の長さは等しいので、差が出るのはカーブ。
第１レーンのカーブは前問の２πｒ。
第２レーンの半径は（ｒ＋１）ｍだから、
カーブの長さは２π（ｒ＋１）＝２πｒ＋２π

両者の差は、（２πｒ＋２π）－２πｒ
＝２πｍ

③
前問の答えから考える。
第２レーンのスタート位置は第１レーンの２πｍ前方にある。
『２π』は半径ｒの変数を含まない定数。
つまり、スタート位置は半円の長さや長方形の横の長さに関係なく決まる。
ウ
*第３レーンのスタート位置は第２レーンの２πｍ前方となる。

大問３（数量変化）

Ⅰ（１）
桜は出発した15時５分のとき、グラフから守は400ｍの地点にいる。
400ｍ

（２）２直線の交点が０≦ｙ≦600にないので、桜は守に追いつけない。
*交点で２人が会うので、交点がなければ追いつけないことになる。
直線を延長すれば交点ができる。条件としてｙの変域は指摘しておくこと！

（３）
（１）より、５分後の両者の距離は400ｍ。
ここから守は分速100ｍ、桜は分速200ｍで近づくので、１分あたり300ｍ縮まる。
400÷300＝４/３分＝１分20秒
16時５分の１分20秒後である16時６分20秒。

Ⅱ（１）
格子点を探す。
サボは（20、100）をｙ＝ａｘ²に代入しました。
100＝20²ａ
ａ＝１/４
ｙ＝１/４ｘ²

（２）
ｘ＝10のとき、ｙ＝25
ｘ＝20のとき、ｙ＝100

平均の速さ＝距離の差÷時間の差
＝（100－25）÷（20－10）
＝秒速15/２ｍ

（３）①
〔時速ｋｍ〕を×10/36倍すると〔秒速ｍ〕に変わる。
時速45ｋｍ×10/36＝秒速25/２ｍ
→10秒で125ｍ進む。

原点と（10、125）を結ぶ。
右に１進むと、上に５進む傾きとなる。

②
先ほどのグラフで交点が（50、625）だから50秒後。

③
説明問題。

750m地点⇒ｙ＝750
ｙ＝750のときのｘの値の差を求めればいい。

大問４（平面図形）

Ⅰ（１）
四角形ＡＦＣＥが平行四辺形である証明。

平行四辺形の対辺は等しいので、ＡＤ＝ＢＣ
ＥとＦはそれぞれの中点だから、ＡＥ＝ＦＣ…①
平行変形の対辺は平行なので、ＡＤ//ＢＣ
→ＡＥ//ＦＣ
１組の対辺の長さが等しく、かつ平行だから四角形ＡＦＣＥは平行四辺形。
あ…イ、い…ア、う…１組の向かい合う辺

（２）
△ＡＢＦ≡△ＣＤＥの合同条件を書く。

Ｅ、Ｆは平行四辺形の１辺の中点→ＢＦ＝ＤＥ
平行四辺形の対辺は等しい→ＡＢ＝ＣＤ
平行四辺形の対角は等しい→∠ＡＢＦ＝∠ＣＤＥ
合同条件は、”２辺とあいだの角が等しい”。

Ⅱ（１）
△ＡＢＲ∽△ＣＰＳの証明。

ＡＢ//ＤＣより、錯角から∠ＡＢＲ＝ＣＰＳ…①
解答はこれ以降を記述する。もう１つの等角を指摘できれば証明できる。

四角形ＡＦＣＥが平行四辺形であることは証明済みなので、
ＡＦ//ＥＣから同位角より、∠ＡＲＢ＝∠ＱＳＲ
対頂角で、∠ＱＳＲ＝∠ＣＳＰ
つなげると、∠ＡＲＢ＝∠ＣＳＰ
①、②より、２角が等しいから∽。

（２）
ＰＳ：ＳＢを求める。
ＰＳとＢＲはそれぞれ△ＣＰＳと△ＡＢＲの１辺なので、
先ほどの△ＡＢＲ∽△ＣＰＳを活用する。

ＤＰ＝【１】、ＰＣ＝【３】とする。
平行四辺形の対辺から、ＡＢ＝【４】
△ＡＢＲと△ＣＰＳの辺の比は、ＡＢ：ＣＰ＝４：３だから、
ＢＲ：ＰＳ＝④：③

ＲＦ//ＳＣより、△ＢＲＦ∽△ＢＳＣ。
ＢＲ：ＲＳ＝ＢＦ：ＦＣ＝１：１
ＲＳ＝④
ＰＳ：ＳＢ＝③：⑧
よって、ＰＳはＳＢの３/８倍。

（３）
いままでの相似比を手がかりにする。    

辺の比からＡＲ＝【４】、ＣＳ＝【３】
△ＢＲＦ∽△ＢＳＣより、ＲＦ＝【３】÷２＝【1.5】

△ＡＢＲ：△ＲＢＦ＝ＡＲ：ＲＦ＝【４】：【1.5】＝８：３
△ＡＢＲ＝９×８/３＝24ｃｍ²
 
△ＡＢＲ：△ＡＰＲ＝ＢＲ：ＲＰ＝④：⑦
△ＡＰＲ＝24×⑦/④＝42ｃｍ²

面積比は辺の比の２乗。
△ＡＰＲ…⑦×⑦＝㊾
△ＱＰＳ…③×③＝⑨
四角形ＡＲＳＱ…㊾－⑨＝㊵
四角形ＡＲＳＱの面積は、42×㊵/㊾＝240/７ｃｍ²

Ⅲ

△ＴＢＣで外角定理。
∠ＴＢＣ＝68－34＝34°
△ＴＢＣは２つの底角が等しく、二等辺三角形。

ＡＥ//ＢＣだから、四角形ＡＢＣＥは台形。
Ｔは台形の対角線ＡＣとＢＥの交点である。
△ＴＢＣが二等辺三角形で左右対称だから、台形全体も左右対称である。
すなわち、台形ＡＢＣＥは等脚台形。
（錯角や対頂角から△ＴＡＥも二等辺三角形で左右対称）

対称性から、∠ＡＢＴ＝∠ＥＣＴ
ＡＦ//ＥＣの同位角で、∠ＥＣＦ＝70°
∠ＥＣＴ＝70－34＝36°
∠ＡＢＴ＝36°