2023年度 山梨県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均52.8点(前年比;-2.0点)
最高点:93点、最低点:0点

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1) 94%
6-(-7)
=6+7
=13

(2) 94%
14÷(-7/2)
=14×(-2/7)
=-4

(3) 93%
-22+(-5)2
=-4+25
=21

(4) 70%
√8-3√6×√3
=2√2-9√2
-7√2

(5) 73%
9x2y×4x÷(-8xy)
=-
9/2x2

(6) 85%
x(3x+4)-3(x2+9)
=3x2+4x-3x2-27
=4x-27

大問2(小問集合)

(1) 75%
2-9x-36
=(x+3)(x-12
)=0
x=-3、12

(2) 58%

xは弧CDに対する円周角。
BDに補助線、∠CBDを求めればいい
直径に対する円周角から∠ACB=90
∠CBA=180-(90+57)=33°
弧AC=弧ADより、∠CBA=∠DBA(
x=33×2=66°

(3) 72%
反比例の比例定数はxとyの積。
4×(-5)=-20

(4) 45%(部分正答17%)

直線ℓに最も近い、円Oの円周上にある点の作図。
Oを通る直線ℓの垂線を作図し、直線ℓ側の円周との交点が答え。

(5)① 74%
四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数
130-80=50冊

② 63%
箱ひげ図を描く。

最小値20冊、最大値180冊。
15人の中央値(第2四分位数)は8番目の130冊。
第1四分位数は下位7人の真ん中、下から4番目の100冊。
第3四分位数は上位7人の真ん中、上から4番目の160冊。


大問3(方程式&確率)

(1)① 54%
イスがx個。
通路沿いの両端にイスがあり、(x-1)はイスとイスの間の個数

②記号:72%、説明:32%!(部分正答20%)
答案では説明も記述する。
0.5x+1.5(x-1)+2yにx=12、y=3.5を代入する。
0.5×12+1.5(12-1)+2×3.5
=6+16.5+7
=29.5>29
29mを超えるので、できない。

(2)① 68%
6人から2人選ぶ→62=15通り

② 58%(部分正答9%)
Aが選ばれない確率は6人中4人。
続けて、Bが選ばれない確率は残りの5人中3人。
4/6×3/5=2/5

大問4(数量変化)

(1) 60%(部分正答14%)
5分後の姉と弟の道のりの差を説明する。
x=5のときの姉(グラフ①)と弟(グラフ②)のy座標の差を求める。

(2) 60%
②の0≦x≦10は(10、800)を通る比例。
y=80x

(3)花屋:44%、ケーキ屋:49%

姉は自宅から花屋までの片道2400mを10分で移動している。
もし、花屋からとんぼ返りしたら往復で20分
実際に自宅へ到着したのは35分後だから、2つの店で合計15分間滞在していた

花屋~ケーキ屋の移動時間は、10×960/2400=4分
花屋の出発時刻は10:26の4分前である10:22。
花屋の滞在時間は、10:22-10:10=12分間
ケーキ屋の滞在時間は、15-12=3分間
花屋…12分間、ケーキ屋…3分間

(4) 15%!
中学受験の戦法を使います。

最初の10分で姉は弟の3倍の距離を移動している
速さの比は、姉:弟=3:1
距離一定の場合、時間の比は逆比で姉:弟=

ラスト5分を拾い上げる。
姉が弟に追いついた地点から自宅まで、姉はの時間、弟はの時間がかかる
=5分だから、弟の時間は5×/=15/2分
弟の速さは分速80mなので、80×15/2=600m


大問5(関数&平面図形)

(1)① 50%
y=1/4x2にそれぞれのx座標を代入。
A(-6、9)→B(4、4)
右に10、下に5だから、傾きは-5/10=-1/2
Bから右に4、上に2移動して、切片は4+2=6
y=-1/2x+6

② 5%!!(部分正答0%)

各座標をaで表すと、A(-6、36a)B(4、16a)
ABの切片をCとする。
x座標の差より、AC:CB=6:4=
Cのy座標は、16a+(36a-16a)×②/⑤=24a
(内分点の公式を知っている人は、(36a×+16a×)/()=24a)
△OABは底辺10、高さ24aの三角形だから、
10×24a÷2=20
a=1/6

(2)① 16%!(部分正答52%)
△ABD∽△BCDの証明。

∠ADB=∠BDC=90°
∠ABD()=90°-∠DBC(×
△BDCの内角で、∠BCD=180-(90+×)=90-×=
2角相等で∽。

②X:74%、Y:82%

∠ABE()+∠EBC(×)=90°
仮定より、∠EBC=∠DBE(×
直角三角形DBEの内角より、∠DEB+∠DBE(×)=90°だから、
∠DEB(∠AEB)=
△ABEは2つの角が等しい→二等辺三角形
AB=AE
X…エ、Y…カ

③ 2%!!(部分正答0%)

AB:BC=3:4から、△ABCの辺の比は3:4:5
△ABC∽△ADBより、△ADBも同様に3:4:5。
AD=3×/=9/5cm
BD=3×/=12/5cm

前問より、AE=AB=3cmだから、DE=3-9/5=6/5cm
△BEDで三平方。BD:DE=なので、BE=〇√5
BE=6/5×〇√5
6√5/5cm


大問6(空間図形)

(1) 39%(部分正答0%)
△ABCは辺の比が1:1:√2の直角二等辺三角形。
対角線AC=8√2cm

(2)① 14%!

ACで区切る。
△DAC:△QAC=DM:QM=
対称性から、△BAC:△PAC=で、
全体で合わせると、四角形APCQは正方形ABCDの1/4
 
は同じ面積。
四角形LIJKは正方形EFGHの1/2
正方形ABCDと正方形EFGHは同じ面積だから、
四角形APCQ:四角形LIJK=1/4:1/2=1:2

② 4%!!

ABの中点をNとする。
△ANMは辺の比が1:1:√2の直角二等辺→AM=4√2cm
△AINで三平方→辺の比は1:2:√5で、
AI=4√5cm
また、△AINと△MINは共通辺NI、AN=MN、∠ANI=∠MNI=90°より、
2辺とあいだの角が等しく合同
AI=MIで、△AIMは二等辺三角形。高さを三平方でだすと6√2cm。
△AIMの面積は、4√2×6√2÷2=24cm2

@別解@

三角錘I―ANMはAN:MN:NI=1:1:2、∠ANM=∠ANI=∠MNI=90°
中学受験にでてくる有名錘で、これを展開すると正方形になる
△AIMの面積は、8×8-(4×4÷2+8×4÷2×2)=24cm2

③ 0%!!!(部分正答0%)

あれこれ試行錯誤してみたのですが、そのまま断頭三角柱で求積するのが良いと思いました。
LIとKJの中点をそれぞれR、Sとする。
四角錘A―PQLI…底面積は△ARM、高さはA、IL、PQの平均。
四角錘C―PQKJ…対称性から、四角錘A―PQLIと等積。
立体PQ―LIJK…底面積は△MRS、高さはPQ、IL、JKの平均。

AM=AC÷2=8√2÷2=4√2cm
PQ=BD÷4=8√2÷4=2√2cm
四角錘A―PQLI×2+立体PQ―LIJK
=4√2×8÷2×(0+4√2+2√2)/3×2+4√2×8÷2×(2√2+4√2+4√2)/3
=128+320/3
704/3cm3


大問1
配点18点。死守
大問2
ここも基本なので取りたい。
(2)先にxを∠CBDに移してしまう。
大問3
(1)①通路をのぞいたら、イスが両端にあることを確認。
-1といえば間の数。
②数値を代入すると、29をオーバーする点を指摘する。
(2)②選ばれない人を選ぶ。
大問4
(3)時間を使い過ぎないようにしたい。
到着時刻から移動時間をさかのぼれば出発時刻がでる。
移動時間の合計から滞在時間の合計が先にでる。
(4)高校受験の王道ではないが…時間の比が速さの逆比を利用する。
大問5
(1)関数は平易だった。
(2)①直角三角形の頻出の∽。
③3:4:5をおさえる。②の利用。
大問6
(2)①このあたりから差がつく。
合同な2つの正方形の中にある四角形の面積比を比較する。
②△AIMがどのような三角形か調べる。3辺の長さを求めてみよう。
③インパクトはあるが、素直に断頭三角柱を使う。
この考えは公立高校入試の世界で見かける。難関校を狙うには知っておきたい。
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