2021年度 埼玉県公立高校入試・学校選択問題【数学】解説

平均56.0点(前年比;+0.8点)

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共通問題の解説はコチラ
出題範囲の除外は円周角と中心角、三平方の定理、標本調査、実生活で相似を活用する問題。

大問1(小問集合)

(1) 88.5%
(4x-y)/2-(2x-3y)
=(4x-y-4x+6y)/2
=5/2y

(2) 68.1%
対称式。
x+y=(3+√5)+(3-√5)=6
xy=(3+√5)(3-√5)=9-5=4

2-6x+y2-6y
=x2+y2-6(x+y)
=(x+y)2-2xy-6(x+y)
=62-2×4-6×6
=-8

@別解@
(与式)
=x(x-6)+y(y-6)
=(√5+3)(√5-3)+(3-√5)(-3-√5)
=(√5+3)(√5-3)-(3-√5)(3+√5)
=5-9-(9-5)=-4-4=-8

(3) 78.6%(一部正答0.3%)
(2x+1)2-7(2x+1)=0 ←(2x+1)をXに置き換えると、、
2-7X
=X(X-7)=0
X=0、7
2x+1=0 → x=-1/2
2x+1=7 → x=3

x=-1/2、3

(4) 93.8%
yの変域が0以下なので、上に凸のグラフ。
x=3のとき、最小値y=-36
y=ax2は(3、-36)の点を通過するから、
-36=32
a=-4
a=-4

(5) 63.2%(一部正答1.3%)
公立高校入試で有効数字はめずらしい。
整数部分が1桁だから、12700の最高位である1を1の位に置き換える。
→小数点は1と2の間にくる。
1.27×10000
最後に10の指数を調整。
1.27×104
ア…1.27、イ…4

(6) 88.2%
40人の中央値(メジアン)は20番目と21番目の平均。
→6~8時間の階級に含まれる。
14÷40=0.35
0.35

(7) 89.5%
展開図でネジレ…w( ゚Д゚)wエー
いろんな攻め方があると思う。

サボは面DHIEを底面として組み立てた。
天井は面JMNKでこの4辺と一致する辺を赤線でしるすと…
辺AB・辺CG・辺JM・辺KNすべて赤くなる。
正方形の各辺なので、辺CG・JM・KNは辺ABと交わるか平行(ネジレではない)。

辺LМについて。
LとH、MとGが一致するので、辺LMは辺GHと一致する。
展開図において、隣り合う2面からなる長方形の対角線にある点は最も遠い点
Bから最も遠い点はHである。
AとCは重なる。以上をもとに立方体をつくると、ABとGH(LМ)がネジレにある。

(8) 65.8%
方程式…ではなく、算数で解きます。

市内の生徒は、昨年:今年=100:80=【5】:【4】
市外の生徒は、昨年:今年=100:130=⑩:⑬

【5】+⑩=【4】+⑬(=500)
【1】=③
【 】を3倍すれば〇になる。

㉕=500人
今年の市内は⑫だから、500×⑫/㉕=240人

(9) 76.3%
赤が2連続…3/5×3/5=9/25
白が2連続…2/5×2/5=4/25
同色がでる確率は、9/25+4/25=13/25

(10) 13.5%!(一部正答12.8%、無答48.7%!)
説明問題。
図を利用する。各々の長さを求めて比べればいい。

公式解答から拝借(*’ω’*)♡
端っこにある扇形を集めると1つの円になる
アとイは直線部分で違いが出る。
差は、2r×7-2r×6=2rcm

大問2(作図&関数)

(1) 89.8%(一部正答5.6%)
作図。難しくない。

『直線ℓと直線mから等距離』→直線ℓ・mからなる角の二等分線。
『2点A、Bから等距離
』→ABの垂直二等分線。
これらの交点がPとなる。

(2) 49.7%(一部正答1.0%)

y=1/2x2に代入して、A(-3、9/2)B(2、2)

Cのx座標が知りたい。
A→Bは左に5、下に5/2移動ので、傾きは1/2。
B→Cは下に2さがるので、左に4移動する。
Cのx座標は、2+4=6 C(6、0)

x軸を軸として△AOCを回転させると、底面は半径9/2cmの円、
高さ9cmの円錐から高さ3cmの円錐を切り取った図形になる。
高さは差の6cmで計算する
9/2×9/2×π×6÷3=81/2πcm3

大問3(整数)

(1) 45.7%(一部正答16.4%)
4で割ると1余る自然数→4の倍数+1→4n+1
(*nは0以上の整数。n=0、1、2、3…を代入すると、値は1、5、9、13…になる)
3x+5のxに4n+1を代入。
3(4n+1)+5
=12n+8=4(3n+2)
3n+2は整数だから、4(3n+2)は4の倍数である。
したがって、3x+5のxに、4で割ると1余る自然数を代入すると、
3x+5の値は4の倍数になる。

(2) 41.8%(一部正答28.6%)
アで割ってイ余る自然数→アn+イとしてxに代入すると、
3×(アn+イ)+5
=3×アn+3×イ+5
7(〇n+△)
最終的に7の倍数になるので、7でくくれる形になるはず。
3×アnの部分が7×〇nになる。
3と7は互いに素なので、アが7でないと7の倍数にならない。

今度はnがない3×イ+5の部分を7の倍数にする
(3の倍数)+5が7の倍数
表を見ると、(3の倍数)+5が7の倍数となるのはx=3、10…
イは1桁の整数だから3。
*x=3、10、17、24…どれも7で割ると3余る数。

(3x+5)2
=9x2+30x+25
=3(3x2+10x+8)+1
↑xに何を入れても、3で割ると余りは1。
ア…7、イ…3、ウ…1

@余談@

3x+5=3(x+1)+2
(3x+5)2を図形で表すと、1辺が3(x+1)+2の正方形である。
★と☆は縦か横が3の倍数で3で割り切れるから、4÷3=1…1→余りは1。

大問4(平面図形)

(1) 61.2%

共通角で∠BAC=∠CAD、∠ABC=∠ACDより、
2角が等しく、△ABC∽△ACD
AB:AC=AC:AD=6:4=③:②
AB=6×③/②=9cm

△BCEで外角定理→∠AEC=●×
△AECの底角が●×で等しく、二等辺三角形とわかる。
AE=6cm
BE=9-6=3cm

(2) 11.8%!(一部正答64.1%)
△ADH∽△ACFの証明。

∠BACの二等分線から、∠DAH=∠CAF(×
仮定から、∠DBC=∠ACD(
△BCDで外角定理→∠ADH=
∠ACF=
∠ADH=∠ACF
2角が等しく∽。

(3) 7.6%!!(無答47.4%)

角の二等分線の定理から、AB:AC=BF:FC=3:2
△AFCの面積は△ABCの2/5。

前問の△ADH∽△ACFを利用する。
辺の比から、DH:CF=
角の二等分線の定理から、AD:AC=DH:HC=
DHがともになので、比をそのまま統一できる。
△CFHは等辺がの二等辺三角形。

二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する
HG=GF=とする。
△ADH∽△ACFの辺の比からAH:AF=2:3だから、
この比の差である1がHF=に相当するので、AH=
【△ABC→△AFC→△GFC】
18×2/5×/=6/5cm2

@別解@
共通問題でも同じものが出ているので、以下、そちらで書いた内容です。

角の二等分線より、AB:AC=BF:FC=

(1)より、△AECは二等辺三角形。
二等辺の頂角の二等分線は底辺ECを垂直に二等分する。
EG=GC
【△ABC⇒△EBC⇒△GBC⇒△GFC】
18×3/9×1/2×②/⑤=6/5cm2
*学校選択では(2)で△ADH∽△ACFの証明が課されていますが、
この誘導を無視して、△CFHではなく△AECの二等辺三角形を使ってもOKです。
むしろ、共通問題のように解いたほうがサボはやりやすかったです。

@別解2@

EG=GCより、△ABGと四角形AGBCは9cm2

AE:EB=2:1から、△AGC:△BGC=2:1
△AGC=6cm2、△BGC=3cm2

△ABG:△ACG=3:2より、BF:FC=③:②
△GFC…3×②/⑤=6/5cm2
中学受験の世界では『ベンツ切り』というそうな( ´д)ヒソ(´д`)ヒソ(д` )


大問5(数量変化)

(1) 73.4%(一部正答17.1%)
0≦x≦4において、△APQは直角二等辺三角形。
底辺APと高さAQはともにxcm。
y=x×x÷2=1/2x2
y=1/2x2

(2) 1.6%!!(一部正答5.9%、無答47.0%)
転換点に気を付けて調べていきます…(›´ω`‹ )

◆0≦x≦4のとき

△APQ…底辺xcm、高さxcm
△AQC…底辺xcm、高さ2cm
底辺がともにxcmなので、△APQ:△AQC=3:1となるには
高さが3:1になればいい。
AP=2×3=6
しかし、0≦x≦4だから条件不適合×。

◆4≦x≦5のとき

△APQ…底辺xcm、高さ4cm
△AQC…底辺QCはA~CからA~Qを引く→6-xcm、高さは4cm。
高さがともに4cmなので、△APQ:△AQC=3:1となるには、
底辺が3:1になればいい。
x=3(6-x)
x=9/2
4≦x≦5だから条件適合〇。

◆5≦x≦6のとき
△AQCはさらに減少して、x=6のときに面積が0cm2になる。
△APQはさらに増加する。条件不適合×。

◆6≦x≦11のとき

△APQ:△AQC=3:1となるとき→CQ:QB=1:3
x=4+2+5×①/④=29/4
したがって、x=9/2、29/4

(3) 2.0%!!(一部正答23.0%、無答61.5%)
台形ABCDの面積の半分は、(2+5)×4÷2÷2=7cm2

x=4のとき、△APQの面積は4×4÷2=8cm2だから、
1つ目は0≦x≦4のとき。
△APQは直角二等辺三角形なので、1/2x2=7
x=√14

その後、△APQの面積は増加し、QがCPを移動しているときに減少する
△ACD=4×2÷2=4cm2
△ACQ=7-4=3cm2
CQ:QP=△ACQ:△APQ=
x=4+2+5×/=15/12
したがって、x=
√14、15/2

大問1
(2)昨年も対称式がでてる。
(5)有効数字の不意打ちこわい:;(∩´_`∩);:でも基本。
(7)展開図のネジレ。なかなか面白い(*’ω’*)
選択問題なので、1個ずつ吟味できる。
(8)合計が変わらないことから比の統一を試みる。
(10)公式解答によれば、違いのある直線部分の差でOKらしい。
大問2
(1)作図基本(2)関数標準
大問3
(2)問題文に何ともいえない違和感を覚える
。。
とくにC。これ最後にもってくる必要あったのか?(´゚ω゚`;)
数学教師の感想を聞きたい。
大問4
(2)証明も素直であった。
(3)前問の∽を無視し、共通問題のように二等辺AECを使った方が解きやすい。
大問5
(2)手間がかかる。ここに時間をどれだけ残せたか。
(3)7cm2がわかれば、辺の比は面積比から算出できる。
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