2021年度 島根県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均24.9点(前年比;+0.8点)

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出題範囲の削減はなし。

大問1(小問集合)

(1)
4-12÷2
=4-6=-2

(2)
2+8x+12
=(x+6)(x+2)=0
x=-6、-2

(3)
連立方程式。
3x-2y=0 …①
2x+y=7 …②
①+②×2が多いかな?
これを解いてx=2、y=3

(4)
100gあたりa円⇒300gでは3a円
100gあたりb円⇒500gでは5b円
3a+5b=1685

(5)
√8-2/√2
=2√2-√2
=√2

(6)
絶対値とは、数直線上で原点0からの距離。
すべて正の数に変え、最も大きな数を選べばいい。
√3=1.7320508…(人並みにおごれや)
7/3=2.33…
0<√3<2<7/3
したがって、ウ。

(7)
反比例はxとyの積が比例定数aで一定。
a=-4×2=-8
y=-8/x

(8)

△EAFは二等辺三角形。∠EAF=(180-30
)÷2=75°
平行四辺形に対角は等しいから、∠BAD=130°
x=130-75=55°

(9)

ACとBDの交点をOとする。
外角定理より、∠BCO=90-38=52°

ここで、円周角の定理の逆を用いる。
『2点C、Dが直線ABについて同じ側にあって、∠ACB=∠ADBだから、
4点A、B、C、Dは同一円周上にある』
(∠CAD=∠CBDを指摘してもよい)

(10)
取り出し方は、3×3=9通り
50点以下となる組み合わせは、
(0、0)(0、50)(50、0)の3通り。
確率は3/9=
1/3

大問2(データの活用&整数)

(1)①【1】
昇順に並べると〔1・1・1・2・3・4・4・6・8・10〕。
10個の中央値(メジアン)は5番目と6番目の平均だから3.5点。

【2】
(1+1+1+2+3+4+4+6+8+10)÷10
=40÷10=4.0点


a以外の8個において、平均5.0点との差の合計は、
-4+(-2)+5+(-3)+1+0+(-3)+(-2)=-8
2個のaで〔平均+8〕にすれば、10個の平均が5.0点⇒1個のaは〔平均+4〕。
a=5+4=9


1班の中央値3.5点を大きくする。
3点以下の誰かを4点以上の誰かにチェンジ

平均値は1班10人が4.0点、2班10人が5.0点。
1組の合計…10×4.0=40点
2組の合計…10×5.0=50点
1組と2組の平均が等しい⇒1&2組20人全体の平均は、90÷20=4.5点
(*1組と2組は各10人で同じだから、そのまま4.0と5.0の平均をとっても良い)

1組の平均値を+0.5点にするので、1組の合計は(+0.5)×10=+5点。
交換する生徒の点数差は5点である

中央値の条件から交換すべき1班の生徒は1点・2点・3点のいずれか。
1点→6点
2点→7点
3点→8点
2班には7点と8点がいない
ということは、1班の1点、2班の6点をチェンジした。
x=1、y=6

(2)①
3ずつ増えていくので、ア…n+3 イ…n+12

ウ…
n+(n+3)+(n+6)+(n+9)+(n+12)
=5n+30=5(n+6)
3列目の数n+6の5倍である。


まず、20行目1列目の数を調べる。
1列目【1、16、31、45…】
初項1、公差15の等差数列。
20行目1列目は、1+15×(20-1)=286
前問の式に代入。
5×(286+6)=
1460


大問3(数量変化)

(1)
「基本支給額」が切片、「部員数によって決まる支給額」が傾き。
図1より、切片は2000。
傾きは(3000-2000)÷10=100
ア…2000、イ…100

(2)
A中の一次関数の式は、y=100x+2000
x=50を代入。
100×50+2000=7000円

(3)①②
先に②のグラフから。

x≧20のとき、傾きは50。
⇒10人で500円増加、20人で1000円増加。
(20、5000)から右2マス、上1マスの傾きで直線をひく。

切片はこの直線をy軸方向へ延長すると(0、4000)に交わる。
①y=50x+4000

(4)①

先ほどのグラフにAを記入。
活動費が等しい⇒yの値が等しい、部員数が等しい⇒xの値が等しい
グラフの交点のx座標が答え。
10人と40人



y座標が同じとき、x座標の差が20になるところを探す。
上に延長すると、差が横2マス分はy=8000のとき。
8000円

大問4(関数)

(1)①
x=0のとき、最小値y=0
x=4のとき、最大値y=8
0≦y≦8


ABの傾きを調べる。
A(-2、2)⇒B(4、8)
右に6、上に6だから傾きは1。
切片にあたるCのy座標はAから右に2上に2だから、2+2=4



△OABを等積変形。
6×4÷2=12

(2)①

等積変形。AO//BPで△OABと△OAPが等積となる。
すなわち、Bを通るAOに平行な線をひき、mとの交点がP
AOの傾きが-1なので、うえのような直角二等辺三角形の相似を描くと見えやすい。
右の大きい直角二等辺の等辺は、AとBのy座標の差で6。
Pのx座標は、4+6=10
mはy=2の直線だから、Pのy座標は2。
P(10、2)



四角形OABPは台形。
上底と下底の比の大きさが等しくなれば、台形は二等分される
先ほどの直角二等辺の相似を手がかりに、AO=②、BP=⑥とする。
上底と下底の和が⑧だから、④ずつに分ければいい

△ABQはBQ=④
四角形OAQPは上底②+下底②=④(平行四辺形である)

BQ:QP=④:②=2:1
最後にBPを2:1に内分するQの座標を求める。
Q(8、4)


大問5(平面図形)

(1)
三平方の定理。
公式が与えられているのは、
コロナによる授業の遅れに配慮したからか。
2=32+12=10
c>0で、c=√10

(2)
三平方の定理が成り立つものを探す。
2+42=52

*3:4:5で普通に選べる。

(3)

Fを通るDEにひいた垂線。基本。

(4)①
△ACH∽△CBHの証明。頻出である。

∠AHC=∠CHB=90°
△ACHの内角で、∠CAH()+∠ACH(×)=180-90=90°
∠BCH=90-×
2角が等しく∽。


誘導に従う。

Q(△ACH)+R(△CBH)=P(△ABC) …(Ⅰ)

P:Qの相似比はAB:AC=c:b。
面積比は相似比の2乗だから、P:Q=c2:b2
比例式。内項と外項の積から、Q×c2=P×b2
Q=b2/c2×P …(Ⅱ)

PとRも同様。
相似比はP:R=AB:CB=c:a
面積比はP:R=c2:a2
内項と外項の積から、R×c2=P×a2
R=a2/c2×P …(Ⅲ)
ア…c2、イ…b2、ウ…b2/c2、エ…c、オ…a、カ…a2/c2

@@
解答はこれで終わりだが、続きを検証する。
Q+R=P …(Ⅰ)
Q=b2/c2×P …(Ⅱ)
R=a2/c2×P …(Ⅲ)

Ⅱ、ⅢをⅠに代入。

途中で分配法則を適用。
1×P=Pで等式が成り立つから、赤線のカッコ内が1。

両辺にc2をかけるとa2+b2=c2となり、三平方の定理が導けた。


全体的に基本~標準で占められる。
大問1
(4)牛肉300gと豚肉500gの値段を文字式になおす。
(9)円周角の定理の逆は証明問題でもでてくる。
言い回しを覚えておきたい。
大問2
(1)②仮の平均の考えを用いる。
a以外が-8だから、a2個で+8すれば平均5.0点。
③正答率は低いと思う。
中央値の条件から、1班は1~3点の生徒が交換される。
10人ずつの平均が等しい=20人全体の平均が4.5点。
1班の合計点を+5点する→交換する2人の生徒の得点差が5点。
3パターンのうち2班に7・8点がいないから、1点と6点の交換で決まる。
(2)整数の標準問題。
大問3
活用の問題だが、内容はつかみやすい設定。
(3)①(20、5000)を通る傾き50の直線の式。
計算でも求められるが、グラフを延長するとすぐにでる。
(4)②yが等しく、xの差が20。これがわかればすぐに求まる。
大問4
(1)オール基本。
(2)②上底と下底の比で扱うと、処理がスッキリすると思う。
大問5
(4)①ここまでオール基本。
証明も他県で頻出のオーソドックスなタイプであった。
②変わった方法で三平方の定理を導く問題。
内容は面積比と比例式ですべて解ける。
最後の式変形は出題されなかった。
受験生に対する配慮だと思われるが、余力のある人は考えてみて下さい。
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