2022年度 海陽中等教育学校・特別給費過去問【算数】大問4解説

4つの整数A、B、C、Dを以下のように①、②、③の順番にそれぞれの基準で分類して
1つずつに分けることを考えます。

(1)
A=42、B=111、C=141、D=142であるとき、
①、②、③に入る基準を次の(ア)~(オ)からそれぞれ選び、記号で答えなさい。
(ア)各位の数の和が6である。
(イ)各位の数の積が8である。
(ウ)奇数である。
(エ)3桁の整数である。
(オ)素数(1とその数自身しか約数をもたない数)である。

(2)
A=14、B=18、C=42、D=84であるとき、
①、②、③に入る基準を次の(ア)~(エ)から選ぶと、選び方は二組あります。
その二組の①、②、③に入る基準を記号で答えなさい。二組を答える順序は問いません。
(ア)2の倍数である。
(イ)6の倍数である。
(ウ)7の倍数である。
(エ)12の倍数である。

(3)
①、②、③に入る基準を次の(ア)~(エ)から選ぶことで、
A=492、B=585、C=440、Dの4つの数を4つに分類できました。
このような基準の選び方は三組ありますが、
それぞれの選び方の組とDとして考えられる整数のうち、
小さい方から2番目の数を答えなさい。三組を答える順序は問いません。
(ア)2の倍数である。
(イ)6の倍数である。
(ウ)7の倍数である。
(エ)12の倍数である。


@解説@
(1)
整数の分類。
先に各々の数の性質を調べておく。
A:アイ
B:  ウエ
C:ア ウエ
D: イ エ

①でどれか1つを除外しなくてはならない。
Aだけエがない(A以外はすべてエがある)ので、①にエを入れてAを除外。
残りのB~DでDだけウがない。②にウを入れてDを除外。
残りのB・Cはアの有無で判別する。
①エ②ウ③ア

(2)
A:ア ウ
B:アイ
C:アイウ
D:アイウエ
すべてにアがあるので、アでは分類できない。
3つあるのはイかウ⇒①に入るのはイかウ

①にイを入れるとAが除外。
残りのB~Dで2つあるウが②に入り、Bが除外。
残りのC・Dはエで判別。

①にウを入れてBが除外。②にイを入れてAを除外。③はエの有無で判別。
答えは
①イ②ウ③エ、①ウ②イ③エ

(3)
A:アイ エ
B:
C:ア
D:????

A~Dのうち①で1つ除外するには、3つに同じ記号がいる
最も多い共通点はAとCのア⇒Dは必ずアを含む
すなわち、①にアを入れ、アを含まないBが初めに除外されることが確定

残るA・C・Dで、A・Cはいずれもウがない。
②にウを入れると、「いいえ」で2つ除外されてしまう。
②に入るのはイかエ
②で場合分けをすると、以下の通り3組できる。

◆②イ
Dはイを含むとする。

②にイを入れてCを除外。
残りA・Dを③でエの有無で判別する。
Dはエを含まないとすると、
A「はい」D「いいえ」と分類される。
D:アイ⇒2の倍数であり、6の倍数である⇒6の倍数
2番目に小さい数は12と答えたくなるが、Dはエ(12の倍数)を含まない
つまり、該当する整数は12の倍数ではない6の倍数なのでD=18となる。
【①ア②イ③エD=18】
*Dの性質を含まない選択肢も考慮すること。

◆②イ2

今度はDにウを含ませると、③でウの有無でも判別できる。A「いいえ」D「はい」
D:アイウ⇒2の倍数and6の倍数and7の倍数⇒42の倍数
〔42・84・126…〕
Dはエを含まないとすると、12の倍数でなくなるから2番
目に小さい数は126となるが、
エを含ませると84でこれが2番目の最小である。
D:アイウエで2番目の数は84。
【①ア②イ③ウD=84】

◆②エ
Dはエを含むとする。

②にエを入れてCを除外。
③はイorウの2通りができそうだが、12の倍数(エ)であれば必然的に6の倍数(イ)である
すなわち、②エを入れてD「はい」の時点で、D:アイエが確定。
③でAとDの判別はウの有無しかない。A「いいえ」D「はい」
D:アイウエ⇒2の倍数and6の倍数and7の倍数and12の倍数
⇒7の倍数and12の倍数だから、84×2=168

【①ア②エ③ウD=168】
まとめると、【①ア②イ③エD=18】【①ア②イ③ウD=84】【①ア②エ③ウD=168】
条件の適否が油断できない(;`ω´)
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