2023年度　京都府公立高校入試問題過去問・中期【数学】解説

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大問１（小問集合）

（１）
－６²＋４÷（－２/３）
＝－36－６
＝－42

（２）
４ａｂ²÷６ａ²ｂ×３ａｂ
＝２ｂ²

（３）
√48－３√２×√24
＝√48－３√48
＝－２√48
＝－８√３

（４）
４ｘ＋３ｙ＝－７　…①
３ｘ＋４ｙ＝－14　…②

①＋②をすると、７ｘ＋７ｙ＝－21　←÷７
ｘ＋ｙ＝－３　…③
①－②で、ｘ－ｙ＝７　…④
③と④を連立で解くと、ｘ＝２、ｙ＝－５

（５）
ｘｙ＝（√５＋３）（√５－３）＝（√５）²－３²＝－４
ｙ－ｘ＝（√５－３）－（√５＋３）＝－６

ｘｙ²－ｘ²ｙ
＝ｘｙ（ｙ－ｘ）
＝－４×（－６）
＝24

（６）
ｙ＝16/ｘ
→ｘｙ＝16
16の約数は５個。
反比例は双曲線、ｘは負の数を含むから10個。
*原点Ｏは通らない。

（７）

同色の部分が平行。
四角形ＤＢＣＧと四角形ＦＢＣＥは２組の対辺が平行だから平行四辺形。
ＢＣ＝ＤＧ＝ＦＥ＝10ｃｍ
△ＡＦＧ∽△ＡＢＣの相似比は②：⑤なので、ＦＧ＝10×②/⑤＝４ｃｍ
ＤＥ＝10＋10－４＝16ｃｍ

＠別解＠

ＤＢとＥＣを延長した交点をＨとする。
平行四辺形ＦＢＣＥの対辺で、ＥＣ＝③
平行四辺形ＡＢＨＣの対辺で、ＣＨ＝⑤
△ＢＨＣ∽△ＤＨＥより、ＤＥ＝10×⑧/⑤＝16ｃｍ

（８）
３年生の箱ひげ図を描く。
データを昇順にすると、【24、28、28、31、33、35、39、40】

最小値は24回、最大値は31回。
８人の中央値（第２四分位数）は４番目と５番目の平均で32回。
第１四分位数は下位４つのうち、下から２番目と３番目の平均で28回。
第３四分位数は上位４つのうち、上から２番目と３番目の平均で37回。

大問２（空間図形）

（１）
円柱＋円錐
＝５×５×π×３＋４×４×π×３÷３
＝91πｃｍ³

（２）

円錐を抜かした円柱だけの表面積は、
５×５×π×２＋５×２×π×３＝80πｃｍ²
円錐をくっつけると赤い部分（半径４ｃｍの円）が減り、青い部分（円錐の側面積）が増加する。
円錐の母線は３：４：５の直角三角形から５ｃｍ。
円錐の側面積は【母線×半径×π】で計算する。
80π－４×４×π＋５×４×π＝84πｃｍ²

大問３（確率）

（１）
全体の取り出し方は、３×３＝９通り
Ｘ＞Ｙとなる組み合わせを調べる。
Ｘ＝９のときは２通り、Ｘ＝12のときは３通りで計５通り。
確率は５/９。

（２）

Ｙの１枚がわからない状態でＸ＞Ｙとなる組み合わせは、
（Ｘ、Ｙ）＝（４、３）（９、３～６）（12、３～11）の６通り。
２枚の取り出し方は４×４＝16通りだから、
Ｘ＞Ｙとなる組み合わせが、16÷２＝８通りあればいい。
あと２通り必要なので、Ｘ＝９、12の？は〇でなければならない。
（Ｘ＝４の？は×）
Ｙの残りの１枚は４～９のあいだであるイ・ウ・エ。

大問４（数量変化）

（１）

ｘ＝１のとき、ＰとＱは毎秒１ｃｍだから、ＡＰ＝ＤＱ＝１ｃｍ
ｙ＝１×１÷２＝１/２

０≦ｘ≦６では、△ＡＱＰの底辺ＡＰ、高さＤＱがともに伸びるので、
△ＡＱＰの面積はｙ＝ａｘ²で増加する。
６≦ｘ≦12では面積が変わらない。12≦ｘ≦18では高さＤＱの減少で面積は一次関数で減少。
ｘ＝18でｙ＝０となる。
ｙ＝１/２、ウ

（２）

△ＲＱＤの面積の変化を追う。
０≦ｘ≦６、底辺ＤＱが増加するので面積は比例で増加。ｘ＝６のとき、ｙ＝６×３÷２＝９
６≦ｘ≦12、底辺ＲＤは一定で高さが減少→面積は一次関数で減少。ｘ＝12のとき、ｙ＝０
12≦ｘ≦18、高さが増加→面積は一次関数で増加。ｘ＝18のとき、ｙ＝９

グラフに載せる。
（交点★のｘ座標が答えだが、ｙ座標がズレてしまった…）

前問で放物線はｘ＝１のときｙ＝１/２だった→ｙ＝１/２ｘ²
（６、９）を通る比例→ｙ＝３/２ｘ
１/２ｘ²＝３/２ｘ
ｘ²＝３ｘ
ｘ²－３ｘ
＝ｘ（ｘ－３）＝０
０＜ｘ≦18だから、ｘ＝３

後半は紫の三角形で相似を使う。
相似比は２：１で、ｘ座標の差の６が③にあたるから、
交点のｘ座標は、12＋６×②/③＝16
ｘ＝３、16

大問５（平面図形）

（１）

半円の弧に対する円周角から、∠ＢＡＥ＝90°
△ＡＢＥは１：２：√３の直角三角形→直径ＢＥ＝８ｃｍ

（２）

半円の弧に対する円周角より、∠ＡＤＣ＝90°
△ＡＣＤは直角二等辺三角形で、∠ＣＡＤ＝45°

半径ＯＡ＝ＯＢから△ＡＢＯは二等辺→∠ＢＡＯ＝30°
△ＢＦＡに着目すると、残りの角である∠ＢＦＡ＝180－（30＋30＋45）＝75°
∠ＢＡＦ＝∠ＢＦＡより、△ＢＦＡは底角が等しいから二等辺三角形。
ＢＡ＝ＢＦ＝４√３ｃｍ
ＥＦ＝ＢＥ－ＢＦ＝８－４√３ｃｍ

（３）

△ＯＢＧは半径ＢＯ＝４ｃｍ、∠ＢＯＧ＝30＋30＝60°
弧ＡＤの円周角から、∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝45°なので、
∠ＯＢＧ＝45－30＝15°…
直接、面積を出そうとしても求めづらい(*_*)

ＡＥ＝４ｃｍから△ＥＡＦと△ＯＢＧの関係性に着目すると、
ＡＥ＝ＢＯ＝４ｃｍ、弧ＤＥの円周角より∠ＥＡＦ＝∠ＯＢＧ、
∠ＡＥＦ＝∠ＢＯＧ＝60°から、１辺両端角相等で△ＥＡＦ≡△ＯＢＧ
△ＥＡＦの面積を求めればいい。

前問でＥＦを出しているので、高さがわかればいい。
対頂角で∠ＡＯＥ＝60°
残りの角も60°なので、△ＥＡＯは１辺４ｃｍの正三角形。
三平方より高さは２√３ｃｍ。
△ＥＡＦ（△ＯＢＧ）の面積は、（８－４√３）×２√３÷２＝８√３－12ｃｍ²

大問６（規則）

（１）
タイルＡは平方数で増えていく。
５番目は、５×５＝25枚

（２）

タイルＢは格子状に並ぶので、格子で捉える。
１番目は１枚の縦横が２本ずつ、１×（２×２）＝４枚
２番目は２枚の縦横が３本ずつ、２×（３×２）＝12枚
３番目は３枚の縦横が４本ずつ、３×（４×２）＝24枚
12番目は12本の縦横が13本ずつ、12×（13×２）＝312枚

（３）
ｎ番目のタイルＡはｎ²枚。
タイルＢはｎ×（ｎ＋１）×２＝２ｎ²＋２ｎ枚

（２ｎ²＋２ｎ）－ｎ²
＝ｎ²＋２ｎ＝360
ｎ²＋２ｎ－360
（－360だから＋と－の組み合わせ。和が２と少ない。
360の約数のうち、積が360で差が最も少ない２数を探す）
＝（ｎ＋20）（ｎ－18）＝０
ｎ＞０だから、ｎ＝18