2020年度 栃木県公立高校入試問題【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
(-18)÷2=-9

(2)
4(x+y)-3(2x-y)
=4x+4y-6x+3y
=-2x+7y

(3)
1/6a2×(-4ab2
=-2/3a32

(4)
5√6×√3
=5√18=15√2

(5)
(x+8)(x-8)
=x2-64

(6)
解が7→x=7を代入。
2×7-a=-7+5
a=16

(7)
割り算の式で整理するとわかりやすい。
100÷6=x…y
6x+y=100
*公式解答は100-6x=yだが同じ。

(8)

直径に対する円周角は直角→∠ACB=90°
半径より△ACOは二等辺→∠ACO=39°
∠x=90-39=51°

(9)
2-9x
=x(x-9)=0
x=0、9

(10)
14個の玉から、赤と青の12個の玉を取り出せばいい。
12/14=6/7

(11)
半径3cm、高さ6cmの円柱。
3×3×π×6=54πcm3

(12)
対応する辺を取り違えないように|д・)

錯角で等しい角に印をしてみよう。
4とx、5と2が対応する。
x=4×2/5=8/5cm

(13)
右下なので、傾きaは負。
切片bはy軸との交点→正。

(14)
100個の中に2個の不良品。
この割合は母集団でも同じだとみなす。
4500×2/100=90個

大問2(小問集合2)

(1)
Aを回転の中心として、Cを『時計回りに25°』回転させる。

使うのは∠A=50°のみ。
①角の二等分線で25°を作成。
②AからCの距離をとり、これを①の線上に移す。
その交点が点Pとなる。

(2)
bはaの6日後。
①…6

cはaの12日後。
②…12

2-ac
=(a+6)2-a(a+12)
=a2+12a+36-a2-12a
=36
結果が変数aを含まない、定数項36。
よって、つねに36となる。
③…36

(3)
各々のy座標を調べる。

AB=a+4
CD=16a+1
7(a+4)=16a+1
a=3

大問3(方程式&標本調査)

(1)
途中式も記述する。
昨年のA中をx人、B中をy人とする。
1文目から、x+y=1225…①
2文目から昨年度からの増減の和で、
合計の変化を等式であらわす。
Aの4%-Bの2%=4人
0.04x-0.02y=4…②
これを100倍して、4x-2y=400
さらに÷2して、2x-y=200…③
①+③
 x+y=1225
+)2x-y=200
 3x  =1425
x=475
①に代入。y=1225-475=750
A中…475人、B中…750人
正確な処理能力が問われる。

(2)①
誤差の範囲。
小数第2位以下が切り捨てられている。
四捨五入を思い出そう!ポイントは”最後が5”。
28.65以上28.75未満
→28.65≦a<28.75


最頻値(モード)は、最もあらわれている値。
解答する際は階級値で答える。
すなわち、30と35の平均である32.5℃。


表2より、最大値は34℃以上36℃未満の範囲にある。

表1と合わせると、重なるところは35℃以上36℃未満。
最大値はかかる範囲に含まれる。

@公式解答より引用@
表1において35.0℃以上40.0℃未満の日が1日あり、
表2において36.0℃以上の日がないから。

大問4(図形)

(1)
△ADF≡△BFEの証明。

等辺をきっちりおさえよう!
平行四辺形の対辺と仮定から、AD=BF(×
×より、AF=BE
同位角より、∠DAF=∠FBE
以上から、2辺とあいだの角が等しく合同。

(2)①
1辺2cmの正三角形の面積。
半分にわって1:2:√3より、高さは√3cm。
2×√3÷2=√3cm2


切断面を求積する。
取っ掛かりをつかむために、ひとまず辺の長さを調査する。

三平方を器用に使う。
GHの長さは、うえのように△GHIで三平方を適用する。

AG=√8の形にすると、あることが見えてくる…|д・)
(√8)2+(√5)2=(√13)2←!
三平方が成り立つということは、△AGHは∠AGH=90°とする直角三角形
√5×√8÷2=√10cm2

大問5(数量変化)

(1)
水泳300mにおいて、時間の比は、
明:拓也=4:6=2:3
速さは時間の逆比
明:拓也=3:2
よって、明の速さは拓也の3/2倍。

(2)
明の自転車は12分で6000mを完走する。
6000÷12=分速500m
拓也がA地点に着いた6分後に、明はすでに2分間自転車で走っている。
500×2=1000m

(3)
記述式。
明は長距離走を10分間で2100m走る。
傾きは、2100÷10=210
y=ax+bにおいて、a=210、(16、6300)を通る直線の式を求める。
6300=210×16+b
b=2940
y=210x+2940

(4)
グラフに書き込みながら整理しよう(*´ェ`*)

明より3分遅れたので、拓也は29分にゴールする。
その10分前にB地点を通過。
パンクした2700m~B地点までの3600mを分速600mで走るので、
3600÷600=6分間走ったことになる。
つまり、パンクから復帰したのはスタートから13分後。

今度はA地点から攻める。
パンク前の拓也の自転車は明と同じ速度→(2)より分速500m
(2700-300)÷500=4.8分
パンクしたのはスタートから、4.8+6=10.8分後
よって、パンク修理にかかった時間は、13-10.8=2.2分=2分12秒

大問6(規則)

(1)
『白→灰→黒→…』で1ループ。
4個目の灰色がでてくるのは3ループ+2。
3×3+2=11番目

(2)
20÷3=6…2
6ループ+2
余り2は〔白・灰〕で、黒を含まず。
よって、黒は6個。

(3)
記述式。
半径=nとして、最も外側の輪の面積をnで表す。
〔半径nの円の面積〕-〔半径n-1の円の面積〕
πn2-π(n-1)2
=π{n2-(n-1)2
=π(2n-1)=77π

2n-1=77
n=39

(4)①
難しいっすな(‘Д’)y-00

半径aで5等分された外側のピースの周と、
半径bで9等分された外側のピースの周が等しくなった。
前問と同じように周りの長さを計算する。
中心角は72°:40°=9:5(等分:等分の逆比)
弧の長さは中心角に比例するので、中心角の計算は⑨:⑤で算出。
また、直線部分の2はどちらも同じなので、あらかじめ両者から差し引いておく。
{2πa+2π(a-1)}×⑨
=(4πa-2π)×⑨
=36πa-18π

{2πb+2π(b-1)}×⑤
=(4πb-2π)×⑤
=20πb-10π

36πa-18π=20πb-10π ←π消去
36a-18=20b-10
20b=36a-8
b=(9a-2)/5


前問の答えを利用する。
b=(9a-2)/5 ←両辺を5倍。
5b=9a-2

5等分されたピースと9等分されたピースの周の長さが等しくなるとき、
9等分されたピースの方が中心角が小さいので、半径を長くとらなければならない。
すなわち、b>a
同じ色は3の倍数個先なので、aから3の倍数個足せばbとなる
bの値を最小にするから、aに3・6・9・12…を足して順に確かめる。
◆b=a+3のとき
5(a+3)=9a-2
4a=17
a=17/4 …aは自然数なので×

◆b=a+6のとき
5(a+6)=9a-2
4a=32
a=8 …〇
よって、a=8
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