2018年度 神奈川県公立高校入試・追検査【数学】解説

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採点上の注意によると、問7(ア)以外に中間点がない。

大問1(計算)

(ア)
-13+2=-11 【2】

(イ)
3/8-3/5=-9/40 【2】

(ウ)
30a22÷(-6ab)=-5ab 【1】

(エ)
-25/√5+√20
=-5√5+2√5=ー3√5 【4】

(オ)
-(x-2)2+(x-8)(x+3)
=-x2+4x-4+x2-5x-24
=-x-28 【3】

大問2(小問集合)

(ア)
(x-3)2+5(x-3)-36 ←(x-3)をXに置き換えると…
=X2+5X-36
=(X+9)(X-4) ←Xを(x-3)に戻す
=(x-3+9)(x-3-4)
=(x+6)(x-7) 【3】

(イ)
5x2-8x+1=0
因数分解はできないので解の公式。
xの係数が偶数なので、b=2b’verが使える。
x=4±√11/5 【1】

(ウ)
y=ax2において、
x=-4のとき、y=16a
x=-1のとき、y=a
変化の割合=(yの増加量/xの増加量)
(16a-a)/{-4-(-1)}=-5a
一方、比例であるy=-3xの変化の割合は傾きの-3だから、
-5a=-3
a=3/5 【4】

@別解@
y=ax2において、xの値がp→qのときの変化の割合はa(p+q)
(-4-1)a=-3
a=3/5

(エ)
中学受験のやり方だ
が(^^;

原価を【100】とおくと、50%増しの定価は【150】となる。
売価は、【150】×8/10=【120】
原価との差である【20】が120円に相当する。
原価は、120×100/20=600円 【4】

(オ)
50Lから5aの水を抜き、それが20L以上。
50-5a≧20 【1】

(カ)
苦手な人が多そう。。

√(720/n)を√720/√nに変換。
分子の√720をa√bの形に変えたとき、
nの値がbであれば、√bと√nが約分して全体が整数値になる
言い換えれば、√720をa√bに変換できる場合の数を求める

720=24×32×5
aは根号計算で平方数になるので、2×2、3×3、2×2×2×2、
2×2×3×3、2×2×2×2×3×3のどれか。
√720=2√180=3√80=4√45=6√20
=12√5
n=720、180、80、45、20、5の6個。 【2】
*a=1であれば、n=720も整数になることに注意!

大問3(小問集合2)

(ア)
求めにくい:(っ`ω´c):

オーソドックスな手法で延長してみる。
BGとADの交点をJとする。
△BCG∽△JDGより、DJ=6×1/3=2cm
また、△AHJ∽△EHBより、AH:EH=AJ:EB=⑧:③

つづいて、△ABI∽△FGI
AI:FI=AB:FG=4:2=2:1
△AKI∽△ADFより、KI=3×2/3=2cm

あとは、△ABJ-△AIJ-△ABHをすれば△AHIがでる
△ABHは、△ABEの面積から×⑧/⑪倍すればいい。
8×4÷2-8×2÷2-4×3÷2×8/11
=8-48/11=40/11cm2

ちなみに、連比で泥臭くやると、
BH:HI:IG:GJ=12:10:11:11になる。

(イ)
Gが2枚あるので、1、G2と区別してみよう
A~G2の8枚から2枚選ぶ組み合わせは、82=28通り

隣り合うパターンは過不足なく調べる必要がある。
(AB)(AF)(AG)(BC)(CD)(CG)(DE)(EF)(EG)。
このうち、Gを含む組み合わせは、G1とG2で2つずつある
全部で12通り。
12/28=3/7


大問4(関数)

(ア)
y=3x+6の切片Aの座標は(0、6)
B座標は(3、6)となり、これをy=ax2に放り込む。
6=32
a=2/3 【4】

(イ)ⅰ
Cはy=3x+6とx軸との交点。
0=3x+6
x=-2 →C(-2、0)

CO:OE=4:9から、E(9/2、0)
また、y=3x+6より、D(-3、-3)

D(-3、-3)とE(9/2、0)を通過する直線の式を求める。
D→Eは、右に3+9/2=15/2、上に3なので、
傾きm=3÷15/2=2/5 【3】


E(9/2、0)を、y=2/5x+nに代入。
0=2/5×9/2+n
n=-9/5 【5】

(ウ)
出だしを誤ると迷子になる(^^;
ズバリ、等積変形を用いる。

Bを通る、FEに平行な線をひき、x軸との交点をGとする
等積変形により、△FEB=△FEG
△FOE=△FEGでこれらは高さが等しいので、底辺がOE=EGとなる。
→Gのx座標は、9/2×2=9

B(3、6)→G(9、0)
右に6、下に6で、BGの傾きは-1。
同様に、FEの傾きも-1。

E座標からFEの式を求める。
0=9/2×(-1)+b
b=9/2
FE;y=-x+9/2

FはFEとACの交点なので、
-x+9/2=3x+6
x=-3/8

大問5(規則)

(ア)
全体の枚数と黒の枚数が求めやすいので、そちらを先に決めておく。

全体の枚数は、うえのように左右対称に分ける。
n=3であれば、1~3の和である6枚が左右合わせて12枚。
黒の枚数は、(3-1)×2=4枚。
白は、12-4=8枚となる。

n=6であれば、全体が(1~6の和)×2=42枚
黒は、(6-1)×2=10枚
白は、42-10=32枚
よって、白と黒の差は32-10=22枚 【2】

(イ)
全体は、1~nの総和×2枚。
1/2n(n+1)×2=n2+n枚
黒は、(n-1)×2=2n-2枚
白は、n2+n-(2n-2)=n2-n+2枚
白と黒の差が464枚なので、
2-n+2-(2n-2)
=n2-3n+4=464

2-3n-460
=(n+20)(n-23)=0
n>0より、n=23

@別解@
解法としては上のやり方で申し分ないのですが、
他の切り口がないか調べてみました。

左右で白黒の差が464枚なので、片方で白黒の差が232枚になればいい
白黒の差(片方のみ)に注目すると、
n=3 2枚
n=4 4枚
n=5 7枚…

差に注目すると、+2、+3、+4と増えている。
わかりやすいように、n=2を前につけて考えてみよう。
n=2のとき→1枚

白黒の差:【1、2、4、7、11、16、22、29、37……232】
差の差は+1、+2、+3…。
1と232の差は231で、232とその手前の数との差をKとすると、
1~K番目までの総和が231にあたる。
1/2K(K+1)=231
2+K-462
=(K+22)(K-21)=0
K>0より、K=21

Kは232とその手前との数字の差。
+1、+2、+3…+20、+21(=K)
Kは1~232までのあいだの数の個数なので、232は白黒の差の数列の22番目。
最初の1はn=2だったので、22番目にあたる232はn=23。
素直に文字式で攻略した方がやりやすいね(;`ω´)


大問6(空間図形)

(ア)
立体図が与えられていない・・・。
底面積はすぐわかるので、正四角錘の高さが知りたいところ。

底面の正方形の対角線の交点をOとする。
EOが正四角錘の高さにあたる。
△ABDで三平方→BD=4√2cm
BO=4√2÷2=2√2cm
△EBOで三平方→EO=2√7cm

正四角錘の体積は、4×4×2√7÷3=32√7/3cm3 【1】

(イ)
BGを斜辺とする直角三角形に狙いをしぼる。

Gから垂線をひくとBDと交わり、そこをPとする。
△EOD∽△GPDから、辺の比はED:GD=2:1
GP=2√7÷2=√7cm
PD=2√2÷2=√2cm
BP=4√2-√2=3√2cm
最後に、△GBPで三平方→BG=5cm 【2】

(ウ)
面FBCGで作図。

四角形FBCGは等脚台形になる。
左右対称ゆえ、GH=1cm
CFの長さは、前問で求めたBGと同じで5cm。
△CFHで三平方→3:4:5より、CH=4cm
△CFGの面積は、2×4÷2=4cm2

大問7(平面図形)

(ア)
△BFG∽△DCEの部分証明。

1つは、対頂角+円周角()。
もう1つは、∠ACE=∠ECD=●として、円周角で∠ABD=●●、
△BDFは二等辺。この外角が●●だから、∠BFG=●となる()。
空欄は外角定理の説明と、それを使って⑧(∠BFD=1/2∠ABD)に続く内容を書く。

以下、公式解答より。
(ⅰ)三角形の外角は、それととなり合わない2つの内角の和に等しい
(ⅱ)∠ABD=∠BDF+∠BFD

(イ)

∠ACBは直径に対する円周角で90°
=(90-22)÷2=34°

△BDFの内角より、∠GBF=180-34×2-66=46°
対頂角で、∠CBH=46°
△CBHで外角定理→∠AHC=34+22+46=102°

@別解@

△BDGで外角定理→∠BGF=66+34=100°
前問の相似より、∠CED=100°

∠AEH=180-100=80°
弧DBに対する円周角より、∠EAH=∠DCB=22°
△AEHで外角定理→∠AHC=22+88=
102°
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