2021年度 広島県公立高校入試過去問【数学】解説

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出題範囲の縮小はなし。

大問1(小問集合)

(1)
6-5-(-2)
=6-5+2
=3

(2)
6a2÷3a
=2a ←ここで代入
=2×4=8

(3)
√2×√6+9/√3
=2√3+3√3
=5√3

(4)
2+5x-6
=(x+6)(x-1)
x=-6、1

(5)
回転体は底辺の半径が3cm、高さ5cmの円錐。
3×3×π×5÷3=15πcm3

(6)

直角三角形を描く。
AB=√(52+22)=√2
9

(7)

2021年度秋田県大問2(1)②より。
a>0は下に、a<0は上に凸のグラフ。
aの絶対値が大きくなるほどグラフは細くなる
①…イ、②…ア、③…ウ

(8)
全体…4×3=12通り
和が6以上となる組み合わせは、(3、3)(4、2
)(4、3)の3通り。
確率は3/12=1/4。

大問2(小問集合2)

(1)
4<√a<13/3
ルートが邪魔なので、すべて2乗する。
16<a<169/9=18・7/9
整数a=17、18

(2)
丁寧な処理が求められる:;(∩´_`∩);:

AC=3cm→PC=3-xcm
上2つの正方形の面積は、
2+(6-x)2
=x2+36-12x+x2
=2x2-12x+36 …①

下2つの正方形の面積の2倍は、
{(3-x)2+32}×2
=(9-6x+x2+9)×2
=2x2-12x+36 …②
①=②より、題意は示された。

(3)

Aが出発してから10分後の両者の位置を求める。
A;40×10+280=680m
B;160×2=320m
→BがAに追いつくのは、Aが坂道を歩いているとき。

このときの両者の差は、680-320=360m
1分あたり、160-40=120mずつ差が縮まるので、
360÷120=3分後
Bが出発してから5分後だから、駅から160×5=800m


大問3(平面図形)


BD//EF→△BDG∽△FEG
面積比は辺の比の2乗だから、△BDG:△FEG=㉕:④

△BEG:△EFG=BG:GF=5:2
△BEG=④×5/2=⑩
AD//BCの等積変形で、△ABE=△DBE=㉟
よって、△ABE:△GEF=35:4

大問4(関数)

(1)
y=8/xにy=2を代入。
2=8/x
2x=8
x=4
(*反比例はxとyの積が比例定数aで一定。
xy=8だから、x=8÷2=4)

(2)

C座標から出発。
y=a/xにy=2を代入。
2=a/x
x=a/2

DE=9より、Dのx座標はa/2-9

Bからx軸に垂線、足をFとする。
△AOD∽△BFDで、DA:AB=DO:OF=1:1

OはDFの中点⇒DとFはy軸について対称関係にあるから、
F(B)のx座標は、-(a/2-9)=-a/2+9

一方で、Bのy座標はAのy座標の2倍→y=10
これをy=a/xに放り込むと、Bのx座標はa/10。

Bのx座標で等式
-a/2+9=a/10
-5a+90=a
a=15


大問5(資料問題)

(1)
範囲(レンジ;range)は最大値-最小値。
22.6万回-10.2万回=12.4万回

(2)
この手の記述は他県でもよく出題されている。

他方より優秀な点を具体的な数値を伴って述べればいい。
◆最頻値(モード)を比較すると、Yは23万回、Zは19万回。
Yに依頼した方がA市の動画の再生回数が増えそう。

Zを選ぶ場合、Yの10~20万あたりがZより多いところに注目して、
再生回数の高いグループの合計がZの方が多い点を指摘する。
◆再生回数が18万回以上の度数の合計を比較するとYは26本、Zは33本。
Zに依頼した方がA市の動画の再生回数が増えそう。
(*再生回数が24万回以上のグループでも良い。
Zの最大値に注目してもバツにはならないかもしれないが、
Zの28~30万回は50本のうちの3本だけなので、極端な値だけを取り上げている。
根拠とする階級はできるだけ幅広くとった方が説得力はある

大問6(平面図形)

(1)
角の二等分線の作図方法の証明が狙われた。
ポイントは三角形の合同

△PORと△QORにおいて、
OP=OQ、PR=QR
共通辺OR
以上より、3辺が等しく△POR≡△QOR
対応する角は等しいから、∠POR=∠QOR
よって、半直線ORは∠XOYの二等分線である。
(*最後は証明したい内容でフィニッシュ!)

(2)
垂線の作図。
普通はIに針を合わせるが、別の方法で作図する。

結論からいうと、
①Bを中心に半径をBIとする円を描く。
②Cを中心に半径をCIとする円を描く。
③IJを引く。
すると、IJ⊥BCとなる。

なぜ、そうなるのか。ここも三角形の合同を用いる。
BI=BJ、CI=CJ、共通辺BCより、3辺が等しく△BCI≡△BCJ。
BCを対称の軸とするとIとJは対応する点であり、
対応する点同士を結んだ線分は対称の軸BCと垂直に交わる。
ア…B、イ…BI、ウ…C、エ…CI

(3)
内接円を外接円とする三角形は必ず鋭角三角形である証明。

半径と接線は垂直に交わる
∠IFA=∠IEA=90°
四角形AFIEに注目すると∠IFA+∠IE
A=180°
対角の和が180°だから、四角形AFIEは円に内接する
⇒∠FAE+∠FIE=180°なので、∠FIE=180-∠x°

∠FDEは∠FIEの円周角にあたるから、
∠FDE=(180-x)÷2=90-1/2∠x°

∠FDE>0(0以下だと角を成さない)なので、90-1/2∠xは0°より大きい。
また、x>0で、90-1/2∠x°は、90から1/2xを引いた値だから90度より小さい。
0<90-1/2∠x<90
これが∠DEF、∠EFDにもいえるので、△DEFは常に鋭角三角形となる。
オ…90-1/2∠x、カ…0、キ…90

@余談@

外接円の中心(外心)Oは、3辺の垂直二等分線の交点に位置する。
△DEFが鋭角三角形であれば、外心Oは△DEFの内部にある

直角三角形の場合、外心Oは斜辺DFの中点にくる。
EはAC上、FはAB上の点なので、ABとACが一直線になってしまい、△ABCを作れない。
鈍角三角形の外心Oは△DEFの外側にあらわれる。
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