2014年度 東京都立高校入試【数学】解説

平均57.6点

問題はコチラから→リセマムさん

大問1(小問集合)-73.4%

(1) 85.8%
-62+4×7
=-36+28=-8

(2) 96.4%
9a+5b-(8a-b)
=9a+5b-8a+b
=a+6b

(3) 77.3%
√27-12÷√3
=3√3-4√3=-√3

(4) 93.4%
9x-8=5(x+4)
9x-8=5x+20
x=7

(5) 85.7%
連立方程式。
加減法でも代入法でも。x=-9、y=4

(6) 68.7%
因数分解できないので解の公式を用いる。
x=(5±√21)/2

(7) 47.9%
中央値(メジアン)は真ん中の人の値
31人のメジアンは16人目の値。
よって、下から数えて16番目は3回目のところ。
ちなみに、偶数の場合は近似値の平均値がメジアン30人であれば15人目と16人目の平均

(8) 64.5%
半直線AOを引く。半径は等しいので⊿ABOと⊿ACOは二等辺三角形。
外角定理から、42×2+26×2=(42+26)×2=68×2=136°

(9) 40.6%
千葉と比べると解きやすい。
半直線BAからAを通る垂線→ABの長さをとってそれとの交点がD。
ACの長さをとってそれを左にうつす→BCの長さをとって、
それをDからシュッと描く。その交点がEとなる。

大問2(整数の性質)-43.0%

(1) 69.2%
[4.8.12][8.12.16]の2通り

(2) 16.8%!
連続する縦3つの数をn、n+5、n+10にしないこと!
nは正方形の1辺の長さでもある変数。最初の数はn以外の文字にする。

例えば、連続する縦3つの数の最初をmとおく
すると、3つの数はm、m+n、m+2nとなる。
Q=(m+n)-m(m+2n)=m+2mn+n-m-2mn=n2

大問3(放物線)-41.7%

(1) 70.3%
下に凸の放物線なので、yの最小値はx=0のとき、y=0、
yの最大値は、x=-6のとき。y=18
y座標をbとするので、0≦b≦18

(2)① 39.5%
落ち着いて情報を整理!
Pがy軸上にある→直線mがy軸上にある。
Q(6、0)となる。
A(-6、0)だから、AQを通る直線の式はy=x+6

② 15.3%!
Pの座標を(a、a2/2)と置く。Qは(a、a2/2+6)
△APQの面積を求める。PQ=6。これを底辺とすると高さはa+6
△APQ=6×(a+6)÷2=3a+18

△APB=3a+18
底辺はAB間の距離=12、高さを求める。
(3a+18)×2÷12=1/2a+3…これがPのy座標であるa/2と同じ
/2=1/2a+3
-a-6=(a-3)(a+2)=0
Pのx座標は正であるから、a>0 よってa=3…pのx座標
/2=9/2
したがって、P(3、9/2)

大問4(平面図形)-41.5%

(1) 46.9%
△ABPの外角定理から、∠APC=a+60°
△CPQは90°、60°、残る∠CPQは30°
よって、∠APQ=a+60-30=a+30°

(2)① 73.1%
誘導はないが容易。
PR//CAなので、錯角により∠SQA=∠SRD…①
∠SAQ=∠SPR…②
①、②より2角が等しいので、△PSR∽△ASQ

② 4.5%!
やや難。
PR//CAから三角形と線分の比を活用。BP:PC=1:2
BPを①とおくとPC=②、BR:RAも三角形と線分の比から1:2であり、
正三角形でAB=BCなので、BR=①、RA=②
また、△BPRは全て60°の正三角形。よって、PR=①、
△BPRと△BCAの辺の長さの比は1:3だから、CA=③
ここで△CPQに注目!30°、60°、90°なので、1:√3:2
PC=②だからCQ=①
QA=CA-CQ=③-①=②
PRが①だから、△PSR:△ASQ=1:2、PS:SA=1:2
あとは高さが等しい三角形を見つけ出して割合計算。△ABCの面積を1とおくと、
1×2/3×2/3×1/3=4/27
(△APC)(△APQ)(△PQS)

大問5(立体図形)-29.8%

(1) 52.5%
点Pが点Fと一致するということは、AP=AF。
面で考えるとわかりやすい。面AEHDと面AEFBが垂直の関係であることから、
△APDの内角である∠DAP=90°

(2) 7.2%!
複雑で難しい。
周りの邪魔なものを全体から引くやり方でおこなう。
立体Q-AEBDと立体P-ABCDと
立体PQ-DBGCと立体PQ-AEFBでわける

@立体Q-AEBD@
底面は□AEBDで高さ8cmの四角錘。6×8×8×1/3=128cm3

@立体P-ABCD@
底面は□ABCDで高さ3cmの四角錘。8×8×3÷3=64cm3

@立体PQ-AEFB@
P-AEFBとP-EFQにわける。
P-AEFBは底面が□AEFBで高さがFQ(4cm)の四角錘、6×8×4÷3=64cm3
P-EFQは△EFPを底面積とする高さ3cmの三角錘、8×4÷2×3÷3=16cm3
合算して、64+16=80cm3

@立体PQ-DBGC@
同様にP-DBGCの四角錘と、P-BGQの三角錐でわける。
立体PQ-AEFBと同様、80cm3

すべてを足す。128+64+80+80=352cm3
直方体は、8×8×6=384cm3
よって、P-AQDの体積は、384-352=32cm3
もっと鮮やかな方法がありそう・・。

@別解@
発見<●><●>カッ!
QPの延長線とBCの交点をRとおく。
R-AQDをいいかえればQ-ARD。これは三角すい。
QP=PRだから、P-AQDの体積はQ-ARDの半分。
よって、8×8÷2×6÷3÷2=32cm3
立体図形を上手に見抜けないと苦労しますな・・。
公立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
◆スポンサードリンク◆
株価が爆上げした『すららネット』様(*'ω'*)


noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA