2014年度　都立高校入試問題過去問【数学】解説

平均５７．６点

問題ＰＤＦ

大問１（小問集合）－73.4％

（１）　85.8％
－６²＋４×７
＝－３６＋２８＝－８

（２）　96.4％
９ａ＋５ｂ－（８ａ－ｂ）
＝９ａ＋５ｂ－８ａ＋ｂ
＝ａ＋６ｂ

（３）　77.3％
√２７－１２÷√３
＝３√３－４√３＝－√３

（４）　93.4％
９ｘ－８＝５（ｘ＋４）
９ｘ－８＝５ｘ＋２０
ｘ＝７

（５）　85.7％
連立方程式。
加減法でも代入法でも。ｘ＝－９、ｙ＝４

（６）　68.7％
因数分解できないので解の公式を用いる。
ｘ＝（５±√２１）/２

（７）　47.9％
中央値（メジアン）は真ん中の人の値。
３１人のメジアンは１６人目の値。
よって、下から数えて１６番目は３回目のところ。
ちなみに、偶数の場合は近似値の平均値がメジアン（３０人であれば１５人目と１６人目の平均）

（８）　64.5％
半直線ＡＯを引く。半径は等しいので⊿ＡＢＯと⊿ＡＣＯは二等辺三角形。
外角定理から、４２×２＋２６×２＝（４２＋２６）×２＝６８×２＝１３６°

（９）　40.6％
千葉と比べると解きやすい。
半直線ＢＡからＡを通る垂線→ＡＢの長さをとってそれとの交点がＤ。
ＡＣの長さをとってそれを左にうつす→ＢＣの長さをとって、
それをＤからシュッと描く。その交点がＥとなる。

大問２（整数の性質）－43.0％

（１）　69.2％
[４．８．１２][８．１２．１６]の２通り

（２）　16.8％！
連続する縦３つの数をｎ、ｎ＋５、ｎ＋１０にしないこと！
ｎは正方形の１辺の長さでもある変数。最初の数はｎ以外の文字にする。

例えば、連続する縦３つの数の最初をｍとおく。
すると、３つの数はｍ、ｍ＋ｎ、ｍ＋２ｎとなる。
Ｑ＝（ｍ＋ｎ）^２－ｍ（ｍ＋２ｎ）＝ｍ^２＋２ｍｎ＋ｎ^２－ｍ^２－２ｍｎ＝ｎ²

大問３（放物線）－41.7％

（１）　70.3％
下に凸の放物線なので、ｙの最小値はｘ＝０のとき、ｙ＝０、
ｙの最大値は、ｘ＝－６のとき。ｙ＝１８
ｙ座標をｂとするので、０≦ｂ≦１８

（２）①　39.5％
落ち着いて情報を整理！
Ｐがｙ軸上にある→直線ｍがｙ軸上にある。
Ｑ（６、０）となる。
Ａ（－６、０）だから、ＡＱを通る直線の式はｙ＝ｘ＋６

②　15.3％！
Ｐの座標を（ａ、ａ²/2）と置く。Ｑは（ａ、ａ²/2＋６）
△ＡＰＱの面積を求める。ＰＱ＝６。これを底辺とすると高さはａ＋６
△ＡＰＱ＝６×（ａ＋６）÷２＝３ａ＋１８

△ＡＰＢ＝３ａ＋１８
底辺はＡＢ間の距離＝１２、高さを求める。
（３ａ＋１８）×２÷１２＝１/２ａ＋３…これがＰのｙ座標であるａ^２/２と同じ。
ａ^２/２＝１/２ａ＋３
ａ^２－a－６＝（ａ－３）（ａ＋２）＝０
Ｐのｘ座標は正であるから、a＞０　よってa＝３…ｐのｘ座標
３^２/２＝９/２
したがって、Ｐ（３、９/２）

大問４（平面図形）－41.5％

（１）　46.9％
△ＡＢＰの外角定理から、∠ＡＰＣ＝ａ＋６０°
△ＣＰＱは９０°、６０°、残る∠ＣＰＱは３０°
よって、∠ＡＰＱ＝ａ＋６０－３０＝ａ＋３０°

（２）①　73.1％
誘導はないが容易。
ＰＲ//ＣＡなので、錯角により∠ＳＱＡ＝∠ＳＲＤ…①
∠ＳＡＱ＝∠ＳＰＲ…②
①、②より２角が等しいので、△ＰＳＲ∽△ＡＳＱ

②　4.5％！
やや難。
ＰＲ//ＣＡから三角形と線分の比を活用。ＢＰ：ＰＣ＝１：２
ＢＰを①とおくとＰＣ＝②、ＢＲ：ＲＡも三角形と線分の比から１：２であり、
正三角形でＡＢ＝ＢＣなので、ＢＲ＝①、ＲＡ＝②
また、△ＢＰＲは全て６０°の正三角形。よって、ＰＲ＝①、
△ＢＰＲと△ＢＣＡの辺の長さの比は１：３だから、ＣＡ＝③
ここで△ＣＰＱに注目！３０°、６０°、９０°なので、１：√３：２
ＰＣ＝②だからＣＱ＝①
ＱＡ＝ＣＡ－ＣＱ＝③－①＝②
ＰＲが①だから、△ＰＳＲ：△ＡＳＱ＝１：２、ＰＳ：ＳＡ＝１：２
あとは高さが等しい三角形を見つけ出して割合計算。△ＡＢＣの面積を１とおくと、
１×２/３×２/３×１/３＝４/２７
(△APC)(△APQ)(△PQS）

大問５（立体図形）－29.8％

（１）　52.5％
点Ｐが点Ｆと一致するということは、ＡＰ＝ＡＦ。
面で考えるとわかりやすい。面ＡＥＨＤと面ＡＥＦＢが垂直の関係であることから、
△ＡＰＤの内角である∠ＤＡＰ＝９０°

（２）　7.2％！
複雑で難しい。
周りの邪魔なものを全体から引くやり方でおこなう。
立体Ｑ－ＡＥＢＤと立体Ｐ－ＡＢＣＤと
立体ＰＱ－ＤＢＧＣと立体ＰＱ－ＡＥＦＢでわける。

＠立体Ｑ－ＡＥＢＤ＠
底面は□ＡＥＢＤで高さ８ｃｍの四角錘。６×８×８×１/３＝１２８ｃｍ³

＠立体Ｐ－ＡＢＣＤ＠
底面は□ＡＢＣＤで高さ３ｃｍの四角錘。８×８×３÷３＝６４ｃｍ³

＠立体ＰＱ－ＡＥＦＢ＠
Ｐ－ＡＥＦＢとＰ－ＥＦＱにわける。
Ｐ－ＡＥＦＢは底面が□ＡＥＦＢで高さがＦＱ（４ｃｍ）の四角錘、６×８×４÷３＝６４ｃｍ³
Ｐ－ＥＦＱは△ＥＦＰを底面積とする高さ３ｃｍの三角錘、８×４÷２×３÷３＝１６ｃｍ³
合算して、６４＋１６＝８０ｃｍ³

＠立体ＰＱ－ＤＢＧＣ＠
同様にＰ－ＤＢＧＣの四角錘と、Ｐ－ＢＧＱの三角錐でわける。
立体ＰＱ－ＡＥＦＢと同様、８０ｃｍ³

すべてを足す。１２８＋６４＋８０＋８０＝３５２ｃｍ³
直方体は、８×８×６＝３８４ｃｍ³
よって、Ｐ－ＡＱＤの体積は、３８４－３５２＝３２ｃｍ³
もっと鮮やかな方法がありそう・・。

＠別解＠
ＱＰの延長線とＢＣの交点をＲとおく。
Ｒ－ＡＱＤをいいかえればＱ－ＡＲＤ。これは三角すい。
ＱＰ＝ＰＲだから、Ｐ－ＡＱＤの体積はＱ－ＡＲＤの半分。
よって、８×８÷２×６÷３÷２＝３２ｃｍ³
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