平均42.9点(前年比;-4.0点)
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大問1(小問集合)
(1)
-7-(-3)
=-7+3
=-4
(2)
18×(5x-2y)/6 ←18と6を約分
=3(5x-2y)
=15x-6y
(3)
√25<√30<√36
√30未満で最大の整数は5。
(4)
3x2-36=0
3x2=36
x2=12
x=±2√3
(5)
ゼリーは6ag、箱はbgで和が800g未満であった。
6a+b<800
(6)
反比例の比例定数aは積xyで一定。
a=4×5/4=5
y=5/x
(7)
昇順にすると、【5、7、7、8、10、11、13、14、16、19、20】
Q2(第2四分位数;中央値)は、(11+1)÷2=6番目の値で11。(箱ひげ図に記載済み)
Q1(第1四分位数)は下位5つの真ん中で、下から3番目の5点。
Q3(第3四分位数)は上位5つの真ん中で、上から3番目の16点。
a…7、b…16
(8)
平行線と線分の比。
12:8=3:2=9:x
x=2×9/3=6
(9)
出目の和は最大で12。
12までの素数を調べていく。
●2→(1、1)
●3→(1、2)と逆。
●5→(1、4)(2、3)と逆。
●7→(1、6)(2、5)(3、4)と逆。
●11→(5、6)と逆。
合計15通り。
全体は6×6=36通りだから、確率は15/36=5/12
(10)
定規とコンパスを持っていない場合は文章で代用できるらしい。
①円はAを接点とし、半径と接線ℓは接点Aで直交する。
Aを通る垂線上に中心Oがある。
②円周上にBがある。中心OはAとBから等距離にある。
→OはABの垂直二等分線上。これらの交点がO。
大問2(方程式)
(1)
5枚から3枚を選ぶ→5枚から選ばない2枚を選ぶ。
5C2=10通り
(2)a
並べちゃった方が早いと思う。
計算で出すならば、全体の長方形の面積から求める。
3×3×1+3×1×3+1×1×2=20cm2
【20→1×20、2×10、4×5】
Aは1辺3cmの正方形だから、長方形の辺は3cm以上。4×5しかない。
4cm、5cm
b
長方形の面積から考える。
A+B+C
=x2+6x+8=(x+2)(x+4)
長方形の縦をx+2cm、横をx+4cmとすると、
周の長さは、2{(x+2)+(x+4)}=4x+12cm
c
ここも面積で方程式を立てる。
みさき…(x+7)2=x2+14x+49
かずき…x2+6x+8
みさきは、かずきより105cm2大きかったので、
x2+14x+49=x2+6x+8+105
8x=64
x=8
大問3(数量変化)
(1)ア
7000+(800+400)×5
=7000+6000
=13000円
イ
A社は1枚あたり900+600=1500円ずつ増加する→傾きは1500
基本料金3500円は定数→切片は3500
1500x+3500
ウ
A社…y=1500x+3500
B社…y=1200x+7000
交点のx座標を求める。
1500x+3500=1200x+7000
300x=3500
x=35/3
(*計算上では35/3枚でA社とB社の料金が同じになる。
Tシャツの枚数は整数だから11枚以下はA社、12枚以上はB社が安くなる)
(2)a
基本料金…11000円
Tシャツ代…800円(25枚分)、プリント代…400円(20枚分)
20枚までは1枚につき1200円、余分の5枚は1枚につき800円かかる。
11000+1200×20+800×5
=11000+24000+4000
=39000円
b
C社のグラフを追記する。
0≦x≦20では、いずれも傾きが1200で平行。
C社のグラフはB社より常に上側にあり、B社の方が安い。
平行四辺形の対辺は等しい。
x=20のB社とC社の差(赤線)は切片の差と同じで、11000-7000=4000円
x>20からB社は+1200円、C社は+800円増加するので、
差は400円ずつ縮まるから、4000÷400=10枚で差が埋まる。
交点のx座標は、20+10=30枚
30枚で両社の値段が等しくなるので、31枚以上からC社が安くなる。
エ…平行、オ…上、カ…30、キ…31
大問4(関数)
(1)
A(-4、6)を点Oを回転の中心として点対称移動させる。
⇒原点Oに対して対称な点は(4、-6)
(2)
y=1/2x2におのおののx座標を代入する。
A(-4、8)B(2、2)
ABを斜辺とする直角三角形を作成。
等辺が6cmの直角二等辺→辺の比は1:1:√2でAB=6√2
(3)a
y=x2に代入してAとBの座標を確定する。
A(-4、16)→B(2、4)
右に6、下に12だから傾きは-2。
切片はBから左に2、上に4移動して、4+4=8
△OABは幅6高さ8だから、面積は6×8÷2=24
b
難しい。
PはA(-4、16)とC(0、8)の中点→P(-2、12)
△OABと△OPQはどの辺もかぶっていない(;´・ω・)
どこかで等積変形を試みようとしても厳しい。。
前問で△OABの面積は24と出ている。いっそのこと△OABを無視し、
△OPQに等積変形しやすい、面積が24の三角形をつくってしまう。
△OPQのうち、辺OPの位置は決まっている。
そこで、OPを底辺としてQに移動できるRをy軸上に設定する。
RはQを通るPOに平行な線でy軸との交点である。
△OPRの面積が24。
高さはPのx座標から2、底辺ORは24×2÷2=24
⇒R(0、24)
POの傾きは-6。RQの式はy=-6x+24
Qはとy=x2とy=-6x+24の交点だから、
x2=-6x+24
x2+6x-24=0
解の公式を適用。
x>0より、x=-3+√33
@別解@
求めたいQのx座標をtとして方程式を立てることもできる。
平行線を頼りに、Qをx軸に移してRとする。
傾きは-6なので、Qから⑥下がって、右に①移動するとR。
⑥=t2だから、①=t2×①/⑥=1/6t2
OR=1/6t2+t
△OPRの面積から、(1/6t2+t)×12÷2=24
t2+6t-24=0
これを解くと、t=-3+√33(t>0)
大問5(平面図形)
(1)a
折り返しで∠EBC=∠EBF
∠EBF=(90-50)÷2=20°
△EBFの内角より、∠BEF=180-(20+90)=70°
b
折り返しで、EF=EC=⑨
4cm=⑯なので、EF=4×⑨/⑯=9/4cm
(2)a
△ABQ≡△PDQの証明。
長方形の対辺と折り返しから、AB=PD
長方形の1つの内角で、∠QAB=∠QPD
折り返しで、∠QBD=∠CBD
AD//BCの錯角で、∠CBD=∠QDB
△QBDは2つ底角が等しいから二等辺三角形→QB=QD
斜辺と他の1辺が等しく、△ABQ≡△PDQ
@別解@
公式解答では、対頂角(●)を指摘して残りの角(×)が等しいので、
1辺と両端角を用いて合同を導いている。
b
むつかしい:;(∩´_`∩);:
四角形RDPSと△BRSの面積比が知りたい。
Rは長方形の対角線の交点で位置がはっきりしているが、Sが不明。
長さが4と12しかないので、他にわかるところを探す。
AQ=xとおくと、QD=12-x
前問の合同から対応する辺より、PQ=x、PD=4
△PDQで三平方→x2+42=(12-x)2
24x=128
x=16/3
AQを1辺とする相似を探す。
△AQS∽△CBSより、RがACの中点であることを踏まえると、
AS:SC=16/3:12=⑧:⑱→AS:SR:RC=⑧:⑤:⑬
ここから迷う(´゚д゚`)
BS:SPがわかれば隣辺比で決着するが、上にあるPの位置が求めにくい。
AS:SRから△BSA:△BRS=⑧:⑤がわかるので…
前問の合同を頼りに△PDQを△ABQに移植する。
四角形RDPS:△BRS→五角形ABSRD:△BRS
△BSA:△BRS=⑧:⑤
長方形の対角線は長方形の面積を4等分するから、
△ARD=△ABR=⑬
五角形ABSRD:△BRS=四角形RDPS:△BRS=㉑:⑤
四角形RDPSは△BRSの21/5倍。
大問1
(2)分数を割り算で書くと、18×(5x-2y)÷6=3(5x-2y)
(3)ルートの中身が平方数だと整数になる。
(7)箱ひげ図は簡単な形式だった。
大問2
(2)ABCの形を図にしてみよう。
求めるのは辺の長さだが、面積からの立式が突破口となる。
大問3
(1)よくある設定である。問いも素直な内容。
(2)a:20枚以下と21枚以上で分ける。
b:B社の式はy=1200x+7000とでているので、
C社の式は(20、35000)を通過→y=800x+19000との交点を求めてもいい。
大問4
(2)b:どこも辺がかぶってないのがもどかしい。
Qはy=x2の点。Qを通過する直線をつくれば等式が立てられる。
面積が24で辺POを共有する都合の良い三角形を作ってしまおう。
大問5
(2)b:ラスボスも手ごわかった(´д`)-3
隣辺比に持ち込みたくなる形だがPが厄介。
Sに関する比は絶対に必要なので、まずは長さを調査する。
前問のaは同じ(2)の小問だから何かしらのヒントであると疑う。
長方形の対角線は4等分する→△ARD=△ABRが見えればもう1歩。
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