2023年度　福島県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均22.4点（前年比；－1.8点）

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（計算）

（１）①　99.3％
（－21）÷７
＝－３

②　91.8％（部分正答0.5％）
－３/４＋５/６
＝１/12

③　81.2％
（－３ａ）×（－２ｂ）³
＝－３ａ×（－８ｂ³）
＝24ａｂ³

④　89.7％（部分正答0.2％）
√８－√18
＝２√２－３√２
＝－√２

（２）　42.7％
【球の体積Ｖ＝４/３πｒ³】
半径ｒの３乗がでてくる→球の体積比は半径の比の３乗。
半径を２倍すると、体積は２³＝８倍になる。

大問２（小問集合）

（１）　64.2％（部分正答1.1％）
31％⇒31/100
31/100ａｍＬ

（２）　62.1％（部分正答0.7％）
３ｘ＋２ｙ－４＝０
２ｙ＝－３ｘ＋４
ｙ＝－３/２ｘ＋２

（３）　36.9％（部分正答3.0％）

『辺ＡＢ、ＢＣまでの距離が等しい』→∠ＡＢＣの二等分線を作図する。
ＡＣとの交点がＰ。

（４）　69.3％
ｙ＝ａｘ²において、ｘの値がｐ→ｑに増加したときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）。
１×（１＋４）＝５

（５）　33.0％！
最小値は２～４回→ア×
30人の中央値は15番目と16番目の平均で８～10回→イ×
第１四分位数は下位15人の真ん中、下から８番目６～８回→ウ×
エ

大問３（確率＆整数）

（１）①　81.2％（部分正答0.5％）
全体の取り出し方は、３×３＝９通り
Ａ＞Ｂとなるのは、（２、１）（３、１）（３、２）の３通り。
確率は３/９＝１/３

＠別解＠
ルール（ア）はＡの玉を戻すから、数が等しい”あいこ”が起こる。
じゃんけんと同様で、勝ちか負けかあいこが同じ確率で起こる→１/３

②　50.4％（部分正答8.5％）
前問より、ルール（ア）でＡが景品をもらえない確率は１－１/３＝２/３
ルール（イ）でＡが景品をもらえない確率を計算する。

全体は、３×２＝６通り
Ａ＜Ｂとなるのは、（１、２）（１、３）（２、３）の３通り。
確率は３/６＝１/２
２/３＞１/２だから、ルール（ア）の方がＡが景品をもらえない確率が大きい。
ルール…ア、確率…２/３

＠余談＠
ルール（イ）はあいこが起こらないので、結果は勝ちか負けの１/２。
あいこでは景品をもらえないため、あいこの可能性を含むルール（ア）の方がもらえにくい。

（２）①　66.8％
「常に同じになる」とあるので、左上の４マスで試せば良い。
ａ＝１、ｂ＝２、ｃ＝８、ｄ＝９
ａｄ－ｂｃ
＝１×９－２×８
＝－７

②　5.5％!!（部分正答14.9％）
答案では理由も説明する。
ｎは１段に並べる整数の個数→１個下の数は＋ｎになる。

ｂ、ｃ、ｄをａ、ｎで表すと、
ｂ＝ａ＋１、ｃ＝ａ＋ｎ、ｄ＝ａ＋ｎ＋１
ａｄ－ｂｃ
＝ａ（ａ＋ｎ＋１）－（ａ＋１）（ａ＋ｎ）
＝ａ²＋ａｎ＋ａ－ａ²－ａｎ－ａ－ｎ
＝－ｎ

大問４（方程式）

49.8％（部分正答24.6％）
４人グループをｘ組、５人グループをｙ組とする。
生徒の合計で等式。
４ｘ＋５ｙ＝200　…①

配ったゴミ袋の数で等式。
生徒１人に１枚ずつ配るので200枚は必ず配る。
これにグループごとの予備の枚数を加える。
200＋２ｘ＋３ｙ＝314
２ｘ＋３ｙ＝114　…②
①、②の連立を解くと、ｘ＝15、ｙ＝28
４人グループ…15組、５人グループ…28組

大問５（平面図形）

（１）　30.7％！（部分正答22.0％）
△ＥＤＯ∽△ＥＢＤの証明。

共通角（×）、ＡＣ//ＤＯの錯角と弧ＡＤに対する円周角（●）
２角相等で∽。

（２）　2.1％!!（部分正答0.5％）

△ＥＤＯ∽△ＥＣＡの相似比は９：７。
△ＥＤＯ∽△ＥＢＤの相似比を求めるには対応する辺の比が欲しいが、
なかなか出てこない…(´д`)
面積比から攻めてみる。

Ｂ側の情報を得るために、円の半径を使う。
ＯＢ＝ＯＡ＝16
△ＥＤＯ：△ＥＢＤ＝ＥＯ：ＥＢ＝９：（９＋16）＝⑨：㉕
よって、相似比は△ＥＤＯ：△ＥＢＤ＝３：５

大問６（関数）

（１）　53.4％
ｙ＝１/ｘ、ｙ＝ｘにｘ＝２を代入すると、
Ｂのｙ座標は１/２、Ｃのｙ座標は２。
ＢＣ＝２－１/２＝３/２

（２）　22.2％！

四角形ＡＤＢＣが平行四辺形になるとき、対辺が等しくなる。
ＡＤ＝ＣＢ＝６
ＢとＣのｙ座標をａで表すと上図になる。
ＣＢ＝２ａ－ａ/２＝３/２ａ＝６
ａ＝４

（３）　3.7％!!

ａ＝１のときの四角形ＡＤＢＣの面積を求める。
（１）よりＢＣ＝３/２、Ａのｘ座標は１/６なので、
（６＋３/２）×（２－１/６）÷２＝55/８

計算がやや面倒だが(´Д｀)、四角形ＡＤＢＣの面積をａで表す。
ＢＣ＝３/２ａ、高さは２－ａ/６、面積は55/８になるから、
１/２（６＋３/２ａ）（２－ａ/６）
＝１/２（12－ａ＋３ａ－ａ²/４）
＝－ａ²/８＋ａ＋６＝55/８　←両辺を８倍して整理

ａ²－８ａ＋７
＝（ａ－１）（ａ－７）＝０
０＜ａ＜12なので、ａ＝７

＠余談＠
ａ＝４のとき、四角形ＡＤＢＣは平行四辺形であった。
－ａ²/８＋ａ＋６にａ＝４を代入すると面積は８である。

他のａを計算してみると、
ａ＝３、５は63/８で等積。
ａ＝２、６は15/２で等積。
ａ＝１、７は55/８で等積であった・・。
０＜ａ＜12でａ＝０だとグラフが無くなってしまうが、
ａ＝０、８では値が６で等しくなり、
ａ＝－１、９では値が39/８で等しくなる…。
すなわち、平均が４（和が８）となる組み合わせで等積になる。

試しに、－ａ²/８＋ａ＋６のａを（８－ａ）に置き換えてみると、
－（８－ａ）²/８＋（８－ａ）＋６
＝－ａ²/８＋ａ＋６…と同じ値が出てくる|-`)｡oO(ホワーイ?)

この理由なのですが、高校で習う２次関数を使います。
先ほどのａを変数ｘに置き換え、四角形ＡＤＢＣの面積をｙとし、
ｘの値を変えていくと、四角形ＡＤＢＣの面積がどのように変化するかをグラフで表します。

ｙ＝－１/８ｘ²＋ｘ＋６
＝－１/８（ｘ²－８ｘ－48）
＝－１/８（ｘ＋４）（ｘ－12）＝０
ｘ＝－４、12のとき、面積ｙが０になる。
→グラフはｘ軸と（－４、０）（12、０）で交わる。
問題文で『０＜ａ＜12』とあるのは、ａ＝12で面積が０になるからです。

放物線は左右対称で、対称軸を軸といいます。
ａ＜０から上に凸のグラフ、軸の方程式は－４と12の真ん中のｘ＝４
代入するとｙ＝８だから、頂点の座標は（４、８）
つまり、ｘ＝４のとき、四角形ＡＤＢＣの面積は８で最大になります。
そして、対称性から頂点から等距離にあるｘ座標の組み合わせは、
ｙの値が等しいので面積が等しいことになります。
（たとえば、ｘ＝3.9と4.1をあてはめると、いずれも面積は7.99875で等積になる）

ちなみに、頂点の座標は平方完成でも求めることができます。
ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）²＋ｑの標準形に変形すると、頂点の座標は（ｐ、ｑ）。
ｙ＝－１/８ｘ²＋ｘ＋６
＝－１/８（ｘ²－８ｘ）＋６
＝－１/８（ｘ－４）²＋８　→頂点（４、８）

大問７（空間図形）

（１）　52.3％

正面からみると、円錐は二等辺三角形。
三平方の定理より、円錐の母線は４ｃｍ。

（２）　19.0％！（部分正答0.2％）

最短距離なので、展開図を作成する。
側面の扇形の中心角は、360×半径/母線＝360×１/４＝90°
ヒモを展開図に描くと上図のＩＩ’になる。
△ＯＩＩ’は直角二等辺三角形で辺の比は１：１：√２だから、
ＩＩ’＝４√２ｃｍ

（３）　2.8％!!

四角錘Ｐ―ＡＢＣＤの高さが知りたい。まずはＰの位置を確認する。
四角錘Ｐ―ＡＢＣＤの体積が最小となる⇒Ｐは面ＡＢＣＤに最も近い場所。
前問の展開図がヒントになる。
立体図でＰは面ＥＦＧＨ上にあるＩから最も遠くにあり、展開図でいえばＰはＩＩ’の中点である。
直角三角形ＱＩＰより、ＱＰ＝４×１/√２＝２√２ｃｍ

Ｐから面ＡＢＣＤに垂線をひき、足をＲとする。
ＰＲが求めるべき四角錘の高さにあたる。
正面から見た図で△ＱＰＲ∽△ＱＧＣより、ＲＰ＝√15×２√２/４＝√30/２ｃｍ
よって、四角錘Ｐ―ＡＢＣＤの体積は、２×２×√30/２÷３＝２√30/３ｃｍ³