2020年度 徳島県公立高校入試過去問【数学】解説

平均46.0点(前年比;-0.1点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
3×(-5)
=-15

(2)
2(3a-2b)-3(a-2b)
=6a-4b-3a+6b
=3a+2b

(3)
2-3x-4
=(x+1)(x-4)=0
x=-1、4

(4)
ネジレ→交わらない、かつ平行でもない。
辺CG、辺DH、辺EH、辺FG

(5)
x-y=-x+4y=3
x-y=3…①
-x+4y=3…②
これを解いて、x=5、y=2

(6)

四捨五入で整数→小数第1位の5に注目
不等号に気をつけよう!10.5を四捨五入で整数に丸めると11になる。
9.5≦a<10.5

(7)
2+2xy+y2
=(x+y)2 ←ここで代入。
=(√2+1+√2-1)2
=(2√2)2=8

(8)
何をx、yに置いたのか注意しよう!
xは往復の時間、yはふりこの長さ。
yに長さを代入する。

■y=1のとき
1=1/4x2
2=4
x>0より、x=2

■y=9のとき
9=1/4x2
2=36
x>0より、x=6

往復時間は1mの振り子が2秒、9mの振り子が6秒。
6÷2=3往復
*ふりこの周期はおもりの重さや振れ幅ではなく、
ふりこの長さに依存する。これを振り子の等時性という。

(9)
2x-y=5
yで場合分け。
◆y=1
2x=6、x=3
◆y=3
2x=8、x=4
◆y=5
2x=10、x=5
*2xは偶数、5は奇数なので、等式が成り立つにはyが奇数でなければならない
→つまり、y=1、3、5
以上、3通り。

全体は6×6=36通りだから、確率は3/36=1/12。

(10)

弧の長さは中心角の大きさに比例する。
弧AP:弧PB=3:1とするには、その中心角を3:1にすればいい。
∠AOBを二等分、さらに二等分したB側がPとなる。

大問2(規則)

(1)

なかの白は正方形。
5番目の白の数は、5×5=25個
ア…25

5番目の全体の正方形は1辺が7個。
全体から白をひいて黒の数が求まる。
7×7-25=24
イ…24

全体の正方形の1辺は、
1番目→3個、2番目→4個、3番目→5個…
n番目はn+2個
タイルの総数は(n+2)2個。
白の1辺n個だから、白の数はn2個。
よって、黒の数は、
(n+2)2-n2
=4n+4

@別解@

魔方陣でよくある手口。
黒の数は、(n+1)×4=4n+4個

(2)
白…n2個、黒…4n+4個
2-4n-4=92
2-4n-96
=(n-12)(n+8)=0
n>0より、n=12
12番目


大問3(小問集合)

(1)
問題文から文字式をつくれるか|-`)。oO
料金の合計は2000a+1200b+500×40円。
これを40で割ればいい。
(2000a+1200b+500×40)÷40
=50a+30b+500円

(2)
1人の面積は等辺が5/2mの二等辺三角形。

二等辺の頂角は、360÷8=45°
うえのように垂線をひくと内角が45°-45°-90°の直角二等辺が見つかる。
辺の比は1:1:√2で斜辺が5/2mだから、
高さは5/2×1/√2=5√2/4m
面積は、5/2×5√2/4÷2=25√2/16m2

(3)

下に延長して円錐を作成。
直角三角形の相似から、下の円錐の高さは27cm。
4×4×π×36÷3-3×3×π×27÷3
=192π-81π=111πcm3

大問4(関数)

(1)
y=3/xにx=-1を代入して、y=-3

(2)
y=-3x2に代入。
x=-2のとき、最小値y=-12
x=0のとき、最大値y=0
-12≦y≦0

(3)
(1)よりA(-1、-3)
Bは原点に関してAに対称なので、B(1、3)
PはOBの中点だから、P(1÷2、3÷2)=P(1/2、3/2)

C(0、4)→P(1/2、3/2)
右に1/2、下に4-3/2=5/2移動する。
→2倍すると右に1、下に5移動する→傾きは-5
切片はCのy座標だから、y=-5x+4

(4)

関数で角度の活用がキタ(‘Д’)
∠OCP=①とすると∠BPC=②
ここからなんとかならないものか…(´~`)

Pを通るy軸に平行な線をひく
錯角で∠BPCの左側が①。
右側は①になり、同位角で∠COP=①
△OCPは底角が①で等しく、二等辺三角形になる
Pからy軸に向けて垂線。その交点はOCの中点でy=2
Pのy座標が2。これをy=3xに代入。
P(2/3、2)

@別解@

y軸との平行線は∠BPCの二等分線であり、
これを対称の軸とすると、Pを通る2本の直線は線対称の関係
傾きは3⇒-3。切片は4だから、y=-3x+4
Pはy=3xとy=-3x+4の交点となり、
3x=-3x+4
x=2/3
これをy=3xに代入してP(2/3、2)


大問5(平面図形)

(1)(a)

CDに補助線。
仮定より、∠CAD=80÷2=40°
△ACDは二等辺ゆえ、∠ACD=(180-40)÷2=70°
弧ADに対する円周角で、∠ABD=70°

(b)

半径はわかっているので中心角さえわかればいい。
∠BACの中心角BOC=40×2=80°
15×15×π×80/360=50πcm2

(2)
△ABC≡△AEDの証明。

証明問題としてはイージーです。
仮定から∠BAC=∠EAD
同じく仮定から、AC=AD
弧ABに対する円周角で、∠ACB=∠ADE
1辺と両端角相等で合同。

(3)

円周角が等しい=弧の長さが等しい。
下の弧BC=弧CD=とする。
弦AC=弦ADから、赤線の弧の部分が等しい
弧AC=弧AD=8π+
円周は15×2×π=30cm
8π++(8π+)=30
×3=14π
=14/3πcm
弧AD=8π+14/3=38/3πcm

大問1
(6)概数は中学受験でもっと難しいのが出るよ!解けるようにしておきたい。
(8)xではなくyに代入する。
大問2
そんなに難しくはない。計算も複雑ではなかった。
大問3

数学の活用。要点をうまくつかもう。
大問4
(3)までは確実にとりたい。
(4)∠OCPと∠BPCの位置関係から平行線を描きたい。
大問5
(3)円周に着目した設問であった。
どこの弧が等しくなるか、印をつけよう。
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