2020年度 都立高校入試問題・分割後期【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
-3+8×1/2
=-3+4=1

(2)
7a+9b-(a+4b)
=7a+9b-a-4b
=6a+5b

(3)
(1-√3)2
=1-2√3+3
=4-2√3

(4)
4x+9=6x-5
2x=14
x=7

(5)
2x+3y=8 …①
4x-5y=-6 …②
①×2-②
 4x+6y=16
-)4x-5y=-6
   11y=22
y=2
①に代入。
2x+6=8
x=1
x=1、y=2

(6)
2+x-72
=(x+9)(x-8)=0
x=-9、8

(7)
a>0なのでグラフは下に凸。
x=0のとき、最小値y=0
x=-3のとき、最大値y=27
0≦y≦27→ウ

(8)
6個から2個を取り出す→62=15通り
同じ色には番号を付けて区別する
1・白2から1つ、青1・青2・青3から1つ取り出す→2×3=6通り
よって、確率は6/15=
2/5
あ…2、い…5

(9)
垂線の作図。
①Cに針をセットして適当な弧を描く。
②ABとの交点から適当な2つの弧を描く。
③その交点とCを結び、ABとの交点がPとなる。

大問2(式の証明)

(1)
表面積Pを求める。

底面の正六角形は6分割しよう。
c×a÷2×6+c×b÷2×6
=3ac+3bc
=3c(a+b)→ア

(2)
証明問題。円錐の表面積Qを導く。
底面積…r×r×π=πr2
側面積…扇形の中心角が分からない。

中心角は、全体である円を分母としたときの扇形の割合で代用できるので、
円周の長さ÷弧の長さ〕を用いる。
円周は2πa、弧の長さは底面の円周ℓ=2πr
a×a×π×2πr/2πa=πar

表面積Q=πr2+πar=πr(a+r)
πrの部分にℓを使う
ℓ=2πr
πr=1/2ℓ
よって、Q=1/2ℓ(a+r)となる。


大問3(関数)

(1)
y=-2x+8にx=-2を代入。
y=-2×(-2)+8=12
う…1、え…2

(2)①

直線ℓ・A・Cは固定。
AP=CPとなるときのmの傾きを求める。
・・なんとなくℓの傾きを負にすればいいような気がする(・д・)

△APCは二等辺三角形。
QPはx軸に平行で、AC(y軸)とQPは垂直に交わる。
△APQと△CPQは、AP=CP、QP
(共通辺)、垂直から、
斜辺と他の1辺が等しい直角三角形で合同
言い換えれば、QPを対称の軸として△APQと△CPQは対称関係にある。
QPはx軸に平行で、∠APQ=∠CPQ
x軸からの角度が等しいので、直線mの傾きは直線ℓのそれを負にすればいい
直線mの傾きは2→イ

@別解@
計算で解く方法もある。
2つの合同な直角二等辺からQがACの中点とわかれば、Q(0、3)
Pのy座標は3で、直線ℓに代入するとP(5/2、3)
PとCを通る直線の式から、
3=5/2a-2
a=2


①とは別問なので、AP=CPの設定は外れる。

△ACPを△APQ+△CPQに分割しよう。
PQを底辺として、
高さの合計AC=10を③とすると、
△BPQの高さは①となる。
①=10×1/3=10/3
Pのy座標が10/3で、これをy=-2x+8に代入。
10/3=-2x+8
2x=14/3
x=7/3

大問4(平面図形)

(1)

弧BPの円周角より、∠BCP=a
1つの円において、弧が等しければ弦の長さも等しい→CA=CB
直径に対する円周角は直角で∠ACB=90°から、△ABCは直角二等辺三角形
△CBQで外角定理→∠AQC=a+45°

(2)①
△APC∽△QACの証明。

辺の情報が乏しいので角度攻め。
弧が等しければ円周角が等しい→∠APC=∠QAC
共通角∠ACP=QCAと合わせて2角相等で∽。



弧の長さしかわかっていない・・(;^ω^)
求めたいのは△APCと△QACの面積比。
これを知るには、CP:CQを知ればいい。

弧の長さからわかる情報は中心角
中心Oから補助線をいれて中心角に着目する。

OCとOPに補助線。
円周の上半分で、Cは弧ABの中点だから、∠BOC=180÷2=90°
円周の下半分で、弧AP:弧PB=⑤:①より、∠BOP=180°×1/6=30°
半径より△OCPは二等辺で、∠OCP=∠OPC=(180-90-30)÷2=30°

OQの長さを【1】とする。
△COQの内角は30°-60°-90°より、1:2:√3からCQ=【2】
△OPQは二等辺で、QP=【1】

CP:CQ=3:2より、△APCと△QACの面積比は3:2
お…3、か…2


大問5(空間図形)

(1)

空間をナナメに横切る線分の長さは、それを対角線とする直方体を作図するのが定石。
1辺の長さがa、b、cの直方体の対角線の長さ→√(a2+b2+c2

PQ=√(52+82+62
=√125=5√5cm
き…5、く…5

(2

PDに補助線。
M-PQDNを三角錘M-PDNと三角錘P-MCDに分割してみた。
三角錘M-PDNは、底面を△PMNとすると高さはBP=4cm
3×4÷2×4÷3=8cm3

問題は三角錐P-MCDの体積。
底面は△MCDで捉える。

△ABCは直角二等辺で、1:1:√2よりAC=8√2cm
△ACDの面積は、6×8√2÷2=24√2cm2
MはADの中点なので、△MCD=24√2÷2=12√2cm2

この△MCDは面ACD上にある図形なので、Pから辺ACに向けて垂線をおろし、
その足をOとすると、POが高さに相当する。
∠BAC=45°から、△APOも直角二等辺→PO=2√2cm
よって、三角錐P-MCDの体積は、12√2×2√2÷3=16cm3

したがって、M-PQDNの体積は、8+16=24cm3
け…2、こ…4

こちらの平均点は公表なしかな?(‘ω’)
大問2
(2)分割後期の方が計算処理は苦しくなかったと思う。
扇形は円の一部。ここから側面積をだす。
大問3
(2)②今年のサイタマでも似たようなのが出た。
共通底辺を見つけると、高さの比が面積比になる。
大問4
(2)②情報の少ない図形は、角度を調べること。
だいたい30°か45°か60°になって、有名な図形が浮かび上がる。
大問5
(2)やりにくかった(´゚д゚`)
フクザツな立体は分割してあとで足すか、周りのいらない部分を控除するか。
分割後の三角錐の高さをどう表現するか。
三角錐の底面が属する面と垂直にあたる線分をくまなく探す。

@2020年度(都立)@
数学…平均61.1点 社会…平均57.0点 理科…平均53.4点 英語…平均54.7点
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