2021年度 聖光学院中学過去問【算数】大問2解説

4桁の整数Mと4桁の整数Nがあります。
この2つの整数について次の性質の一部、もしくは全部が成り立っています。

性質① Mを4倍するとNになる。
性質② Mの千の位とNの百の位は等しく、また、Mの百の位とNの千の位は等しい。
性質③ Mの十の位とNの一の位は等しく、また、Mの一の位とNの十の位は等しい。

このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
性質①が成り立つとき、Mとして考えられる整数は何個ですか。

(2)
性質①と性質②が成り立つとき、
Mの十の位以下を切り捨てた値として考えられる整数をすべて答えなさい。

(3)
性質①と性質②と性質③が成り立つとき、
Mとして考えられる整数をすべて答えなさい。


@解説@
(1)
2500×4=10000だから、4倍して4桁となる最大数は2499。
1000~2499の1500個。

(2)

十の位以下は切り捨てるので、百の位と千の位の数字だけを考える。
には同じ数字がはいる。

先ほど、Mは1000~2499の1500個しかないとわかったので、
Mの千の位からには1か2しか入らない

Nの最小値は1000×4=4000
最大値は2499×4=(2500-1)×4=9996
Nの千の位からには4~9しか入らない
また、4×9=36ゆえ、十の位からの繰り上げは0~3の範囲に絞られる

…パターンが少ないので、Mの千の位と百の位に4をかけて試す。
14×4=54
→54〇〇だから、Nは41〇〇にならない×
15×4=60
→百の位が4未満×。Nは06〇〇になってしまう。
16×4=64
→64〇〇だから、Nは61〇〇にならない×
17×4=68
→68に繰り上がり3を足すと71で、Nは71〇〇になりうる〇
18×4=72
→Nは81〇〇にならない×
19×4=76
→Nは91〇〇にならない×
24×4=96
→Nは42〇〇にならない×

すべて答えなさいだが、Mは17〇〇しかない。
十の位は切り捨てなので、答えは1700。

(3)

繰り上がりが3だから、4×8=32か4×9=36。
すなわち、は8か9のみ

=9だとNの一の位が9となるが、4の倍数は偶数なのでありえない。
=8で試すと、=2となる。
したがって、Mは1782。
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