問題ＰＤＦ
４桁の整数Ｍと４桁の整数Ｎがあります。
この２つの整数について次の性質の一部、もしくは全部が成り立っています。
性質① Ｍを４倍するとＮになる。
性質② Ｍの千の位とＮの百の位は等しく、また、Ｍの百の位とＮの千の位は等しい。
性質③ Ｍの十の位とＮの一の位は等しく、また、Ｍの一の位とＮの十の位は等しい。
このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）
性質①が成り立つとき、Ｍとして考えられる整数は何個ですか。
（２）
性質①と性質②が成り立つとき、
Ｍの十の位以下を切り捨てた値として考えられる整数をすべて答えなさい。
（３）
性質①と性質②と性質③が成り立つとき、
Ｍとして考えられる整数をすべて答えなさい。
＠解説＠
（１）
2500×４＝10000だから、４倍して４桁となる最大数は2499。
1000～2499の1500個。
（２）
十の位以下は切り捨てるので、百の位と千の位の数字だけを考える。
★と☆には同じ数字がはいる。
先ほど、Ｍは1000～2499の1500個しかないとわかったので、
Ｍの千の位から★には１か２しか入らない！
Ｎの最小値は1000×４＝4000
最大値は2499×４＝（2500－１）×４＝9996
Ｎの千の位から☆には４～９しか入らない！
また、４×９＝36ゆえ、十の位からの繰り上げは０～３の範囲に絞られる。
…パターンが少ないので、Ｍの千の位★と百の位☆に４をかけて試す。
14×４＝54
→54〇〇だから、Ｎは41〇〇にならない×
15×４＝60
→百の位が４未満×。Ｎは06〇〇になってしまう。
16×４＝64
→64〇〇だから、Ｎは61〇〇にならない×
17×４＝68
→68に繰り上がり３を足すと71で、Ｎは71〇〇になりうる〇
18×４＝72
→Ｎは81〇〇にならない×
19×４＝76
→Ｎは91〇〇にならない×
24×４＝96
→Ｎは42〇〇にならない×
すべて答えなさいだが、Ｍは17〇〇しかない。
十の位は切り捨てなので、答えは1700。
（３）
繰り上がりが３だから、４×８＝32か４×９＝36。
すなわち、★は８か９のみ。
★＝９だとＮの一の位が９となるが、４の倍数は偶数なのでありえない。
★＝８で試すと、☆＝２となる。
したがって、Ｍは1782。
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