2019年度　芝浦工業大学柏中学過去問【算数】大問５解説

問題ＰＤＦ
兄が、５種類の洋菓子（チョコケーキ、チーズケーキ、プリン、シュークリーム、クッキー）を１つずつ買ってきました。このうちいくつかを妹へあげ、５つの洋菓子を２人で分けることを考えます。兄は妹に何をあげれば、公平になるかを考え、２人で５つの洋菓子に以下のルールでおのおの点数をつけることにしました。

＠ルール＠
１：２人共、各自の基準でつける。
２：５つの合計点数が100点になるようにつける。

点数をつけた結果が下の表です。

この様に点数をつけると、５つの洋菓子はそれぞれ２人にとって違う価値になることもあることがわかります。例えば、チョコケーキは兄から見れば40点の価値があり、妹から見れば35点の価値があるということです。

（１）
妹が自分の基準でつけた点数で合計45点分の洋菓子をもらうとき、
残った兄の分の洋菓子の（兄の基準での）合計点数は最高何点ですか。

次に、兄と妹で分けた洋菓子の各自の合計点数が同じになる分け方が
公平な分け方であると考えます。

（２）
公平な分け方で、各自の合計点数が最も高くなる場合を考えます。
そのときの兄の合計点数は何点ですか。

（３）
兄は、まずチーズケーキを、次にクッキーを妹にあげました。続いてチョコケーキを切って、その一部を妹にあげ、残ったチョコケーキとプリン、シュークリームは自分の分として残しました。すると、公平に分けることができました。
このとき、兄はチョコケーキの何％を自分の分として残しましたか。ただし、例えばチョコケーキを２等分に切って分けたときは、この半分のチョコケーキは、兄には40点の50％にあたる20点の価値があり、妹には35点の50％にあたる17.5点の価値があると考えます。

（４）
５種類の洋菓子の分け方で、洋菓子は最大１つまで切って分けて良いものとして考えたとき、（３）の分け方が２人のおのおのの基準での合計点数が最も高くなる方法です。
①まずチーズケーキを妹にあげた理由として考えられることをあげなさい。
②クッキーに続いてチョコケーキを分けてあげた理由として、考えられることを挙げなさい。

＠解説＠
（１）
妹が選ぶべき45点の洋菓子を考える。

ちょうどチーズケーキが45点。。
兄の点数…40＋15＋10＋５＝70点
これが最高点になる。

兄と妹の点数を比較したとき、チーズケーキだけ妹の方が高い。
クッキーは同点で、他３つは兄の方が点数を高く見積もっている。
兄が高く見積もった洋菓子を兄に振り分ければ、兄の点数は高くなる。

（２）
よほど食べたいのか、妹が高い点数をつけたチーズケーキを妹に渡す。
チョコケーキを妹に分けると妹の点数が80点になるので、チョコケーキは兄に分ける。
残りの３品で帳尻を合わせる。
兄…チョコケーキ40＋プリン15＝55点
妹…チーズケーキ45＋シュークリーム5＋クッキー＝55点
５５点

（３）
答案では、解き方の説明も要求されている。
確定事項から計算していく。
妹…チーズケーキ45＋クッキー5＋チョコケーキの一部＝50＋チョコ一部
兄…プリン15＋シュークリーム10＋チョコ残り＝25＋チョコ残り
チョコケーキを除くと、妹が兄より25点高い。
ということは、チョコケーキで兄が妹より25点高くなればいい。

しかし、この後がなかなか厄介(;`ω´)
兄が40点、妹が35点。
40×○％＝35×（100－○）％＋25
中１レベルの１次方程式を許すのであれば、これを解いて80％。

方程式がダメなら、具体例をうまく使う。
２等分したとき、兄は20点、妹は17.5点が与えられる。
差は2.5点。この差を25点（兄＞妹）に拡大する。

１％あたりに直すと、兄は40÷100＝２/５点、妹は35÷100＝７/20点。
妹から兄に１％渡すと、妹が－７/20点、兄が＋２/５点されるので、
両者の差が７/20＋２/５＝３/４点ずつ広がる。

妹→兄に１％変えると、差が３/４点増える。
25－2.5＝22.5点分の差は、22.5÷３/４＝30％
50％ずつの状態から、妹から兄へ30％移す。
よって、兄は80％。

＠余談＠
差が25と整数なので、〔整数－整数〕しかないと思われる…。
分数－分数＝整数の場合もあるが、〔29/７－15/７＝14/７＝２〕のように、
分母が同じでないと差が整数にならないような気がする・・。
異なる分母だと８/６－１/３＝１のように、既約分数ではなくなるような？

整数－整数＝25であれば、ターゲットは絞られる。
妹は35点をつけているので、35を整数値となるように分けると１・５・７・35。
35は100％なので不適。
１/35は百分率に直すと循環小数となり、百分率での解答が難しい。
５/35＝１/７も循環小数で同様。
すると、７/35＝１/５＝20％しかない。
妹が20％なので、兄は80％となる。

（４）
ラストに説明問題。シバカシ、けっこうややこしいの出すのね(;^ω^)
１個だけ切って良いとの条件がつくと、どうやら前問の分け方が最も高い点数になるらしい。
①
先にチーズケーキを妹にあげる理由。

各々の基準で最高点を目指すには、相手より高い点数をつけたものをその人に渡す。
チーズケーキのみ、妹が兄より15点も高く点数をつけている。
そこで、まず妹にチーズケーキをあげる。
それぞれの洋菓子に兄と妹がつけた点数差がポイントになる。

②
１個だけ切って良い洋菓子にチョコケーキを選んだ理由。
クッキーは同点だが、残る３つ（チョコケーキ・プリン・シュークリーム）は、
いずれも兄が妹より５点高い。
『相手よりも高い点数をつけたものをその人に渡す』が基本なので、
それぞれの兄：妹の点数の比に着目する。
〔チョコケーキ〕40：35＝８：７
〔プリン〕15：10＝３：２
〔シュークリーム〕10：５＝２：１
妹のつけた得点を基準にして兄の得点をみてみよう。
シュークリームは２倍、プリンは３/２倍、チョコケーキは８/７倍。
つまり、シュークリーム＞プリン＞チョコケーキの順に兄が妹より高い点数をつけている。
（ようは割合でみたとき、比重の大きい順から兄へ分ける）
シュークリームとプリンを優先的に兄へ振り分け、
残ったチョコケーキを「公平な分け方」になるように切る。
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