問題ＰＤＦ
１辺の長さ６ｃｍの立方体があります。立方体の３つの頂点を通る平面で切り、立方体から１つの三角すいを取り除いた、図１のような立体Ａを作りました。次の問いに答えなさい。ただし、すい体の体積は、「（底面積）×（高さ）÷３」で求めることができます。
（１）
解答用紙に立体Ａの展開図の一部がかかれています。
展開図の１つを完成させなさい。
（２）
立体Ａの①の面を底面として机に置き、真上から見ると１つの平面図形に見えました。
そのときの図形の名前を答えなさい。
１辺の長さが10ｃｍの立方体があります。立方体の３つの頂点を通る平面で切り、立方体から三角すいを取り除いた後、さらに立方体の３つの頂点を通る別の平面でもう一度切り、三角すいを取り除いた、立体Ｂを作りました。図２は立体Ｂの展開図です。ただし、図の等しい印は、等しい長さであることを表しています。
（３）
立体Ｂの体積は何ｃｍ3ですか。
（４）
立体Ａを①の面を底面として机に置き、立体Ｂを②の面を底面として机に置きます。
このときの、立体Ａと立体Ｂの高さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
＠解説＠
（１）
７面あって、足りないのは正方形。
正しい位置にあれば、どこでも正解。
（２）
奥にあった、３つの正方形の角が集まる●が一番上にくる。
●を中心に真上から眺めると、右のように３つの正方形が正六角形のように見える。
（３）
立方体の１辺の長さが、６ｃｍから10ｃｍに変わっていることに注意。
先ほどの切断から、さらにもう１回切断すると左の展開図となった。
ポイントは点対称。切断部分も点対称となり、同じような三角錐で反対側も切断する。
10×10×10－10×10÷２×10÷３×２＝2000/３ｃｍ3
（４）
２つの立体の高さの比を求める。
底面を下にした作図は手間がかかるので、そのままの状態から高さの比を考えてみよう。
辺の長さは違うが、底面とする正三角形は切断の仕方が同じ。
立方体の対角線に注目しよう。
立方体の大きさが違うので、対角線の長さも違うが、
この対角線は立方体の頂点を結ぶので、立方体と対角線の位置関係は２つとも変わらない。
面ＡＥＧＣを正面にして関係性を捉えよう。
断面を底面としたとき、ＯＥは高さにあたらないが、
求めたいのは”高さの比”なので、ＯＥの長さとの比が答えになりうる。
△ＢＯＣ∽△ＧＯＥ（∽＝相似）より、ＥＯ：ＯＣ＝２：１
１辺６ｃｍの立方体で、高さの比ＯＥは対角線の２/３倍。
同様に、面ＡＥＧＣで捉える。
△ＡＢＰ∽△ＧＥＰ、△ＡＣＱ∽△ＧＦＱなどから、
ＡＰ：ＰＱ：ＱＧ＝１：１：１
１辺10ｃｍの立方体で、高さの比ＰＱは対角線の１/３倍。
立体Ａの高さ：立体Ｂの高さ＝６×２/３：10×１/３＝４：10/３＝６：５
難関中（算数科）解説ページに戻る
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д｀)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい！
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ！
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
ＱＵＩＺ…☆４以上はムズいよ！
ｎｏｔｅも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのｎｏｔｅ
サボのツイッターはコチラ→
コメント