2008年度　西大和学園中学過去問【算数】大問４解説

問題ＰＤＦ
１月から毎月貯金をすることにしました。貯金を開始した月（１月）の貯金額は、2000円未満でしたが、２月からは、前の月の貯金額の５割増しで、１ヶ月あたりの貯金額を増やしていきました。このようにして１ヶ月あたりの貯金額を増やしながら貯金を続け、１ヶ月あたりの貯金額が貯金を開始してから初めて6000円以上となった月の次の月からは、貯金の仕方を変えて前の月の貯金額より500円引いて、１ヶ月あたりの貯金額を減らしながら貯金をしました。その後、１ヶ月あたりの貯金額を減らし始めてから、初めて１ヶ月あたりの貯金額が1000円未満になった月を最後にして、貯金をやめました。
ただし、貯金を始めてからやめるまでの間、貯金をしない月はないものとします。また、１ヶ月あたりの貯金額が、ひと月でも小数となるような貯金の仕方は、考えないものとします。
〔例〕例えば、１月に1800円を貯金したとすれば、下のようになります。

（１）
このような貯金の仕方において、１ヶ月あたりの貯金額が2000円以上3000円未満であった月は
何ヶ月あるか答えなさい。

（２）
このような貯金の仕方において、貯金を始めた１月の貯金額で考えられる最低金額を答えなさい。

（３）
このような貯金の仕方において、貯金の合計金額で考えられる最低金額を答えなさい。

2000円以上3000円未満で500の倍数は２つなので、
変更後に貯金額を－500円ずつ減らしていくと、この範囲に含まれる貯金額は２ヵ月。
計３ヵ月。

（２）
ポイントは『小数となるような貯金の仕方は考えない』こと。
はじめは５割増し、すなわち×３/２倍をして6000円以上に達するまで小数になってはダメ。
分母に２をかけ続けるから、整数を維持できる数はズバリ、２のベキ乗。
２、４、８、16、32、64、128、256、512、1024、2048…
貯金を始めた１月は2000円未満なので1024円以下のいずれか。

ここから貯金額が6000円以上となる最低ラインの見当をつける。
分子は３をかけ続けるので、３のベキ乗を並べていくと、
３、９、27、81、243、729、2187、6561…
３の８乗で6000円オーバーとなるので、答えは２の８乗である256円。

（３）
貯金の方法を変更した後は－500円と一定の額を引き続けるので、
変更後の貯金の回数を減らすために、変更時の貯金額は6000円以上で6000に近い数を目指す。
また、変更前の貯金の回数を減らすために、始めの貯金額は2000円未満で2000に近い数を目指す。

仮に変更時の貯金額を6000円として過去にさかのぼる。
6000×２/３＝4000
4000×２/３＝2666.66…
2666×２/３＝1777.33…　←2000未満

２/３倍を３回したので、はじめの１月の貯金額から３/２倍を３回おこなう。
すべてが整数になるには分母が２×２×２＝８だから、８の倍数を1778円～から探す。
→はじめの１月の貯金額は1784円。
変更前の貯金額は、〔1784・2676・4014・6021〕。
合計で14495円。

ここまでわかっても、そのあとも大変(;´･ω･)
6021円から500円ずつ引き、1000円未満に達した金額をすべて合算すればよいが、
計算量がヤバイ。
－500円の等差なので、なんとか工夫して処理したい。

変更後の初月は、6021－500＝5521円
－500を続けると下２桁は21で変わらないので、1000円未満のゴールは521円。
下２桁を無視して、5500÷500＝11回目が521となる。

521以下とそれより上に分離。
上の部分は500の等差で１～10の総和である55回の500がある。
500×55＋521×11＝500×５×11＋521×11＝3021×11＝33231
したがって、貯金の合計金額は、14495＋33231＝47726円
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