2008年度 西大和学園中学過去問【算数】大問4解説

1月から毎月貯金をすることにしました。貯金を開始した月(1月)の貯金額は、2000円未満でしたが、2月からは、前の月の貯金額の5割増しで、1ヶ月あたりの貯金額を増やしていきました。このようにして1ヶ月あたりの貯金額を増やしながら貯金を続け、1ヶ月あたりの貯金額が貯金を開始してから初めて6000円以上となった月の次の月からは、貯金の仕方を変えて前の月の貯金額より500円引いて、1ヶ月あたりの貯金額を減らしながら貯金をしました。その後、1ヶ月あたりの貯金額を減らし始めてから、初めて1ヶ月あたりの貯金額が1000円未満になった月を最後にして、貯金をやめました。
ただし、貯金を始めてからやめるまでの間、貯金をしない月はないものとします。また、1ヶ月あたりの貯金額が、ひと月でも小数となるような貯金の仕方は、考えないものとします。
〔例〕例えば、1月に1800円を貯金したとすれば、下のようになります。

(1)
このような貯金の仕方において、1ヶ月あたりの貯金額が2000円以上3000円未満であった月は
何ヶ月あるか答えなさい。

(2)
このような貯金の仕方において、貯金を始めた1月の貯金額で考えられる最低金額を答えなさい。

(3)
このような貯金の仕方において、貯金の合計金額で考えられる最低金額を答えなさい。


@解説@
(1)
例を見て感覚で答えられてしまう(;^ω^)
貯金額が6000円以上に達した月の翌月から貯金の方法を変更する。
変更前の貯金額で仮に2000円があったとしても、翌月の貯金額は2000×1.5=3000円だから、
変更前で2000円以上3000円未満の月は1ヵ月しかない

2000円以上3000円未満で500の倍数は2つなので、
変更後に貯金額を-500円ずつ減らしていくと、この範囲に含まれる貯金額は2ヵ月
計3ヵ月。

(2)
ポイントは『小数となるような貯金の仕方は考えない』こと。
はじめは5割増し、すなわち×3/2倍をして6000円以上に達するまで小数になってはダメ。
分母に2をかけ続けるから、整数を維持できる数はズバリ、2のベキ乗
2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048…
貯金を始めた1月は2000円未満なので1024円以下のいずれか。

ここから貯金額が6000円以上となる最低ラインの見当をつける。
分子は3をかけ続けるので、3のベキ乗を並べていくと、
3、9、27、81、243、729、2187、6561…
3の8乗で6000円オーバーとなるので、答えは2の8乗である256円。

(3)
貯金の方法を変更した後は-500円と一定の額を引き続けるので、
変更後の貯金の回数を減らすために、変更時の貯金額は6000円以上で6000に近い数を目指す。
また、変更前の貯金の回数を減らすために、始めの貯金額は2000円未満で2000に近い数を目指す。

仮に変更時の貯金額を6000円として過去にさかのぼる。
6000×2/3=4000
4000×2/3=2666.66…
2666×2/3=1777.33… ←2000未満

2/3倍を3回したので、はじめの1月の貯金額から3/2倍を3回おこなう
すべてが整数になるには分母が2×2×2=8だから、8の倍数
1778円~から探す。
→はじめの1月の貯金額は1784円。
変更前の貯金額は、〔1784・2676・4014・6021〕。
合計で14495円。

ここまでわかっても、そのあとも大変(;´・ω・)
6021円から500円ずつ引き、1000円未満に達した金額をすべて合算すればよいが、
計算量がヤバイ
-500円の等差なので、なんとか工夫して処理したい。

変更後の初月は、6021-500=5521円
-500を続けると下2桁は21で変わらないので、1000円未満のゴールは521円。
下2桁を無視して、5500÷500=11回目が521となる。

521以下とそれより上に分離。
上の部分は500の等差で1~10の総和である55回の500がある
500×55+521×11=500×5×11+521×11=3021×11=33231
したがって、貯金の合計金額は、14495+33231=47726円
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