2019年度 淑徳与野中学入試問題【算数】大問6解説

1辺の長さが8cmの正三角形を4枚はり合わせて、下の図のような立体ABCDを作りました。
点P、Q、Rはそれぞれ辺AB、AC、DCを3:1に分ける点です。
この立体を3点P、Q,Rを通る平面で2つに切り分けます。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
切り口の平面図形として最も適しているのものはどれですか。

(2)
切り口の平面図形のまわりの長さは何cmですか。

(3)
切り分けた2つの立体の表面積の差は、正三角形ABCの面積の何倍ですか。


@解説@
(1)
断面図の形を求めるので、断面図を作成。

見にくいアングルだが…断面とBD上の点をSとする。
PQから切り込んでいくと、PQとSRが平行になると感じられると思う。

正三角形は1辺の長さを確定すれば形が1つに決まるので、三角錐ABCDは正三角錐。
△ABCと△DBCに注目!
2つの
正三角形は合同で、1辺を④とすると、PQ=SR=③で等しい。

同様に、△BADと△CDAでは、PS=RQ=①で等しくなる。

つまり、断面の形は2組の対辺の長さが等しい→アの平行四辺形か、イの長方形。
△ABCを正面にとらえたとき、立体全体が左右対称の関係なので、イの長方形が答え。

↑このアングルが長方形と認識しやすいかな?(σ’д’)σ

(2)
先ほどの図で、④=8cm
PQ=8×3/4=6cm
PS=8×1/4=2cm
よって、長方形PQRSの周りの長さは、(6+2)×2=16cm

(3)
大きい立体と小さい立体の表面積の差を求める。
断面PQRSは等しいので相殺。差がでるのは正四角錘ABCDの表面積にあたる部分。

1つの面の面積を④×④=【16】として、断面を除いた小さい立体の表面積を求める。

断面除く小…(【16】-【9】+【1】)×2=【16】

正四面体ABCDの表面積は【16】×4=【64】
断面除く大…【64】-【16】=【48】

両者の表面積の差は【48】-【16】=【32】
したがって、表面積の差は△ABCの面積の、【32】÷【16】=2倍
難関中(算数科)解説ページに戻る


note書いています(*'ω'*)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA