2019年度 淑徳与野中学過去問【算数】大問6解説

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1辺の長さが8cmの正三角形を4枚はり合わせて、下の図のような立体ABCDを作りました。

点P、Q、Rはそれぞれ辺AB、AC、DCを3:1に分ける点です。
この立体を3点P、Q,Rを通る平面で2つに切り分けます。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
切り口の平面図形として最も適しているのものはどれですか。

(2)
切り口の平面図形のまわりの長さは何cmですか。

(3)
切り分けた2つの立体の表面積の差は、正三角形ABCの面積の何倍ですか。


@解説@
(1)
断面図の形を求めるので、断面図を作成。

見にくいアングルだが…断面とBD上の点をSとする。
PQから切り込んでいくと、PQとSRが平行になると感じられると思う。

正三角形は1辺の長さを確定すれば形が1つに決まるので、三角錐ABCDは正三角錐。
△ABCと△DBCに注目!
2つの
正三角形は合同で、1辺を④とすると、PQ=SR=③で等しい。

同様に、△BADと△CDAでは、PS=RQ=①で等しくなる。

つまり、断面の形は2組の対辺の長さが等しい→アの平行四辺形か、イの長方形。
△ABCを正面にとらえたとき、立体全体が左右対称の関係なので、イの長方形が答え。

↑このアングルが長方形と認識しやすいかな?(σ’д’)σ

(2)
先ほどの図で、④=8cm
PQ=8×3/4=6cm
PS=8×1/4=2cm
よって、長方形PQRSの周りの長さは、(6+2)×2=16cm

(3)
大きい立体と小さい立体の表面積の差を求める。
断面PQRSは等しいので相殺。差がでるのは正四角錘ABCDの表面積にあたる部分。

1つの面の面積を④×④=【16】として、断面を除いた小さい立体の表面積を求める。

断面除く小…(【16】-【9】+【1】)×2=【16】

正四面体ABCDの表面積は【16】×4=【64】
断面除く大…【64】-【16】=【48】

両者の表面積の差は【48】-【16】=【32】
したがって、表面積の差は△ABCの面積の、【32】÷【16】=2倍
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