問題ＰＤＦ
次の文章を読み、〔 ア 〕～〔 オ 〕にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。
Ａ君は、〔図３〕のような２枚の長方形の紙を利用して、１から20までの和を求めたところ、１＋２＋３＋･･･＋20＝〔 ア 〕となりました。
さらにＡ君は、１×１＋２×２＋３×３＋･･･20×20を求める方法を先生から教わりました。先生は正三角形の紙に〔図４〕のように、上から１段目に１を１個、２段目に２を２個、３段目に３を３個、･･･、20段目に20個書きました。そうすると、正三角形の紙に書かれた数の和を求めればよいことになります。
次に先生は、〔図４〕の紙を３枚用意し、〔図５〕のように並べました。
１枚目、２枚目、３枚目の上から１段目に書かれた３つの整数の和は〔 イ 〕です。
また、１枚目、２枚目、３枚目の上から２段目の左に書かれた３つの整数の和は〔 ウ 〕です。
このことに注目すると、
１×１＋２×２＋３×３＋･･･＋20×20＝〔 イ 〕×〔 エ 〕÷３＝〔 オ 〕となります。
＠解説＠
高校数学で習う２乗和の公式。
アは１～20までの和。
（１＋20）×20÷２＝210
ア…210
誘導に従う。
１段目（一番上）の合計は、１＋20＋20＝41になる。
イ…41
上から２段目の左に書かれた数字の和（一番上の左下）は、
２＋19＋20＝41
ウ…41
３枚の正三角形を重ね合わせると、すべて41。
41の個数は、１段目が１個。２段目が２個。３段目が３個…20段目が20個。
つまり、アで求めた1～20の和である210個の41がある。
エ…210
合計は正三角形３つを重複してカウントしているので、最後に÷３をする。
41×210÷３＝2870
オ…2870
１段目に１が１個、２段目に２が２個、３段目に３が３個‥20段目に20が20個つづく正三角形の和が１×１+２×２+３×３+…+20×20の値になるが、１枚の正三角形では総和を求められないので、120°回転させた２枚の正三角形を別に作り、３枚を合わせると全ての数が同じになることを利用する。
＠総和を求める公式＠
１乗和の公式（１＋２＋･･･ｎ）＝ｎ（ｎ＋１）/２
２乗和の公式（１×１＋２×２･･･ｎ×ｎ）＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）/６
↑１乗和の公式を使い、本問の考えで計算するとこのようになる。
３乗和の公式（1×1×1＋2×2×2＋ｎ×ｎ×ｎ）＝{ｎ（ｎ＋１）/２}2
３乗和は１乗和の値を２回かけるだけで出せてしまう。
（ex.１～20までの３乗和の場合。１～20の１乗和が210だから、３乗和は210×210＝44100）
３乗和でも幾何の発想で公式を導くことができます。詳しくはコチラ→ロボット・ＩＴ雑食日記
３乗和が１乗和の２乗。
２乗ということは正方形の面積で考える。
１×１×１が青の正方形。
２×２×２は２×２の正方形が２つあり、１つを半分にわけてくっつけると、
青＋緑の正方形の面積となる。
３×３×３は３×３の正方形を３つくっつける（オレンジ）。
４×４×４は４×４の正方形が４つあり、１つを半分にわけてくっつける（赤）。
全体の正方形をみると、１辺が１の正方形、１＋２の正方形、１＋２＋３の正方形、１＋２＋３＋４の正方形…と広がっていくので、３乗和は１乗和の２乗となる。
面白い発想ですね(*’ω’*)
江戸川取出で３乗和の問題が出題されています。
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