2019年度 浅野中学入試問題【算数】大問2解説

次の文章を読み、〔 ア 〕~〔 オ 〕にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

 A君は、〔図3〕のような2枚の長方形の紙を利用して、1から20までの和を求めたところ、1+2+3+・・・+20=〔 ア 〕となりました。
 さらにA君は、1×1+2×2+3×3+・・・20×20を求める方法を先生から教わりました。先生は正三角形の紙に〔図4〕のように、上から1段目に1を1個、2段目に2を2個、3段目に3を3個、・・・、20段目に20個書きました。そうすると、正三角形の紙に書かれた数の和を求めればよいことになります。

次に先生は、〔図4〕の紙を3枚用意し、〔図5〕のように並べました。

1枚目、2枚目、3枚目の上から1段目に書かれた3つの整数の和は〔 イ 〕です。
また、1枚目、2枚目、3枚目の上から2段目の左に書かれた3つの整数の和は〔 ウ 〕です。
このことに注目すると、
1×1+2×2+3×3+・・・+20×20=〔 イ 〕×〔 エ 〕÷3=〔 オ 〕となります。


@解説@
高校数学で習う2乗和の公式。
アは1~20までの和。
(1+20)×20÷2=210
ア…210

誘導に従う。
1段目(一番上)の合計は、1+20+20=41になる。
イ…41

上から2段目の左に書かれた数字の和(一番上の左下)は、
2+19+20=41
ウ…41

3枚の正三角形を重ね合わせると、すべて41。

41の個数は、1段目が1個。2段目が2個。3段目が3個…20段目が20個。
つまり、アで求めた1~20の和である210個の41がある。
エ…210

合計は正三角形3つを重複してカウントしているので、最後に÷3をする。
41×210÷3=2870
オ…2870

1段目に1が1個、2段目に2が2個、3段目に3が3個‥20段目に20が20個つづく正三角形の和が1×1+2×2+3×3+…+20×20の値になるが、1枚の正三角形では総和を求められないので、120°回転させた2枚の正三角形を別に作り、3枚を合わせると全ての数が同じになることを利用する。

@総和を求める公式@
1乗和の公式(自然数nまでの総和)…n(n+1)/2
2乗和の公式(1×1+2×2・・・n×n)…n(n+1)(2n+1)/6
↑1乗和の公式を使い、本問の考えで計算するとこのようになる。

3乗和の公式(1×1×1+2×2×2+n×n×n)…{n(n+1)/2}2
3乗和は1乗和の値を2回かけるだけで出せてしまう。
(ex.1~20までの3乗和の場合。
 1~20の1乗和が210だから、3乗和は210×210=44100)
3乗和でも幾何的な発想で公式を導くことができます。
詳しくはコチラ→ロボット・IT雑食日記


3乗和が1乗和の2乗。
2乗ということは正方形の面積で考える。
1×1×1が青の正方形。
2×2×2は、2×2の正方形が2つあり、1つを半分にわけてくっつけると、
青+緑の正方形の面積となる。
3×3×3は、3×3の正方形を3つくっつける(オレンジ)。
4×4×4は、4×4の正方形が4つあり、1つを半分にわけてくっつける(赤)。

全体の正方形をみると、1辺が1の正方形、1+2の正方形、1+2+3の正方形、1+2+3+4の正方形…と広がっていくので、3乗和は1乗和の2乗となる。
なかなかおもろい発想ですな(*’ω’*)
難関中(算数科)解説ページに戻る


note書いています(*'ω'*)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA