2022年度　栄東中学過去問・東大特待【算数】大問４解説

問題ＰＤＦ
栄くんは次の問題に取り組んでいます。

栄くんが悩んでいると、東さんが「三角形ＯＡＢと合同な三角形をあと３つ用意して、
敷き詰めてみたらどうかな？」と言って、次の図をかいてくれました。

（１）
東さんがかいた図において、三角形ＯＰＱの面積を求めなさい。

（２）
栄くんが取り組んでいた問題に答えなさい。


（３）
角ＯＡＢ＝120°、辺ＡＢ＝５ｃｍの二等辺三角形ＯＡＢの辺ＡＢ上にＡＰ＝１ｃｍ、ＰＢ＝４ｃｍとなる点Ｐをとり、辺ＯＢ上に角ＯＰＴ＝30°となる点Ｔをとります。このときＯＴとＴＢの長さの比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（１）

合同よりＯＰ＝ＯＱ、●＋×＝90°から∠ＰＯＱ＝90°
△ＯＰＱは直角二等辺三角形で、これを４つならべた四角形ＰＱＲＳは正方形。

正方形ＡＢＣＤから外側の４つの直角三角形をひくと正方形ＰＱＲＳで、
これを４等分すると直角三角形ＯＰＱとなる。
（５×５－１×４÷２×４）÷４＝17/４ｃｍ²

（２）

△ＯＰＱと△ＢＰＱに着目する。
底辺がＰＱで共通するので、高さの比がＯＴ：ＴＢにあたる。
ＯＴ：ＴＢ＝△ＯＰＱ：△ＢＰＱ＝17/４：２＝17：８

（３）

前問の誘導にしたがって合同図形を敷き詰める。
二等辺ＯＡＢは底角が30°。
これを３つ敷き詰めると３つの内角が60°だから△ＡＢＣは正三角形。
合同でＯＰ＝ＯＱ、△ＯＰＱは底角が30°の二等辺⇒同様に△ＰＱＲも正三角形。

ＯＴ：ＴＢは底辺ＰＱが共通ゆえ、△ＯＰＱと△ＢＰＱの高さの比に相当する。
面積比で対処する。
△ＢＰＱ…４×１＝４
△ＯＰＱ…（△ＡＢＣ－外側の３つの三角形）÷３＝（５×５－４×１×３）÷３＝13/３
ＯＴ：ＴＢ＝13/３：４＝13：12
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