2022年度 栄東中学過去問・東大特待【算数】大問4解説

栄くんは次の問題に取り組んでいます。

栄くんが悩んでいると、東さんが「三角形OABと合同な三角形をあと3つ用意して、
敷き詰めてみたらどうかな?」と言って、次の図をかいてくれました。

(1)
東さんがかいた図において、三角形OPQの面積を求めなさい。

(2)
栄くんが取り組んでいた問題に答えなさい。


(3)
角OAB=120°、辺AB=5cmの二等辺三角形OABの辺AB上にAP=1cm、PB=4cmとなる点Pをとり、辺OB上に角OPT=30°となる点Tをとります。このときOTとTBの長さの比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。


@解説@
(1)

合同よりOP=OQ、●+×=90°から∠POQ=90°
△OPQは直角二等辺三角形で、これを4つならべた四角形PQRSは正方形

正方形ABCDから外側の4つの直角三角形をひくと正方形PQRSで、
これを4等分すると直角三角形OPQとなる。
(5×5-1×4÷2×4)÷4=17/4cm2

(2)

△OPQと△BPQに着目する。
底辺がPQで共通するので、高さの比がOT:TBにあたる
OT:TB=△OPQ:△BPQ=17/4:2=17:8

(3)

前問の誘導にしたがって合同図形を敷き詰める。
二等辺OABは底角が30°。
これを3つ敷き詰めると3つの内角が60°だから△ABCは正三角形
合同でOP=OQ、△OPQは底角が30°の二等辺⇒同様に△PQRも正三角形

OT:TBは底辺PQが共通ゆえ、△OPQと△BPQの高さの比に相当する。
面積比で対処する。
△BPQ…4×1=4
△OPQ…(△ABC-外側の3つの三角形)÷3=(5×5-4×1×3)÷3=13/3
OT:TB=13/3:4=13:12
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