2022年度 栄光学園中学過去問【算数】大問2解説

図1のようなすごろくと、1、2、3、4のいずれかの目が出るルーレットがあります。

スタートにあるコマを、以下のルールで、ゴールにぴったり止まるまで動かします。

●ルーレットを回して出た目の数だけ右に動かします。
●ゴールにぴったり止まれない場合は、ゴールで折り返して、
 余った分だけ左に動かします。
●折り返した後も、次にルーレットを回したとき、まずは右に動かします。
●一度止まった①~④のマスは「スタートに戻る」マスになり、
 次以降にそのマスに止まった場合は、コマをスタートに戻します。

例えばルーレットの目が1、3、4の順に出たとき、コマは、①マス、④マスの順に止まった後、
ゴールで折り返して②マスに止まります(図2)。

続いて、ルーレットの目が1、1の順に出ると、コマは、③マス、④マスの順に止まり、
④マスはすでに「スタートに戻る」マスになっているので、スタートに戻ります(図3)。
これ以降、ルーレットでどの目が出てもスタートに戻ることになり、ゴールできません。

(1)
ルーレットで3と4の目が出ることなくゴールしました。
(ア)スタートに戻ることなくゴールしたとき、考えられる目の出方は何通りありますか。

(イ)ゴールするまでに出た目の和として考えられるものを、小さい方から3つ答えなさい。

(2)
ルーレットで1と2の目が出ることなくゴールしました。
(ア)スタートに戻ることなくゴールしたとき、
ゴールするまでに出た目の和として考えられるものをすべて答えなさい。

(イ)ゴールするまでに出た目の和が2022のとき、何回ルーレットを回しましたか。

(3)
スタートに戻ることなくゴールしました。
このとき、ゴールするまでに出た目の和として考えられるものをすべて答えなさい。

(4)
ゴールしたとき①~④のすべてのマスが「スタートに戻る」マスになっていて、
ゴールするまでに出た目の和は12でした。
このとき、考えられる目の出方は何通りありますか。


@解説@
(1)ア
1か2しか進まず、スタートに戻らない。
出た目の和が5になればいい
(1、1、1、1、1
)→1通り
(1、1、1、2)→4通り
(1、2、2)→3通り
合計で8通り。


和が最も少ない場合は前問の5。
折り返すことなく、ストレートにゴールすればいい。

和を5より大きくするにはゴールで折り返す。
④マスで1を出すとそのままゴール、2を出すと折り返してスタートに戻る。
和を増やすには、
④で止まってスタートに戻るマスにして、折り返して④でスタートに戻る
再スタートから③に止まり、2を出せばゴール。
折り返しの④までが6。再スタートで+5して11。
【例】S(スタート)→②→④→④→S→①→③→G(ゴール)

次に和が大きくなるルートは、スタートに戻ったあとにまたスタートに戻る。
2周目にマス①でスタートに戻れたら和を小さくできるが…

1周目に①に止まる。どうにかして④まで行き、2を出して④、スタートへ戻る。
2周目は①に止まってスタートへ。
3周目は③で2を出して④を飛び越えないとゴールできない
すなわち、1周目ではゴール用にマス③を残しておく!(③に止まらない)
そうなると、1~2周目は①→②→④→④→S→①→Sの流れになるが
①と②が潰されているので、3周目で③に行けない
2周目に①でスタートに戻るプランは潰された。

1周目で②に止まり、2周目で②でスタートに戻るとできる。
和は6+2+5=13
答えは小さい順に5、11、13。

(2)ア
3か4しか出せない。和が5にならないのでストレートにゴールできない。

フィニッシュの仕方から考える。②で3を出せばゴールに行ける。

②に着くには④で4を出すしかない
和は11。

①から4でフィニッシュしようとしても、5を出さないと①にたどり着けない。
②からフィニッシュするしかない

④にたどりつく別のルートを探す。
1周目で③に迂回して④を目指す。
和は13。

他にないか探してみる。
最後が〔④→②→G〕。3か4のみで④にたどり着く方法がもう無い
よって、11と13。
まだ3問目だがキツイ(´д`)



スタートに戻らなければ、この2通りしかなかった。
最後は〔④→②→G〕が確定だから、ゴール用に②と④は残しておかなければならない

3か4しか進めない状況でどうにかするにはココしかない!
つまり、スタートから3進んで③、③がスタートに戻るマスになる。
4を出して③に戻り、スタートに戻る。スタートから3進んで③でスタートに戻る…
以下、ひたすら3を出し続けて、スタートと③を往復する
最後に〔④→②→G〕でフィニッシュ!

出た目でまとめると、【3→4】【3→3→…(ループ)…→3】【4→4→3】
2022から最初と最後の5回分の出目を引く。
2022-(3+4+4+4+3)=2004
ループの3の回数は、2004÷3=668回
ルーレットの回数は、668+5=673回

(3)
(1)(2)アより、5と11と13は手堅くゲット。
他にないだろうか?

ゴールからの折り返し分で増えていくので、どこまで折り返すかで場合分けしてみる。
④は7、③は9、②は11。①までは折り返せないので×
②と④の折り返しが13であった。

残りの候補としては〔②と③と④〕と〔②と③〕と〔③と④〕。
〔②と③〕は無い!
②から折り返して③は5マス、③から折り返して②も5マスだから不可能。
〔②と③と④〕も無い!
折り返し後の着地点を③→④→②や②→④→③と④をクッションに挟もうとしても無理。

〔③と④〕はどうか?

できるけど和が既出の11…( ˙ω˙ )
よって、答えは5、7、9、11、13です( ˙ω˙ )

(4)
この大問だけで試験時間終わりそうなのだが(*’ω’*)💢
具体的にどのマスに止まったかは後回しにして、先に和が12になるルートを把握する

(3)より、スタートに戻ることがないとすると
5・7・9・11・13と
連続する5つの奇数になっている。
和が12ということは、どこかのマスを2回踏んでスタートに戻るしかない

2周目がストレートゴールだとすると、1周目は12-5=7移動する。
スタートから7マス移動してゴールから折り返すと
1周目で③で止まってスタートに戻るマスにして、折り返して③でスタートに戻る。
方針1;【③③】の固まりを作る。最終的に全部のマスへ止まるようにする。
●S【③③】S①②④G
●S①【③③】S②④G
●S②【③③】S①④G
●S①②【③③】S④G

方針2;1周目の③→③のあいだで④を挟むことができる。
2周目は①か②から直接ゴールへ飛ぶ。【③④③】の固まりを作る。
●S【③④③】S①②G
●S①【③④③】S②G
●S②【③④③】S①G
*S
①②【③④③】SGはできない。
2周目でSからGに直接ジャンプができないため。

先ほどは③でスタートに戻るだった。②で戻るはどうか?

和が13になるのでダメです!×

④で戻るはどうか?
1周目で和が6。残りは6。
SからGまで5だから、どこかで1つ暇を潰さなくてはならない
プランとしては…1周目で①に止まり、スタートに戻るマスにする。
④に止まり、ゴールを折り返して④に止まり、スタートへ。
2周目は①に止まってスタートへ。
3周目は②か③を踏み台にしてゴールへ向かう。

方針3;1~2周目で〔①④④①〕の固まりを作る。
●S①④④S①S②③G

方針4;〔①④④①〕の並びを維持して、1周目で②か③を踏む。
●S①②④④S①S③G
●S①③④④S①S②G
*1周目でS①②③④④Sと全部踏むと3周目でゴールできない。

もう無いと祈る。
10通り。
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