2018年度 フェリス女学院中学入試問題【算数】大問3解説

四角形ABCDを、(あ)図のように矢印の向きに回転させ、四角形EFGDと重ねるように動かすことを、「四角形ABCDを点Dのまわりに、時計まわりに90°回転させる」といいます。
次のア、イ、ウにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

(1)
(い)図は、ある四角形を点Oのまわりに、時計まわりに90°回転させるとき、その四角形が通るところを表したものです。曲線PRは点Oを中心とする円の一部です。3つの点Q、O、Rは一直線上にならんでいます。また、直線PQの長さと直線QOの長さは等しいです。この四角形の角のうち、最も小さい角の大きさは〔 ア 〕°です。

(2)
(い)図は、(1)とは別の四角形を点Oのまわりに時計まわりに(  )°回転させたとき、その四角形が通ったところを表したものと考えることもできます。(  )にあてはまる数のうち、最も小さいものは〔 イ 〕°で、そのときの四角形の角のうち、最も小さい角の大きさは〔 ウ 〕°です。


@解説@
(1)
回転させた図形の軌跡ではなく、軌跡から回転させた図形を求める。

四角形の頂点のうち、O・P・Qは確定している。
残る頂点をSとし、Sが弧PR上のどこにくるかを判定する。

90°回転させるので、∠SOR=90°
SはOの真上にくる

POに補助線、△PQOは二等辺なので、
∠POQ=(180-120)÷2=30°
△PSOは頂角を60°とする二等辺三角形→すなわち、正三角形。
四角形PQOSの角のうち、最も小さい∠PSO=60°

(2
回転させる角度を最小にする。
残りの頂点をTとしたとき、Tは弧PR上のどこにくるか。

配慮すべきは弧PR
TがRに近づくほど、回転させるべき角度は小さくなるが、
あまり近づけすぎるとPの移動距離が短くなり、Tの左側が開いてしまう。
そこで、PとRの真ん中(∠PORの二等分線上)にTを配置する
回転すべき角度→∠TOR=(180-30)÷2=75°

△OPTは二等辺。
四角形PQOTの角のうち、最も小さい∠PTO=(180-75)÷2=52.5°
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