2024年度 栄東中学・東大特待過去問【算数】大問1解説

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(1)

マヨネーズとケチャップを混ぜてつくったソースをオーロラソースといいます。東さんはマヨネーズとケチャップを3:1の割合で混ぜてつくったオーロラソースAと、1:1の割合で混ぜてつくったオーロラソースBをそれぞれビンに入れて冷蔵庫で保管していました。
 ある日、東さんはマヨネーズとケチャップを3:2の割合でつくるとおいしいと聞いたので、
AとBを〔  〕:〔  〕の割合で混ぜることで、マヨネーズとケチャップの割合が3:2の
オーロラソースをつくりました。もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(2)
あるケーキ屋では、500円のケーキと300円のカヌレと100円のクッキーを販売しています。
ある日の売り上げは26200円で、カヌレはケーキより多く、ケーキはクッキーより多く売れました。
また、カヌレの売れた数はクッキーの売れた数の2倍より1個少ない個数でした。
カヌレは〔  〕個売れました。

(3)
1辺の長さが1cmの正七角形と、7cmの長さの糸があります。
糸の端を点Aに固定し、正七角形の周りに巻き付けました。
その糸をたるまないように図の位置までほどいたところ、糸が通った部分は、
影のついた部分になりました。その部分の面積は〔  〕cm2です。

(4
入学式の日に新入生を迎える教室をデコレーションするのに、栄くんと東さんの2人では30分、東さんと中さんの2人では40分かかります。ある教室で東さんが35分作業したところで、栄くんと中さんも加わって3人で作業をしたところ、その10分後に仕上がりました。栄くん、東さん、中さんの3人で最初から最後まで作業すると〔  〕分かかります。

(5)
栄くんと東さんは同じ道を通って学校から駅まで歩きます。東さんが学校を出発した2分後に栄くんも歩いて駅に向かいました。栄くんは出発してから4分後に東さんに追いつきましたが、そこで忘れ物をしたことに気付き、すぐに学校に向かって走って引き返しました。栄くんが学校に着いてから再び出発するまでに3分かかり、走って駅に向かったところ、東さんより2分遅く駅に到着しました。栄くんと東さんが歩く速さはそれぞれ一定で、栄くんが走る速さは栄くんが歩く速さの2倍でした。東さんは学校を出発してから駅に到着するまでに〔  〕分〔  〕秒かかりました。

(6)
下の四角形ABCDは正方形です。点Eと点Fはそれぞれ辺AB、辺CDの真ん中の点で、
AG:GD=1:2、BH:HC=2:1です。
影のついた部分の面積は、正方形の面積の〔  〕倍です。


@解説@
(1)

Aのマヨ:ケチャ=③:①
Bのマヨ:ケチャ=△1:△1
AとBを合わせたらマヨ=3g、ケチャ=2gになったとする

消去算。
  ③+△1=3
-)①+△1=2
 ②   =1
①=0.5
③=1.5、△1=2-0.5=1.5g

Aを2g、Bを3g混ぜればよい。
A:B=2:3

(2)
情報整理。
ケーキ…500円、カヌレ…300円、クッキー…100円、売り上げ…26200円
販売個数はカヌレ>ケーキ>クッキーで、カヌレはクッキーの2倍より1個少ない。
『1個少ない』が気持ち悪いので、もう1個カヌレが売れたとする
売り上げは、26200+300=26500円

クッキーを〇個とすると、カヌレは2倍で〇〇個。
【カヌレ×2+クッキー】をセットでまとめる
セット料金は300×2+100=700円、セットの個数はクッキーと同じ〇個
ケーキを△個で表すと、

700×〇+500×△=26500 ←÷100
7×〇+5×△=265
カヌレ(〇〇)>ケーキ(△)>クッキー(〇)

265の一の位5から〇は5の倍数である
〇=5のとき、△=(265-7×5)÷5=46
(〇、△)=(5、46)
7と5は互いに素→〇=5と△=7の交換で等式が維持されるのでどんどん交換していくと、
(〇、△)=(5、46)(10、39)(15、32)(20、25)(25、18)…
条件より、△は〇より大きく、〇〇より少ないので、(〇、△)=(20、25)しかない
求めたいカヌレは〇〇個で、実際は仮定より1個少ないから、20×2-1=
39個

(3)

多角形の外角の和は360°
正七角形だから、1つの外角はいずれも360/7°で等しい
中心角360°は円→中心角360/7°は1/7円である。
面積は、(1×1+2×2+3×3+4×4+5×5+6×6+7×7)×3.14÷7
=140×3.14÷7
=20×3.14=62.8cm2

(4)

1分あたりの仕事量は、
栄+東=1/30
中+東=1/40
個別の仕事量がわからない。。

そこで、3人の10分を個別に分割する。
栄+東の10分は、1/30×10=1/3
前半の東35分から10分を持ってきて、中10分とくっつける
中+東の10分は、1/40×10=1/4
東25分の仕事量は、1-(1/3+1/4)=5/12
1分あたりの東は、5/12÷25=1/60

1分あたりの栄…1/30-1/60=1/60
1分あたりの3人…1/60+1/40=1/24
3人でかかる時間は、1÷1/24=24分

(5)

ダイヤグラムで整理する。
栄が東に追いつく地点まで、時間の比は東:栄=6分:4分=3:2
速さは逆比で、東:栄(歩)=②:③
その後、栄は2倍速で走る→栄(走)=⑥
栄が学校まで戻る時間は、4×3/6=2分

栄が東に追いついた地点の距離は不明。
距離一定が使えるのは学校~駅なので、全体の時間に着目する。
速さの比→東:栄(走)=①:③
時間の比は逆比。東の時間を【3】とすると、栄のラストスパートは【1】。
【3】+2=11+【1】
【2】=9
求めたいのは東の【3】だから、9×3/2=13.5分=13分30秒

(6)
問題集によく掲載される典型題。

勾配が等しく、BGとHDは平行。
赤線の三角形に着目して、辺の比は①:③。

同様にAFとECも平行。
赤線の三角形で、辺の比は③で等しい。

図形全体が点対称なので、下にも③、①がある。
正方形の面積を1とすると、BH:HC=2:1より平方四辺形GBHDは2/3。
BGとHDが平行だから、上底と下底の和が使える
斜線部分の面積比は、2/3×(③×2)/(⑦×2)=2/7
正方形の2/7倍。
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