2018年度 フェリス女学院中学過去問【算数】大問4解説

図のように、立方体ABCDEFGHがあります。

点L、M、Nは、それぞれ辺BC、辺AB、辺ADの真ん中の点です。
次の問いに答えなさい。

(1)
この立方体の辺の上や頂点に点Pをとります。
三角形ABPが二等辺三角形になるような、点Pのとり方は何通りありますか。

(2)
この立方体を、3つの点L、N、Gを通る平面で切ったとき、2つに分かれた立体の表面積の差は、もとの立方体の表面積の〔 ア 〕倍です。また、2つに分かれた立体の体積の差は、もとの立方体の体積の〔 イ 〕倍です。ア・イにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

(3)
この立方体の1辺の長さを6cmとします。この立方体を3つの点M、N、Gを通る平面で切ったとき、切り口の形は〔 ウ 〕です。頂点Aを含む方の立体の体積は〔 エ 〕cm3です。
ウにはてはまる図形を次の①~④から選び、エにあてはまる数を答えなさい。
①三角形 ②四角形 ③五角形 ④六角形


@解説@
(1)

二等辺三角形の3辺のうち、どことどこの辺が等しくなるか。
3つのパターンに場合分けしよう。
AP=BPは、上の青枠の面上にくるとき。
Mは直線AB上になので、三角形が形成されない。
7通り

(2)
ケアレス注意!

まずは、切断された2つの立体の表面積の差を求める。
同じ面積は相殺する
四角形ABFE=四角形DCGH
四角形ABLN=四角形NLCD
四角形LGHN(切断面)

差が生まれるのは、前後と底面だけ
BLの長さを1とすると、立方体の1辺は2。
四角形BFGL:四角形LGC=1+2:1=③:①
(高さが等しいので、上底+下底で面積比を求める)
差は②で、前後の合計の差は④。
底面は2×2=④
差の合計は⑧

立方体の表面積は2×2×6=
⑧/=1/3倍
ア…1/3

@@
体積はもっと簡単。
柱体なので、体積比は四角形BFGL:四角形LGC=③:①
差は②。
立方体の体積は④なので、②/④=1/2倍
イ…1/2

(3)

ダイヤモンド型になる→③五角形

Aを含む方の体積を求める。
A側をダイレクトに求めることもできるが、延長したときに3つ外にでるので、
C側を求めてから、あとで立方体から引く。

△MAN∽△ODN→辺の比は1:1
ここからOD=3cm
△ODI∽△GHI→辺の比は1:2
ここから、DI=2cm
以上の関係はP方面も同様。

C側の体積は、
9×9÷2×6÷3-3×2÷2×3÷3×2
=81-6=75cm3

よって、A側の体積は、
6×6×6-75=141cm3

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