2018年度 海城中学入試問題【算数】大問4解説

図1のように、中心が点Pで半径1cmの円Pと、中心が点Qで半径2cmの円Qがあります。
円Pの周上には2点A、Bが、円Qの周上には点Cがあり、角APBは90°です。
この2つの円を図2のように、点Bと点Cが重なるように置き、
円Pを円Qの内側をすべらないように、矢印の方向へ転がします。

(1)
図3のように、角CQPが45°になるまで転がしたとき、
点A、Bの位置を解答用紙の図にかき入れなさい。

(2)
角CQPが60°になるまで転がしたとき、角BPQの大きさを求めなさい。

(3)
円Pが円Qの内側をちょうど1周してもとの位置に戻ってくるまでに、
点Bの動いた道のりを求めなさい。


@解説@
(1)
位置関係の把握。
円Qに内接するように円Pを45°回転する。
2つの円が接した弧の部分に注目!

スタート~45°まで円Pが移動したとき、
円Pが円Qと接した緑の弧の長さが等しくなる。
円Pの半径は1cm、円Qの半径は2cmで、円周の比は円P:円Q=1:2
円Qの円周における8分の1円(中心角45°)は、円Pの4分の1円に相当する
つまり、円Pでいえば、B(C)からAの弧の長さとなる。
→Aが移動先の円P’において円Qと接する点。

QPを延長して、円Qの円周との交点がA。
そこから時計回りに90°のところにB。
△PBQが45°-45°-90°の直角二等辺三角形で、
半径AP=BP=QPから、△ABQも直角二等辺とわかる。
すなわち、∠ABQ=90°で、ABとQCが垂直の関係。
BはQC上にあり、円Pの円周と線分QCの交点にあたる。

(2)
円Pを60°回転させる。

円Qと移動先の円P’の接点をD’とする。
2本の緑の弧は同じ長さ。
弧BD’は円Qの6分の1円だから、スタート地点の円PにおいてDBは円Pの3分の1円。
∠DPB=120°
∠DPA=120-90=30°
すなわち、Dから時計回りに30°の場所にAがある。

これは移動先の円P’でも同様。
D’から時計回りに30°がA’→∠D’P’A’=30°
∠APB=90°の位置関係も同様→∠A’P’B’=90°
∠B’P’Q’=180-(30+90)=60°

(3)
点Bがどのような軌跡をたどるか(;`ω´)
点Bは円Qに内接しながら回転する円Pの円周上の点。
前問の結果を見てみよう。

円Pが45°移動したとき、Bの移動先B’はQC上にいた。

円Pが60°移動したとき、B’はQC上で先ほどと比べて左側にいそうな気がする…。
∠P’QB’=∠B’P’Q=60°なので、△P’B’Qは正三角形。
B’はPと重なる…

Bは真横に移動してんじゃあ・・?

P2は90°動いたとき。円Q4分の1回転→円P2分の1回転。
Bの反対側の点が点Qに接して真上にくるので、Bは真下(円Qの中心)にくる。

P3は180°動いたとき。円Q2分の1回転→円P1回転。
Bが円Qに接するので、Bは左側にくる。

P4は270°動いたとき。円Q4分の3回転→円P3分の2回転。
Bの反対側の点が点Qに接して真下にくるので、Bは真上(円Qの中心)にくる。

結局、Bは円Qの直径を往復する。
したがって、8cm。

@トロコイド曲線@
本問はたまたま直線でありがたかったが、
円を曲線の図形に沿ってクルクルと回転させたとき、
回転させた円の定点の軌跡をトロコイド曲線という。


外側をコロコロ回転すると外トロコイド、内側をコロコロ回転すると内トロコイド。
上の例では、小円の半径の中点を定点として、その軌跡を描いています。
こういう幾何学もあるんですねぇ(゚Д゚)ホゥ

これはおもちゃですが、トロコイドを用いた歯車はオイルポンプに使われているようです。
幼稚園の思ひ出、スピログラフ( ´艸`)
これもトロコイドでできていたのですね。
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