2018年度　海陽中等教育学校・特別給費過去問【算数】大問４解説

問題ＰＤＦ
クラスで委員を決めることになりました。Ａさん、Ｂさん、Ｃさんの３人が候補者で、
クラスの10人が候補者３人に１位から３位までの順位を決めて投票しました。
結果は
１位Ａさん、２位Ｂさん、３位Ｃさん　の票が５票
１位Ｂさん、２位Ｃさん、３位Ａさん　の票が３票
１位Ｃさん、２位Ａさん、３位Ｂさん　の票が２票
となりました。
それぞれの順位ごとに点数を決めて、合計点の一番多い人が委員になることにしました。
点数はすべて異なる整数で、１位が一番大きく、３位が一番小さくなるように決めます。
（１）
１位には５点、２位には３点、３位には１点と点数を決めたとき、
３人の合計点をそれぞれ答えなさい。

（２）
Ａさんの合計点が37点、Ｂさんの合計点が30点、Ｃさんの合計点が23点でした。
１位から３位の点数はそれぞれ何点でしたか。

（３）
Ｂさんの合計点がＡさんの合計点を超えることがありますか。
超えることがあれば１位から３位の点数の例をあげ、超えることがなければ理由を答えなさい。

（４）
Ｃさんの合計点がＡさんの合計点を超えることがありますか。
超えることがあれば１位から３位の点数の例をあげ、超えることがなければ理由を答えなさい。

（２）
今度は３人の点数から１～３位の点数をあてる。
算数で数学の使用がタブーなのは重々承知なのですが…
本問は文字式と考え方が同じなので使わせてください(´ﾟдﾟ｀)ｗﾓｳｼﾜｹ~

１位をｘ点、２位をｙ点、３位をｚ点とする。（小学生に教えるときは○・△・×に代替）
Ａ：５ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝37点
Ｂ：３ｘ＋５ｙ＋２ｚ＝30点
Ｃ：２ｘ＋３ｙ＋５ｚ＝23点

ここからどうすべきか(´～｀)
３つの式を合計すると、
10ｘ＋10ｙ＋10ｚ＝90点
ｘ＋ｙ＋ｚ＝９点

合計点の少ない、Ｃの式に注目。
２ｘ＋３ｙ＋５ｚ＝23点
－)２ｘ＋２ｙ＋２ｚ＝18点　←先ほどの式を２倍してる
ｙ＋３ｚ＝５点
問題文からｘ＞ｙ＞ｚなので、ｙ＝２点、ｚ＝１点しかない。
ｘ＝９－（２＋１）＝６点
よって、１位…６点、２位…２点、３位…１点。

（３）
再掲。
１位ｘ点、２位ｙ点、３位ｚ点（ｘ＞ｙ＞ｚ）
Ａ：５ｘ＋２ｙ＋３ｚ
Ｂ：３ｘ＋５ｙ＋２ｚ
ＢがＡを超えることはあるだろうか？
比較してみると、ＡはＢより２ｘ＋ｚ大きく、ＢはＡより３ｙ大きい。
ということで、ｘとｙの差を小さくし、ｙとｚの差を大きくしてみる。

【１位…100点、２位…99点、３位…１点】
Ａ：５×100＋２×99＋３×１＝701点
Ｂ：３×100＋５×99＋２×１＝797点
ＢがＡを超えてる。

（４）
再掲。
１位ｘ点、２位ｙ点、３位ｚ点（ｘ＞ｙ＞ｚ）
Ａ：５ｘ＋２ｙ＋３ｚ
Ｃ：２ｘ＋３ｙ＋５ｚ
比較すると、ＡはＣより３ｘ大きく、ＣはＡよりｙ＋２ｚ大きい。

３ｘとｙ＋２ｚを比較する。
３つのｘと、１つのｙと２つのｚで、文字の数はどちらも３個ずつ。
そこで、３ｘ＝ｘ＋２ｘに分割して比べてみよう。

ｘ＞ｙ＞ｚより、
ｘとｙの比較→ｘ＞ｙ…①
２ｘと２ｚの比較→２ｘ＞２ｚ…②
①＋②から、３ｘ＞ｙ＋２ｚ
したがって、ＣがＡを超えることはない。
*文字式サイコー! ( 厂˙ω˙ )厂うぇーい‬
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