2018年度 海陽学園中学・特別給費過去問【算数】大問4解説

クラスで委員を決めることになりました。Aさん、Bさん、Cさんの3人が候補者で、
クラスの10人が候補者3人に1位から3位までの順位を決めて投票しました。
結果は
1位Aさん、2位Bさん、3位Cさん の票が5票
1位Bさん、2位Cさん、3位Aさん の票が3票
1位Cさん、2位Aさん、3位Bさん の票が2票
となりました。
それぞれの順位ごとに点数を決めて、合計点の一番多い人が委員になることにしました。
点数はすべて異なる整数で、1位が一番大きく、3位が一番小さくなるように決めます。
(1)
1位には5点、2位には3点、3位には1点と点数を決めたとき、
3人の合計点をそれぞれ答えなさい。

(2)
Aさんの合計点が37点、Bさんの合計点が30点、Cさんの合計点が23点でした。
1位から3位の点数はそれぞれ何点でしたか。

(3)
Bさんの合計点がAさんの合計点を超えることがありますか。
超えることがあれば1位から3位の点数の例をあげ、超えることがなければ理由を答えなさい。

(4)
Cさんの合計点がAさんの合計点を超えることがありますか。
超えることがあれば1位から3位の点数の例をあげ、超えることがなければ理由を答えなさい。


@解説@
(1)
A…5×5+3×2+1×3=34点
B…5×3+3×5+1×2=32点
C…5×2+3×3+1×5=24点

(2)
今度は3人の点数から1~3位の点数をあてる。
算数で数学の使用がタブーなのは重々承知なのですが…
本問は文字式と考え方が同じなので使わせてください(´゚д゚`)wモウシワケ~

1位をx点、2位をy点、3位をz点とする。(小学生に教えるときは○・△・×に代替
A:5x+2y+3z=37点
B:3x+5y+2z=30点
C:2x+3y+5z=23点

ここからどうすべきか(´~`)
3つの式を合計すると、
10x+10y+10z=90点
x+y+z=9点

合計点の少ない、Cの式に注目。
  2x+3y+5z=23点
-)2x+2y+2z=18点 ←先ほどの式を2倍してる  
     
y+3z=5点
問題文からx>y>zなので、y=2点、z=1点しかない。
x=9-(2+1)=6点
よって、1位…6点、2位…2点、3位…1点。

(3)
再掲。
1位x点、2位y点、3位z点(x>y>z)
A:5x+2y+3z
B:3x+5y+2z
BがAを超えることはあるだろうか?
比較してみると、AはBより2x+z大きく、BはAより3y大きい。
ということで、xとyの差を小さくし、yとzの差を大きくしてみる

【1位…100点、2位…99点、3位…1点】
A:5×100+2×99+3×1=701点
B:3×100+5×99+2×1=797点
BがAを超えてる。

(4)
再掲。
1位x点、2位y点、3位z点(x>y>z)
A:5x+2y+3z
C:2x+3y+5z
比較すると、AはCより3x大きく、CはAよりy+2z大きい。

3xとy+2zを比較する。
3つのxと、1つのyと2つのzで、文字の数はどちらも3個ずつ。
そこで、3x=x+2xに分割して比べてみよう。

x>y>zより、
xとyの比較→x>y…①
2xと2zの比較→2x>2z…②
①+②から、3x>y+2z
したがって、CがAを超えることはない。
*文字式サイコー! ( 厂˙ω˙ )厂うぇーい‬

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